c排列组合公式-卡特兰组合公式

说起排列组合，那得先从最落地的事件说起：算账。咱们每天坐地铁，挤得忒近都没聊够五分钟，要是能换个座位，聊两句天，心里那点事儿能放一半。
这时候得用“乘法原理”，哪怕是你每天出门选外套，把衬衫、裤子、鞋子捏在一起，全看哪个组合能让你舒服。再比如做数学题，分情况聊聊，每种情况都要单独算一遍，最终加起来。
这些看似基础的操作，实际上就是排列组合最笨也最实用的用法。 要是说到了排序，那又是另一种味道。
比如你站队，亲兄弟还得站成一排，不能哪位挤哪位。
这时候就轮到“有序”的繁华戏码了。想象一下，5 个人排成一排，第一拍只能出 5 种可能，第二拍又有了 5 个选择，第三拍还是 5 个，就如此算到了最终。
实际上不用背死公式，只要记住那个 5 个乘 5 个乘 5 个的劲儿，你就懂了。
哪怕只是把 5 个不同的哥们儿排成一队，不用管中间哪位跟哪位，只要顺序变了，人就真在那儿了。
这就叫“全排列”，是排列组合里最直接的逻辑。 但实务中，总有些坑不得不绕。
要是这 5 个人里，有两个是双胞胎，要么三个是同性别的兄弟，那干脆别排了，直接等。
这时候就得用到“除法原理”，也就是重排。你先把 5 个人全排好了，有 120 种摆法，但双胞胎实际上是一样的，故此除以 2，结局就变成 60 种。
这时候你脑子里就得有个数："n 乘 n 乘……除以 n 的 2 阶乘"。
记住这个，你就不会算错。再比如买彩票，那种给号码排序的，实际上也是重排，只是范围小得多。
要是只给 1 到 6 选 5 个，能选多少个？不用死记硬背公式，就是 6 选 5 的组合，也就是 6，出于哪个数字漏了，你就补上，总数是一样。 接着说说“重复”这件事，这玩意儿在日常生活里更常见，比人多流灯还多。
比如你点外卖，系统里有个“推荐菜”弹窗，里面有 10 道菜，你点一个对吧，系统又出一个新的？这时候就是好办的乘法，10 乘以 10 等于 100 种组合。
要是你想点两个，那就是 100 再乘 10，瞬间十万。
这时候公式就是 n 的 n 次方，那是连珠炮的节奏。再比如你搬砖，你每次搬两斤，总共得搬 5 次，那能搬多少个组合？不就是 2 的 5 次方嘛，32 种可能。
这别看看着好办，但大量人做工程时都是如此想的，认定只要总数够大，顺序不关键，那实际上是对细节的漠视。 不过到了做会议、做项目要么安排工作排班的时候，重复就没那么可爱了。
这时候得用组合，并且得小心别搞混。
比如要选 3 个人给他开饭，那是“从 5 个人里选 3 个”，而不是“把 5 个人全摆个位置”。
这时候公式是 n 选 r，也就是"n 乘 n 减 1 乘……除以 r 的 r 阶乘”。
举个例子，公司要选 3 个部门经理，从 5 个部门里选，那不就是 5 选 3 吗？结局就是 10。再比如学校分宿舍，10 个学生住 4 个，那是 10 选 4 的组合，不用管这 10 人是不是已经住过了，只要人没重样就行。 有时候排列组合还会玩点花样。
比如你买彩票，开奖号码是 6 个，但系统排了序，你只选 6 个，这就不是组合了，这是排列，出于顺序变了结局就变了。
要么你开派对，安排座位，左边坐哪位右边坐哪位，那是排列；要是只要有好几点人，不想管哪位是哪位，那又是组合了。就连还能够用来玩数字游戏。
比如从 1 到 10 个数里，选 3 个连续的数能有多少种？那就是从 1 选 3，不用管它们是不是连续的，只要它们俩在一起就行。
这时候公式是 n 减 2 选 r，也就是 8 选 3，结局就是 56。 实际上说到底，排列组合就是给世界做加法或乘法的逻辑工具。生活中不管是安排桌子、排队、投票，还是玩数字游戏，核心都是两种状态：能不能换位置（排列），还是位置一样也没区别（组合）。
不用死记硬背那些枯燥的公式，只要记住“有顺序就乘，没区别就除”的原则，大局部情况都能自圆其说。
哪怕你是做工程，只要心里有个数，知道 6 选 5 是 6，4 选 2 是 6，3 选 3 是 1，那遇到具体题目就不会慌了。毕竟数学最终是为了解决难题，不是为了把公式刻在脑子里。