那会儿我还在熬夜背公式，总认定数列那玩意儿像个无底洞，看个劲头。
后来突然想到个老办法，就是待定系数法，听着挺玄乎，实际上就是给那个“坑”埋个草。
比如你手上有个分式，像 $frac{A}{n} + frac{B}{n^2} + dots + frac{C}{n^k}$ 这种形式，反正是一个通项公式能凑出来的泥巴堆，那咱们就得先把这堆泥巴的密度（系数）给勾出来。
这就好比你在找失散的钥匙，你得先假设这把钥匙是某种形状，然后先在脑子里把它旋一转，看看能不能对上那把转动的锁舌。 起初，咱来套个套，先把这个复杂的求和式拆开看看。假设它等于 $sum_{n=2}^{infty} frac{1}{n^2}$，我们要把它写成 $frac{A}{n} + frac{B}{n^2} + dots$ 的样子。
这忒荒谬了，直接套公式最稳妥。
那就拿不动点法吧，找个看不见的点解方程。
比如 $sum_{n=2}^{infty} frac{1}{n^2} = frac{pi^2}{6} - 1$，而 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2} = frac{pi^2}{6}$，故此 $sum_{n=2}^{infty} frac{1}{n^2} = frac{pi^2}{6} - 1$。
这时候要是强行凑成 $frac{A}{n} + frac{B}{n^2} + dots$，你会发现 $n=1$ 的时候左边是 $frac{pi^2}{6}-1$，右边要是是某个常数除以 1 加一堆 $n^{-2}$，那 $B$ 就得是 $frac{pi^2}{6} - 1$ 减去那些常数项。
这图忒乱了，干脆换个思路，直接把 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$ 这种经典形式给拎出来，对比一下 $frac{A}{n} + frac{B}{n^2}$ 在 $n=1$ 时的表现，就能把 $B$ 给定出来了。 接着，咱得看看能不能把剩下的局部好办化。假设 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$ 实际上能够写成 $frac{A}{n} + B$ 的某种组合，要么干脆就是 $frac{A}{n} + B + frac{C}{n^2}$ 这种形式。
这时候，要是我们把 $n=1$ 代入，左边等于 $frac{pi^2}{6}$，右边会变成 $frac{A+B+C}{1}$，这样 $A+B+C$ 这个线性关系就出来了。再换个角度，比如把 $n=1$ 代入另一个相关的式子，比如 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2} = A + frac{B}{1} + frac{C}{1} + dots$，这时候就能解出 $A$ 了。搞定！目前的式子变成了 $A + frac{B}{n} + frac{C}{n^2}$，其中 $B$ 和 $C$ 已经知道了，只剩下 $A$ 要再碰一下鼻子。 这时候就得有点“艺术”了。
比如我们假设 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n^2}$ 实际上等于 $frac{A}{n} + frac{B}{n^2}$ 这种形式，对吗？把 $n=1$ 代入，左边是 $frac{pi^2}{6}$，右边是 $A+B$，故此 $A+B = frac{pi^2}{6}$。再拿 $n=2$ 试试，左边是 $frac{pi^2}{6} - 1$，右边是 $frac{A}{2} + frac{B}{4}$。
这就变成了两个方程：$A+B = frac{pi^2}{6}$ 和 $frac{A}{2} + frac{B}{4} = frac{pi^2}{6} - 1$。解这个方程组就能算出 $A$ 和 $B$ 的具体数值了。 自然，这玩意儿看着挺复杂，实际上说白了就是数学游戏。
比如我们要解 $frac{A}{n} + frac{B}{n^2} = frac{pi^2}{6} - 1$，直接代 $n=1$ 得 $A+B = frac{pi^2}{6} - 1$。再代 $n=2$ 得 $frac{A}{2} + frac{B}{4} = frac{1}{2}(frac{pi^2}{6} - 1)$。解这个方程组，$A$ 就出来了。
这个方式的核心就一个：把你想找的那个“终极公式”给假设出来，然后不断往两边“挤”，用特定的点作为锚点，把那些未知的系数一个个甩掉。 再举个具体的例子吧。
比如我们要算 $sum_{n=1}^{infty} frac{1}{n(n+1)}$。
这时候大家-first rule 就是裂项相消。但这用待定系数法算的话，但也绝对行得通。假设 $frac{1}{n(n+1)} = frac{A}{n} + frac{B}{n+1}$，把 $n=1$ 代入得 $frac{1}{2} = A + B$。把 $n=2$ 代入得 $frac{1}{6} = frac{A}{2} + frac{B}{3}$。解这个方程组，$A=frac{1}{2}, B=-frac{1}{2}$，故此等于 $frac{1}{2n} - frac{1}{2(n+1)}$。
然后展开就是 $frac{1}{2}(1 - frac{1}{2} + frac{1}{3} - frac{1}{4} dots)$，反正这就是交错级数了。 故此说啊，数列通项公式这东西，有时候不用看“教科书”，也不用管“定理”，只要敢动笔去猜，去设，去解方程组，那项数再大，公式也能捞出来。
这个方式最妙的地方就是它不讲究逻辑的严密推导，只要逻辑闭环，只要方程解出来，你就能拿到答案。
哪怕中间过程有点跳跃，只要最终方向对了，那答案就是对的。
有时候你会发现，最终算出来的系数居然是整数，要么居然是个挺怪的分数，但这不影响结局的对性，出于这些系数本身就是被“制造”出来的，它们就是为了让那个求和公式成立而存有的。
这大约就是数学的魅力了，有时候它就像是一场即兴的舞蹈，你不需求每一步都踩得那么稳，只要最终那个落脚点稳当就行。
