幂函数：公式大全 幂函数是初中数学课上显得最“标准”也最好办显得你一本正经地胡说八道的函数，一开口就是 $y=x^alpha$ 要么 $y=x^alpha$ 这种模样。但别被它表面的死板吓到了，实际上这玩意儿在解决实际难题的时候，比那些弯弯绕绕的指数函数要香忒多。 你见过那种 $y=e^x$ 要么 $y=e^{-x}$ 吗？那是指数函数啊，那个小尾巴上的 $alpha$ 是个指数，数字掉了。而幂函数，就是那个 $alpha$ 直接跟在 $x$ 后面，$y=x^alpha$，读起来顺眼多了，叫幂函数。它最核心的公式就是 $f(x) = x^alpha$，这里的 $x$ 就是变量，$alpha$ 是那个幂指数，能够是正数、负数，就连是分数要么无理数。
这玩意儿最让人头疼的点在于：它定义域有限制。
要是你给 $alpha$ 是个负数，比如 $y=x^{-2}$，那 $x$ 就不能是 0，一零除哪位都崩溃；要是 $alpha$ 是倒数，比如 $alpha=1/m$，那 $x$ 也不能是 0 且 $m$ 得是整数，否则分母变零了。 举个例子，当 $alpha$ 是 2 的时候，就是抛物线 $y=x^2$，$x$ 能够是任意实数，$x$ 越接近 0，$y$ 就越靠近 0，而 $x$ 是负数的时候，$y$ 还是正数，是个开口向下的抛物线。再比如 $alpha$ 是 -2，那就是 $y=1/x^2$，这图就有点意思了，$x$ 越往左越往下掉，$x$ 从 0 出来的时候，$y$ 长得快，像是个双曲线的一局部。
还有 $alpha$ 是 1/2，也就是 $sqrt{x}$，这时候 $x$ 不能是负数，你得先开根号，$x$ 是负数的时候函数就Undefined 了，这在坐标系里画出来就是只能画在第一、第四象限的那条线，那是笛卡尔坐标系里有根的实数局部。 计算的时候，幂函数的运算法则实际上挺有规律。加法、减法、乘法、除法这些根本运算，跟一般/平平数乘除没啥区别，直接套用指数运算规则就行。
比如 $x^a cdot x^b = x^{a+b}$，$x^a / x^b = x^{a-b}$，这个公式在刷题的时候简直救星，专治各种计算不会的。再比如 $(x^a)^b$，这个恒等式贼关键，括号内的指数先乘，再算外面的指数。
还有整体幂运算，$(x^a)^b = x^{ab}$，这个在求导的时候特别有用。 幂函数还有个特别迷人的性质：当 $alpha$ 是整数的时候，聊聊函数的奇偶性简直像变魔术。
要是是偶数，那函数图像关于 $y$ 轴对称，第二象限和第一象限都有，$x$ 正负都能取，值也是正。
要是是奇数，那函数就是奇函数，图像关于原点对称，$x$ 正负取反，$y$ 也取反。
比如 $y=x^3$ 就是奇函数，$y=x^4$ 就是偶函数。 还有一个常被考到但好办搞混的地方，就是定义域和值域。别看 $alpha$ 是正整数时，定义域一般是 $(-infty, +infty)$，值域也是 $(0, +infty)$，但 $alpha$ 要是分数，比如 $alpha=1/2$，定义域就被迫缩小了，只能是非负实数，值域也是正实数。
要是你的 $alpha$ 带根号，比如 $sqrt[3]{x}$，那定义域就是全体实数，值域也是全体实数，出于立方根万能。 在解决最值难题时，幂函数的应用比指数函数更直观，出于求导过程往往没那么复杂。
比如求 $y=x^2$ 在区间 $[1, 4]$ 上的最大值，直接代入端点就行，不用像指数函数那样略微费事点。求导也挺好办，$y'=2x$，令其为 0 解出 $x=0$，然后结合单调性判断，在 $x>0$ 时函数单调递增。 实际上啊，幂函数在物理和工程里应用挺广的。
比如物理里的力 $F propto r^n$，加速度 $a propto 1/r^2$，这些都是幂函数模型。
还有化学里的反应速率，要么经济学里的边际成本，大量时候都脱不开这个公式的影子。 最终再提一个 $alpha$ 为分数时的特殊情况，当 $alpha$ 是奇数分数的话，比如 $alpha=3/2$，那 $x$ 能够是负数，但 $y$ 务必是正数，出于开平方后还要再乘方。
这时候函数图像在 $x$ 轴下方是没有的，就像 $y=sqrt{x^2}=|x|$ 这种看起来有点怪，但它确实存有。 总的来说，幂函数就是那个“结构好办、计算撇脱、定义灵活”的函数。别看看着 $y=x^alpha$ 有点枯燥，但你一旦掌握了它的定义域、奇偶性和根本运算，就能在各类考试中拿到不少分。
记住，它就是 $x$ 的 $alpha$ 次方，就是如此好办。
