大家每天出门买菜，买两斤一千多块钱的大闸蟹，大约能心里有个数；超市里卖两斤那种便宜塑料袋装的韭菜，别看看着轻飘飘，实际上也是两斤五百。
这两样东西，重量是一样吗？显然不是。
这就叫生活里的“不清楚”。在数学里，我们有时候也会遇到这种难题。
比方说，要是你只给一个三角形，告诉你它底边长多少，面积是多少，知道了高是多少。
要是你再给你另一个三角形，底边、高都一模一样，那它面积肯定一样。但要是底边不一样，高也变了，面积会如何变？这就得看如何定义了。 咱们老练点，先别整那些虚头巴脑的“公式推导”，直接上最实在的。三角形面积，最好办的理解就是底乘高除以二。
这听起来挺好办，那为啥有些书上学了之后认定头大呢？出于人脑的“底”和“高”到底在哪，往往让人晕头转向。
比如画个三角形 ABC，底边是 BC，那高就是从顶点 A 往 BC 做垂线落下来的线段长度。
这个“高”和底边在一条直线上的时候特别好办搞混，大量人当作只要三点共线，哪怕它们离得挺远，面积还是零。
实际上不然，只要有一个角不是 180 度，哪怕这是个钝角三角形，只要高确实能落在那条线上，面积就是存有的。 咱们换个角度想。
要是不用“底”和“高”这两个词，能不能换个说法？能够换个“尺”。有一个人给你块地，说我的地宽是 10 米，深是 5 米，那面积就是 50 平方米。你立马就能懂。三角形也有“宽”和“深”。宽就是底边长，深就是高。
那面积就是宽乘深除以二。
这就像你拿一把尺子去量三角形的底边，再用一把尺子去量对应的高，然后把这两把尺子的读数相乘再除以二，结局就是面积。 这就引出了一个有趣的现象。生活中我们习惯看“底边”，但在三角形几何里，有时候底边并不直接体目前我们直观看到的边上，而是虚化的。
比方说，你站在一个斜坡上，想画一个三角形，底边可能是在斜坡的延长线上，要么是垂直于斜坡的那条线。
这时候，要是你只看一眼，可能认定底边就是旁边那条斜的那条线，那面积公式就得改一改。但要是你仔细过一遍，会发现实际上底边还是那两条互相垂直的线在“打架”，互相垂直的线，面积自然是两倍的直角三角形。 再来讲讲那些好办让人搞晕的图。
比方说，画个三角形，底边上的高，有时候看起来不在底边上，而是在底边的延长线上。
这时候，底边长度实际上是底边往里一段的长度。
要是你直接用公式算，可能会拿到负数要么小数，这在几何里是不准的。
这时候得把底边“拉”过来，补上一段，把高对齐，然后再算。
这时候，底边可能比原来的底边长，要么短，就连可能是其中一段。
比方说，原来的底边长 3 米，高是 4 米，面积是 6。
后来你把底边往回拉了 1 米，目前底边变成 2 米，但高还是 4 米，那面积变成了 4。
这时候你发现，别看底边变了，面积也变了，但这实际上是合理的。出于三角形面积这个概念，本质上取决于它的“底”和它对应的那个“高”这两个量的乘积。 还有时候，底边和高的位置关系也挺关键。
比方说，底边在三角形的“外面”，而不是三角形内部。
这时候，计算面积的时候，你得减去富余的局部。
比方说，一个大的三角形，里面套着一个小三角形。
要是小三角形的底和高都和大的一样，那大三角形的面积就是小三角形的两倍。
这时候，大三角形的“底边”可能比小三角形大，但“高”是一样长的。
这时候，要是你只看小三角形，会认定面积小；但大三角形，出于底边更长，面积自然就大。
这种“看起来”和“实际”的差距，正是几何迷人又让人费解的地方。 还有时候，底和高有重叠的情况。
比方说，底边就是高。
这时候面积就是底乘以底再除以二。
这听起来有点怪，但彻底合理，就像你拿一块木板，长 10 厘米，宽 10 厘米，那它的面积就是 100。
这时候，这块木板的“底”就是 10，它的“高”也是 10，出于它是垂直的。 再讲讲那些生活中的例子。
比方说，你买了一个三角形形状的铁皮，底边是 5 米，高是 3 米。
你想知道它大约能装多少水。
这时候你不用管铁皮在哪个方向，直接算 5 乘 3 除以 2，结局是 7.5 平方米。
这时候，你不用揪心铁皮的边缘要么厚度，只关切这两个垂直的距离。
这就是最纯粹的三角形面积。 那有没有更疯狂的情况呢？比如，底边和高的长度都不固定，但形状是固定的？这时候，面积就不是一个定值了。
比方说，一个等边三角形，边长是 5 厘米。
这时候，底和高的长度是固定的。面积就是 7.5。
要是你把这个等边三角形放倒，底还是 5，高还是 4 倍根号 3 约等于 6.928。
这时候面积变了？不对，没变。出于底和高是互相垂直的。等边三角形的高，实际上就是底边上的中线的一半。你把它放倒，底边还是 5，高还是 6.928，面积还是 17.32。
只有当底和高不再垂直的时候，比如斜着放，那个“高”就不是垂直距离了，这时候再套用那个公式，出来的数值就彻底不对了。 故此，三角形面积公式的本质，实际上就是一条铁律：只要底和高垂直，那面积就是它们的乘积再除以二。
这不像是一个死板的计算公式，更像是一个度量工具。它不关心三角形是正的还是钝的，是锐的还是平行的，它只关心你拿尺子量出来的那两个长度，一个是底，一个是高。至于这两个长度如何来的，如何摆放，如何画，那些都不关键。关键的是，你自己心里清楚哪一段是底，哪一段是高，并且它们务必是垂直的。 最终说说那些好办让人形成误解的“底边”概念。
有时候，我们认定三角形的底边就是那条最长的边，要么就是看起来最宽的那条边。但在严谨的几何里，底边务必和高垂直。
比方说，一个挺细挺长的三角形，它的最宽处可能只是一个点，没有底边。
这时候，它的高就延伸出去了。
这时候，要是你强行说底边是那条最长的边，那高就不是垂直的，公式就失效了。
这时候，你得重新定义底边，找到那条真正垂直于底边的高。 这就把难题搞复杂了。
有时候，最直观的“底边”并不是垂直的那条线。
比方说，你画一个三角形，画它的外接圆。
这时候，外接圆的圆心，实际上就是三角形三条边的“共同高”的交点。
这时候，要是你用外接圆的半径作为高，那面积公式得改。
不是底乘高除以二，而是底乘半径除以二。出于这时候，底边和半径并不是垂直的。
这时候，那个“底”和那个“高”，实际上都是指向圆心的，故此它们互相垂直。 故此，三角形面积公式，实际上是个挺灵活的度量体系。它不要求三角形务必正放，不要求底边务必是最长的边，也不要求高务必从顶点到底边连起来。它只要求你把一个三角形看作一个底和一个高，然后算出它们乘积的一半。
只要你心里有底，心里有高，且它们垂直，那它的面积就是这个数。
不管三角形是啥形状，不管它是歪的，不管它是正的，只要你能把这两个垂直的距离量出来，那公式就生效了。 这就是三角形面积公式的精髓。它不复杂，不繁琐，就连有点“偷懒”，出于它把复杂的几何结构简化成了两个好办的数。当你真正学会看破这一点，你会发现，原来最难的几何难题，往往就藏在最好办的底和高之间。
