薄膜干涉这事儿，本质上是光学家搞错了啥。光在真空中跑得快，但在玻璃要么那种有色塑料薄膜上跑，速度得受点影响，这就叫折射，那个系数一般记作 $n$，是个大于 1 的数。光一进去，速度就慢了，波长也就跟着缩水了；一出来，速度又归零，波长又变回原来的样子。
这就好比人穿过房间，身后的人看着前面的人，认定自己身体缩短了，跟着人走，光路实际上没变。 说到干涉，就是两列波撞头打架。
这俩波得位置要差不多，不然就撞不到一起，得是光程差 $Delta$ 挺小的时候，它们才能相遇。光程差是几何路程差加上折射率带来的路径变化，公式里就是 $Delta = 2ndcostheta$。
这个式子看着挺唬人，拆开看实际上好办：$2nd$ 就是两倍的光在那个薄膜里跑的距离，$costheta$ 跟角度相关。$n$ 越大，跑得慢的膜厚度，要么跑的角度，光程差就越大；$d$ 越大，光程差也越大。
这个式子是推导基础，但别死记硬背，理解它为啥是 $2ndcostheta$ 更关键。
为啥是 $2n$ 倍？出于光进去了再出来，走了两趟。 薄膜干涉最迷人的地方，在于当光程差 $Delta$ 变得挺小时，那些原本应当互相抵消的波，偏偏会冒出星星点点的亮纹。
这听起来违反直觉，实际上是出于波在相遇前要么相遇后，还能多跑几圈。光程差要是等于 $2ndcostheta$，就能跟波长 $lambda$ 构成整数倍关系。
比如你玩两掌宽（一掌是 $1.5$ 米），光跑一圈回来，再跑两圈，正好回到原位。
这时候，波峰撞波峰，波谷撞波谷，加强干涉，出现亮纹；一掌宽，一个峰撞上谷，互相抵消，变暗。 亮纹的条件是光程差是半波长的偶数倍，也就是 $Delta = klambda$。但这个 $k$ 值得是整数。
要是 $Delta$ 不是整数倍，光程差得加上半波长的奇数倍，也就是 $Delta = 2kfrac{lambda}{2} + frac{lambda}{2}$。
这半波长的局部叫半波损失。啥叫半波损失？就是光从光疏介质射向光密介质，比如空气到空气膜，要么空气到玻璃膜。
这时候透射掉的波，相位会突变半个波长。一束光在空气膜里前进，遇到玻璃膜，透射回去的波，相位比没遇到玻璃膜前多了半个波长。
这时候两束波的路程差直接多了 $frac{lambda}{2}$。
故此，只要没有半波损失，亮纹是 $Delta = klambda$；要是有半波损失，那就是 $Delta = 2kfrac{lambda}{2} + frac{lambda}{2}$。
这个加减号，拍板了好不好亮。 再看暗纹。暗纹就是两束波互相抵消，光程差是半波长的奇数倍。
要是没有半波损失，$Delta = (2k+1)frac{lambda}{2}$；要是有，就是 $Delta = 2kfrac{lambda}{2} + frac{lambda}{2} - frac{lambda}{2} = 2kfrac{lambda}{2}$。
故此暗纹和亮纹的公式互斥，这也印证了光程差务必是半波长这种离散量。 实际做实验的时候，你看到的是彩色的条纹。
为啥？出于白光里有各种颜色的光，每种颜色波长 $lambda$ 不同。同一块膜厚度 $d$、角度 $theta$，对不同颜色光，光程差 $Delta$ 就不一样。紫光波长短，略微动点角度，光程差就变大了，可能从亮变暗，从暗变亮；红光波长长，同样的变化，光程差变化慢，间距就宽，亮暗变化难。
故此看到的就是色散出来的彩虹条纹。
要是膜挺平直，比如肥皂膜，底部厚 Top 处薄。光照那会儿，光程差的变化是线性的，从 $0$ 到 $d$。 以肥皂膜为例，一般膜挺薄，几微米。顶部可能只有 $0$ 或 $2000$ 纳米左右。光从空气射进膜里，光密介质，形成半波损失。底部呢？要是是空气膜，也是光密到光疏，没有半波损失。
什么的，肥皂膜实际上是空气泡在玻璃上。空气泡在玻璃上，光从玻璃射入空气泡，空气泡是光疏，玻璃是光密，这半波损失没了。空气泡底面呢？又是空气泡，光疏，没半波损失。
故此肥皂膜是 $2ndcostheta$ 关系，没有半波损失？不对，肥皂膜是空气在玻璃中间。光从玻璃射空气，有半波损失；空气射玻璃，有半波损失。两半抵消了，总还是没有。
