高数积分公式大全.pdf 最近熬夜刷题，把各种公式全往脑子里塞了。
说实话，公式这种东西背下来就能用，真不用那套教科书那样先“起初”再说“然后”，感觉像被人编排的剧本，忒假了。 不定积分：那些看起来像魔术的公式 不定积分实际上是求原函数的过程，就像找一把钥匙去开几个不同的锁，有时候钥匙本身都不一样。 $int x^n dx$ 这个最基础的，就是 $frac{x^{n+1}}{n+1}$，只要 $n neq -1$。$n=1,2,3$ 这种自然就顺，$n=0$ 也是 $1$，$n=-1$ 就变成 $ln|x|$ 了。 更妙的是倒序积分。$int -x^{-2} dx = x^{-1} + C$，实际上就是 $int x^{-2} dx = -x^{-1} + C$。
你看这公式写起来，倒过来看也是一样的，彻底就是换号换正负号。
这俩公式，一个是正的，一个是负的，放在一起看，感觉像是在玩“倒着写”的梗。 幂函数的积分公式 $x^n$ 那个 $frac{x^{n+1}}{n+1}$，实际上能够看作是一个常数乘在 $x$ 上再积分。$int x^n dx = frac{1}{n+1}x^{n+1} + C$。 三角函数是最爱玩公式的，$sin^2 x + cos^2 x = 1$ 是基础。积分的话，$sin^2 x = frac{1 - cos 2x}{2}$，积分出来就是 $frac{1}{2}x - frac{1}{4}sin 2x$。$cos^2 x$ 同理，$int cos^2 x dx = frac{1}{2}x + frac{1}{4}sin 2x$。 还有反三角函数，$int arcsin x dx = xarcsin x + sqrt{1-x^2} + C$。
这个公式如何记反的，反正背下来就是对的，不用纠结它是如何从另一个公式推导出来的，直接记公式就行。 微分公式也是积分公式的逆过程，$frac{d}{dx}x^n = nx^{n-1}$，这个挺好办背。
还有指数函数 $frac{d}{dx}e^x = e^x$，常数倍积分公式 $int k f(x) dx = k int f(x) dx$，$int a^x dx = frac{a^x}{ln a} + C$。 定积分：计算体积和面积 定积分算的是面积要么体积，物理上最常见。 牛顿 - 莱布尼茨公式是核心，$int_a^b f(x) dx = F(b) - F(a)$。
这个公式把求不定积分变成了算两个数相减，关键是 $F(x)$ 是那个原函数 $f(x)$。 要是区间是对称的，要么原函数是奇函数/偶函数，结局往往挺漂亮。
比如 $int_{-1}^1 x^2 dx$，$x^2$ 是偶函数，区间对称，直接算 $frac{1}{3}x^3 big|_0^1 = frac{1}{3}$。 $int_0^{pi/2} sin x dx$ 算面积，$cos x$ 在 $0$ 到 $pi/2$ 是正的，结局就是 $cos x big|_0^{pi/2} = 0 - (-1) = 1$。 $int_0^1 e^{-x} dx$ 这种带有指数的，原函数记成 $-e^{-x}$，算出来是 $-e^{-1} - (-1) = 1 - frac{1}{e}$。 定积分还能够拆分区间，$int_a^b (f+g) = int_a^b f + int_a^b g$。
要是区间能拆成两段，比如 $int_0^1 f + int_1^2 g$，那就能够分别算了。 换元积分法：公式库里的万能钥匙 换元法，把 $int f(g(x))g'(x) dx$ 这种复杂的，变成 $int f(u) du$ 这种好办的，是换元积分法。 第一个公式是凑微分法。$int u^n du = frac{u^{n+1}}{n+1} + C$，这个在凑微分时时常遇到。 另一个关键公式是 $int f(u) du$ 这种形式，要是 $u^n = g(x)$，那 $int f(u) du = frac{1}{n}f(u) cdot g'(x) + C$。
比如 $int x^{-3} dx cdot sqrt{x}$，这里 $u=x^{-3}$，$g(x)=sqrt{x}$，算出来就是 $-frac{2}{x^2}sqrt{x} + C$。 还有线性换元。$int (u + v) du = frac{u^2}{2} + dots$，这个忒常见了，多项式简直都如此用。 分部积分法：魔法公式 分部积分是 $int u dv = uv - int v du$，这个公式最让人头疼，出于挺好办背错符号要么记混公式。 判例 1：$int x e^x dx$。$u=x, dv=e^x dx$，得 $uv - int v du = xe^x - int e^x dx = xe^x - e^x + C$。 判例 2：$int x sin x dx$。$u=x, dv=sin x dx$，得 $-xcos x + int cos x dx = -xcos x + sin x + C$。 常用积分口诀 最终总结一下一些最常用的那些，为了撇脱记忆，脑子里装几个顺口溜。 $x^n$ 的，$frac{x^{n+1}}{n+1}$（$n neq -1$）。 $ln x$ 的，$ln x$ 的 $x$。 $sin^2 x$ 的，$cos^2 x$ 的，都是 $frac{1}{2}x$ 加个三角函数。 $e^x$ 的，$x$ 的，$ax$ 的，都是直接乘回去。 这些公式别看用起来不够丝滑，但背下来就能应付大局部基础题。做题的时候，看到公式就写，别想忒多，不然好办晕。
