高中统计与概率这块内容，说实话，看着它像那本厚厚的教科书，实际上里头那些公式大多就是跟生活扯着皮，干些鸡毛蒜皮，但真正懂的人，往往认定有点意思。 咱们先说说最基础的几个。平均数，说白了就是那个“大家平均一下”的概念，但在高中里，它又分了好几种。算术平均数就是平时大家得分能算出来的平均值；中位数呢，就是那把量尺夹在正中间，比如身高数据 170、172、170、174、176，那中位数就是 172 这个数字；众数就是那种最有几个人分到的最高频，出现频率最高的那个；还有几何平均数，这个略微有点高深，是连乘开方，时常用在那些需求连坐的情况上，比如那群同学连坐三个人的平均分如何算。 方差和标准差，这东西听起来挺唬人，实际上就是衡量“乱不乱”的指标。方差越大，说明大家的分数要么数据越分散，心里越慌；方差越小，说明大家都挺凑整，比较稳定。标准差就是方差的根号，它直接告诉我们要面对多少波动。
不过这里得提醒一句，标准差是总体参数，方差有时候只用于样本估摸，不过高中里这两者时常混着用，大家好办晕，别忒纠结术语。 再来聊聊“均值”这一类，它实际上是数学里最灵活的工兵，能把大量事件拉平。
比如算一组数据的平均值，能够用算术平均数，也能用调和平均数。调和平均数有时候比算术平均更准，特别是在测速度要么测效率的时候，这时候用算术平均可能会报假大，这时候就得用调和平均数来漱口。 还有中位数、众数、几何平均数，这些词串在一起，实际上都是在处理数据中的“中心”和“分布”难题。当你有一组数据，它们不是均匀分布，而是有高低起伏的时候，这些统计量就是帮你找那个“平衡点”。
比如你考了五次试，分数分别是 60、70、80、90、100，这时候中位数就是 80，这就是那个最稳的分数；要是你考了 60、60、60、60、100，那中位数就是 60，这时候众数就是 60，而加权平均数可能更合适。 概率呢，它描述的是一种可能性。抛硬币，正面朝上的概率是 0.5，这个概率不会出于你认定它“可能”而变，这是客观的。
要是你掷币十次，正面朝上五次了，那下一次正面朝上的概率还是 0.5，这就是独立事件。当事件之间相关联的时候，比如拿了 100 只彩票，中了 10 个，剩下 90 个里再中一个，这时候中 11 的概率就不一样了，这就涉及条件概率。 比如你每天抽一袋花生米，假设袋子里有 10 只，你抽一只，抽到 5 只的可能有 1/2。
要是你先抽一只，发现是 5，那剩下的 9 只里中 5 只的概率就是 1/2；要是你先抽了一只 3，剩下的 9 只里中 5 只的概率就是 5/9。
这个例子实际上挺直观的，就是样本分层的难题，不同的情况害得结局不同。 还有一个概念叫期望，就是长期平均下来的结局。在概率论里，期望往往是一个数，它代表了随机事件形成后的平均效果。
比如掷骰子，长期来看，你掷出 1 到 6 点，哪个概率大？哪个期望值就高。期望是把所有可能结局的加权平均，权重就是各自的概率。 咱们还得提一下离散型随机变量。
这种变量每次取值都不一样，比如抛硬币，要么是 1，要么是 0。它的分布图就是个直方图，横轴是可能的取值，纵轴是对应的概率。
要是你掷两下骰子，总点数可能是 2 到 12，每个点数出现的概率都不一样，这就构成了一个联合分布。 联合分布有时候用表格表示，看起来密密麻麻。
比如抛两次骰子，第一点是多少，第二点是多少，总共有 36 种可能。
这时候你要算的是联合概率，就是 P(A 形成，B 也形成) 的概率。
要是你只知道 A 形成的总概率，不知道 B 形成的条件，那就要用条件概率 P(B|A) 来算。 有时候用表格忒占地方，这时候用联合分布函数，要么密度函数、累积分布函数就能挺好地描述。
比如连续型随机变量，它的分布函数 F(x) 表示 x 小于等于这个值的概率。
要是你知道累积分布函数，就能算出离散随机变量取某几个值的概率。 还有贝叶斯公式，这东西在高中里应用挺广，就是后验概率。
要是你已知某个事件形成了，再结合新的证据，就能计算出后验概率。
比如你抽到一个苹果，它可能是红苹果，也可能是黄苹果，但要是你知道它实际上是红苹果的概率，然后再知道你抽到红苹果的概率，就能反推它实际上是红苹果的真概率。 统计学里还有一堆技术名词，像均值、中位数、方差、标准差、极差、四分位数、偏度和峰度。偏度描述数据是偏左还是偏右，峰度描述数据是尖还是平。
这些指标组合在一起，能画出直方图要么折线图，把数据的样子给画出来了。 方差和标准差实际上是衡量波动大小的核心。方差是离均差平方和的平均，标准差是方差的平方根。数值越大，说明数据越离散，波动越剧烈。别看标准差是总体参数，方差有时只用于样本估摸，但在高中里，我们主要关切的是样本方差和标准差。 样本方差计算公式是除以 (n-1)，这是为了无偏估摸。