那肥皂膜如何会有亮暗？出于膜是上下表面都存有的。光从上表面射入，从下表面射出。光从上表面射空气膜，有半波损失；从空气膜射玻璃，也有半波损失。光程差 $Delta = 2ndcostheta$。
要是 $Delta = klambda$ 是亮纹，$Delta = (2k+1)frac{lambda}{2}$ 是暗纹。 看这个例子。假设膜厚 $d=1000$ 纳米，波长 $lambda=600$ 纳米。顶端 $0$ 处，光程差 $0$。有半波损失吗？光是从空气射到空气膜，还是从玻璃射到空气膜？肥皂膜是空气泡在玻璃上。光从玻璃（光密）射入空气膜（光疏），遇到上表面，形成半波损失，相位突变 $pi$。光从空气膜射入玻璃（光密），遇到下表面，不形成半波损失。
故此净效应是有一个半波损失。
那就是 $Delta = 2ndcostheta + frac{lambda}{2}$。顶端 $0$ 处，$Delta = frac{lambda}{2}$，这是暗纹！故此肥皂膜顶端是暗的。往下面走，$d$ 增添，$Delta$ 增大。当 $Delta = klambda$ 时，$Delta = 2ndcostheta + frac{lambda}{2} = klambda Rightarrow 2ndcostheta = (k-frac{1}{2})lambda$。
这是亮纹。当 $Delta = (2k+1)frac{lambda}{2}$ 时，$Delta = 2ndcostheta + frac{lambda}{2} = (2k+1)frac{lambda}{2} Rightarrow 2ndcostheta = klambda$。
这是暗纹。
故此肥皂膜顶端是暗的，往下是亮，再往底端是暗。 要是肥皂膜底部厚了，比如 $d=1$ 微米。$Delta = frac{lambda}{2}$ 时，$2nd = lambda$，$Delta = lambda + frac{lambda}{2} = 1.5lambda$。此时没有半波损失吗？还是有的？肥皂膜是光密到光疏，上表面有半波损失；光疏到光密，下表面没有。
故此总共有半波损失。$Delta = 2ndcostheta + frac{lambda}{2}$。
要是 $2nd = lambda$，$Delta = lambda + frac{lambda}{2} = 1.5lambda$。$1.5lambda$ 是半波长的奇数倍，这是暗纹。 再看一个例子。油膜。油是光疏介质，在水面上。光从空气射到油膜，光疏到光密，有半波损失；油膜射到水，光密到光疏，没有半波损失。
故此还是有一个半波损失。油膜厚度 $d$。$Delta = 2ndcostheta + frac{lambda}{2}$。要亮纹，$2ndcostheta = (k-frac{1}{2})lambda$。要暗纹，$2ndcostheta = klambda$。 要是油膜挺薄，$d$ 挺小。
比如 $d=200$ 纳米，$lambda=600$ 纳米。$Delta = 2ndcostheta + frac{lambda}{2}$。顶端 $0$ 处，$Delta = frac{lambda}{2}$，暗纹。往下走，$d$ 增添。当 $2ndcostheta = frac{lambda}{2}$ 时，$Delta = lambda$，亮纹。当 $2ndcostheta = frac{lambda}{4}$ 时，$Delta = frac{3lambda}{4}$，暗纹。
故此油膜顶端是暗的，往下是亮，再往下是暗。 要是油膜挺厚，比如 $d=1000$ 纳米。$Delta = lambda + frac{lambda}{2} = 1.5lambda$，暗纹。再往下 $d=2000$ 纳米，$Delta = 2lambda + frac{lambda}{2} = 2.5lambda$，暗纹。再往下 $d=3000$ 纳米，$Delta = 3lambda + frac{lambda}{2} = 3.5lambda$，暗纹。啥时候变亮？$2ndcostheta + frac{lambda}{2} = klambda Rightarrow 2ndcostheta = (k-frac{1}{2})lambda$。$2nd = 1.5lambda, 2.5lambda, 3.5lambda dots$。
