不重复抽样公式推导全解析，掌握核心算法提升效率 深入解析：不重复抽样（不放回抽样）方差公式的严谨推导
在统计学中，抽样调查是推断总体特征的核心手段。当我们从有限总体中抽取样本时，最常被提及的两种抽样方式分别是有放回抽样（Simple Random Sampling with Replacement, SRSWR）和无放回抽样（Simple Random Sampling without Replacement, SRSWR，简称不重复抽样）。 虽然两者在样本均值估计上具有无偏性，但在方差估计上却存在显著差异。特别是当抽样比（）不可忽略时，不重复抽样的方差需要引入“有限总体校正系数”（Finite Population Correction, FPC）。 本文将通过严谨的数学推导，揭示不重复抽样中方差公式的来源，并解释其背后的逻辑。
1. 问题设定与基本定义
假设有一个大小为 的有限总体，其中的个体值分别为 。 定义总体的均值为 ，总体方差为 ： (注：此处定义总体方差时分母为 ，这是推导过程中的常见设定。若使用样本方差分母为 的定义，最终结果形式略有不同，但校正系数逻辑一致。) 现在，我们从该总体中随机抽取一个容量为 的样本，且不放回。 设样本中的第 个观测值为 ()。 样本均值为： 我们的目标是计算样本均值 的方差，即 。
2. 核心推导思路
样本均值的方差可以展开为： 为了计算 的方差，我们需要利用方差的可加性公式。对于任意随机变量之和，其方差等于各变量方差之和加上所有两两协方差之和： 这里的关键在于：在不重复抽样中，样本内的各个观测值 并非相互独立！ 因此，协方差项 不为零，必须予以考虑。
3. 逐步推导过程
第一步：计算单个观测值的方差
由于是不重复简单随机抽样，总体中的每一个个体被抽中的概率是相等的。因此，对于任意位置 的样本 ，其分布与总体分布相同。 即 的期望为 ，方差为总体方差 ： 共有 个这样的项，所以第一部分求和为：
第二步：计算两个不同观测值的协方差
考虑 的情况。我们需要计算 。 已知 ，所以： 接下来计算 。 在不重复抽样中， 相当于从总体中随机抽取的两个不同个体的有序对。 总体中所有可能的不同个体对 （其中 ）共有 种组合，且每种组合出现的概率相等，均为 。 因此： 为了计算 ，我们可以利用恒等式： 所以： 我们知道 ，且 （因为 ）。 代入得： 现在回到期望值： 最后，计算协方差： 关键洞察：在不重复抽样中，协方差是负值。这是因为如果第一个抽到的值偏高，剩余总体中剩下的值平均偏低，导致第二个抽到的值倾向于偏低，两者存在负相关。
第三步：合并所有项
回到方差展开式： 1. 方差项之和： 2. 协方差项之和： 共有 对不同的 组合（因为 有 种选法， 有 种选法，且 ）。 将两部分相加： 提取公因式 ： 化简括号内的项： 所以：
第四步：计算样本均值的方差
最后，代回第一步的公式 ： 通常，我们将 称为有限总体校正系数（FPC）。
4. 结果分析与讨论
最终得到的不重复抽样样本均值方差公式为： 作为对比，有放回抽样的方差公式为：
1. 校正系数的意义
当 很大时：如果总体容量 远大于样本容量 （例如 ），则 。此时不重复抽样与有放回抽样的方差几乎相同，可以忽略校正系数。 当 接近 时：随着样本量增加，方差减小。当 （普查）时，校正系数变为 0，方差为 0。这符合逻辑，因为普查没有抽样误差。
2. 为什么方差更小？
从直觉上看，不重复抽样比有放回抽样提供了更多的信息。在有放回抽样中，我们可能重复抽到同一个极端值，导致样本变异较大；而不重复抽样强制样本覆盖总体的不同部分，使得样本均值更稳定地逼近总体均值。数学上的负协方差项 正是这一现象的体现。
3. 实际应用中的近似
在实际应用中，当 很大时，分母中的 通常近似为 ，公式简化为： 其中 即为常见的抽样比校正因子。
5. 结论
通过对不重复抽样方差公式的严谨推导，我们不仅得到了最终的数学表达式，更深刻理解了有限总体校正系数的来源。它源于样本单元间的负相关性。 这一推导提醒统计工作者： 1. 在总体规模有限且抽样比不可忽略时，直接使用有放回抽样公式会高估方差（即过于保守）。 2. 正确应用校正系数可以提高估计的精度，并在样本量规划中提供更准确的依据。 掌握这一推导过程，有助于从底层逻辑上把握抽样设计的精髓，而非仅仅机械地套用公式。