要是除以 n 就叫做总体方差估摸。
不过在大量题目里，直接给出的是总体方差，这时候能够用总体方差做无偏估摸。 还有一个叫极差，就是最大值减最小值。它好办粗暴，能一眼看出数据的波动范围。
不过它受极端值影响大，有时候不忒准。 中位数、众数、几何平均数，这些都是找“中心”和“频率”的工具。
比如正态分布里的平均数、中位数、众数都差不多，但偏态分布里就不一定了。 几何平均数用在连乘的情况里，比如求 n 个数的几何平均数，能够用调和平均数来近似。当你需求连乘开方的时候，那个几何平均数就派上用场了。 离散型随机变量有离散型分布，比如二项分布、泊松分布。泊松分布特别适合描述单位工夫内形成的事件次数。而连续型随机变量则包含连续型分布，比如正态分布、均匀分布。 正态分布是概率论里的“胖瘦标准”，它的特征是个钟形曲线，均值、中位数、众数重合。
要是你不知道分布类型，但看到是钟形曲线，大约率就是正态分布。 独立事件和条件事件。独立事件之间互不影响，比如掷两次骰子，一次是 6 不影响另一次。条件事件则是在已知某个事件形成的情况下，其他事件形成的概率变化。 期望是长期平均的结局。在概率论里，期望往往是一个数。 离散分布的有二项分布、泊松分布。二项分布是独立重复试验，事件形成概率固定。泊松分布是单位工夫内的事件次数。 连续分布包含正态分布、均匀分布等。正态分布的密度函数是 $frac{1}{sigmasqrt{2pi}}e^{-frac{(x-mu)^2}{2sigma^2}}$，这个公式别看复杂，但核心是它拍板了数据的形状。 累积分布函数 F(x) 表示 X 小于等于 x 的概率。离散型和连续型的区别就在于能不能取到所有值，离散型取不到整个区间。 联合分布函数或密度函数，用表格或图形表示两个随机变量与此同时形成的概率或密度。 样本方差 s^2 = (1/n)Σ(xi - x̄)^2 还是 (1/(n-1))Σ(xi - x̄)^2。样本方差分母 n 是无偏估摸，分母 n-1 是总体方差估摸，但在高中里，一般用 s^2 做无偏估摸。 总体方差 σ^2 = (1/N)Σ(xi - x̄)^2 是总体参数。 偏度和峰度。偏度衡量数据是否对称，峰度衡量数据是否尖。正态分布的偏度是 0，峰度是 3。 偏态分布：正偏态尾部长，负偏态尾部短。 峰态分布：尖峰分布，平峰分布。 直方图。把数据分成若干区间，计算每个区间的频率或密度，画出来。 正态分布图。bell curve, bell-shaped distribution。 离散型随机变量取某值的概率 P(X = x)。 联合分布 P(A, B)。 条件概率 P(B|A)。 期望 E(X)。 样本容量 n 是样本数量。 期望公式 E(X) = Σxi P(xi) 或 ∫x f(x) dx。 标准差公式 σ = sqrt(s^2) 或 σ = sqrt(σ^2)。 中位数是数据大小排序后中间的那个数。 众数是数据中最常出现的数。 几何平均数 n = (x1 x2 ... xn)^(1/n)。 方差 s^2 和标准差 s。 分布函数 F(x) = P(X ≤ x)。 联合概率 P(A ∩ B)。 独立事件概率 P(A) P(B)。 条件概率公式 P(B|A) = P(A,B) / P(A)。 贝叶斯公式 P(A|B) = P(B|A) P(A) / P(B)。 离散分布：二项分布、泊松分布。 连续分布：正态分布、均匀分布。 直方图 (Histogram) 和概率密度曲线 (Probability Density Curve)。 均值、中位数、众数、几何平均数。 偏度、峰度。 方差、标准差。 离散型随机变量和连续型随机变量。 样本方差 s^2。 总体方差 σ^2。 独立事件和条件事件。 期望 E(X)。 概率 P(X=x)。 联合分布函数或密度函数。 累积分布函数 F(x)。 直方图、正态分布图。 离散分布 P(X=x)； 联合概率 P(A,B)； 条件概率 P(B|A)。 贝叶斯公式 P(A|B)。 二项分布、泊松分布。 正态分布、均匀分布。 均值、中位数、众数、几何平均数。 偏度、峰度。 方差、标准差。 独立事件和条件事件。 概率 P(A) P(B)。 样本容量 n。 期望公式 E(X) = Σxi P(xi)。 标准差公式 σ = sqrt(s^2)。 中位数。 众数。 几何平均数。 方差 s^2。 总体方差 σ^2。 离散型和连续型随机变量。 样本方差 s^2。 期望 E(X) = Σxi P(xi)。 标准差 σ = sqrt(s^2)。 直方图和正态分布图。 二项分布和泊松分布。 方差和标准差。 独立事件和条件事件。 概率 P(A) P(B)。 样本容量 n。 期望 E(X)。 标准差 σ = sqrt(s^2)。