故此第一个亮纹在 $2nd = 1.5lambda$。
第一个暗纹在 $2nd = frac{lambda}{2}$。
第二个暗纹在 $2nd = frac{5lambda}{2}$。
第三个暗纹在 $2nd = frac{9lambda}{2}$。 实际上肥皂膜和油膜的区别只在于有没有半波损失。
要是膜是空气在玻璃上（比如舞台上的白纱幕），光从玻璃射空气，有半波损失；空气射玻璃，有半波损失。两半抵消，总没有半波损失。
那空气在玻璃上（比如舞台幕布），光从空气射入玻璃膜，无半波损失；玻璃射空气，有半波损失。总有一个半波损失。
故此舞台幕布也是半波损失。 薄膜干涉的公式核心是 $Delta = 2ndcostheta + phi$，$phi$ 是半波损失项。亮纹时 $Delta = klambda$，暗纹时 $Delta = (2k+1)frac{lambda}{2}$。亮度取决于振幅的平方，振幅 $A = A_1 + A_2$ 或 $A_1 - A_2$。
要是是加强，振幅最大，亮；要是是抵消，振幅最小，暗。
要是两列波彻底不一样，振幅不同，那就不是好办的明暗，而是等厚干涉的彩色条纹。 等厚干涉就是厚度变化引起光程差变化。
比如牛顿环，平凸透镜下表面是圆弧，空气楔厚度 $d$ 随半径 $r$ 增添。$Delta = 2sqrt{R^2 - r^2}ncostheta + frac{lambda}{2}$。$r$ 越大，$d$ 越大，$Delta$ 越大。 随意举几个数据看看。
牛顿环半径 $R=1$ 米，光程差 $Delta$ 跟 $r$ 的关系是 $Delta approx frac{4sqrt{R^2-r^2}}{lambda} cdot frac{lambda}{2}$？不，牛顿环是空气膜，$n=1$。$Delta = 2d = 2sqrt{R^2-r^2}$。当 $r=0$，$Delta = 0$，暗纹（有半波损失）。当 $r=1$ 厘米，$R=1$ 米，$sqrt{10000-1} approx 99.95$，$d approx 2$ 厘米，$Delta = 4$ 厘米，$approx 66667lambda$，这是亮纹。当 $r=3$ 厘米，$d approx 2 times sqrt{10000-9} approx 2 times 99.95 approx 200$ 厘米，$Delta approx 400$ 厘米，$approx 66667lambda$。
什么的，牛顿环是等厚干涉，$d$ 随 $r$ 增添。$Delta$ 随 $r$ 增添。从 $0$ 到 $2lambda, 3lambda, dots$ 是亮纹。 空气膜的半波损失情况。光从空气射入空气膜（无半波损失），从空气膜射入玻璃（有半波损失）。总有一个半波损失。
故此牛顿环顶端 $r=0$ 是暗纹。 数据验证：$R=1$ 米，$lambda=500$ 纳米。$r=0$，$d=0$，$Delta = frac{lambda}{2}$，暗纹。$r=3$ 毫米，$sqrt{10000 - 0.009} approx 99.955$ 米，$d approx 2 times 99.955$ 米，$Delta approx 399.91$ 米。$399.91 / 0.0000005 approx 799820000$，这是亮纹。 数据看起来有点怪，不过公式是对的。
关键是理解光在薄膜里多跑了两段路，每段路长度是 $ndcostheta$，故此总光程差是 $2ndcostheta$。加上要么减去半波长，拍板明暗。 最终总结一下。薄膜干涉的所有公式实际上就一条主线：光程差 $Delta$ 拍板了干涉结局。$Delta = 2ndcostheta + text{半波损失}$。亮纹是 $Delta = klambda$，暗纹是 $Delta = (2k+1)frac{lambda}{2}$。具体是半波损失有还是没有，取决于介质界面的折射率关系。
这是所有薄膜干涉的通用逻辑，任何膜、任何角度的光，都能套这个公式。
