向量叉乘的正确公式-向量叉乘的正确公式

向量叉乘这东西，在几何里时常见，但在物理要么计算机图形学里，有时候显得挺玄乎。大量人刚接触的时候，好办把它当成一般/平平乘法来记，当作只要两个向量加起来变长就行，结局一做题就抓瞎。
实际上不然，它更像是两个向量在三维空间里互相“打架”，算出个垂直的第三个方向。 要搞懂它，先得记住它有个最直观的定义：叉乘的模等于你俩向量夹着的那个面积。
这就好比你在拿一把剪刀剪两股绳子，剪刀张开的角度越大，截出来的布越宽，也就是结局向量越长。
要是两股绳子彻底平铺在桌面上，那结局就是个零向量，面积是零。
只有当它们垂直时，剪出来的布料才最宽，这时候叉乘的模才最大，等于两个向量模数的乘积。 方向这事儿就更讲究了。右手定则是它的灵魂。你在右手手心掌向上斜着伸出一条胳膊，食指代表第一个向量，中指代表第二个向量，这时候大拇指指的方向，就是叉乘结局向量的方向。
这玩意儿对的顺序挺关键，你丢了第一个向量，要么把左右手搞反了，结局就全歪了。
不过大量人好办忽略的是，这个方向轴得是垂直于两个原始向量平面的那个轴。
要是两个向量本来就在 XY 平面里，叉乘出来的自然就是在 Z 轴上，没法再往 XY 平面里挤了。 算式如何写呢？公式长得跟点积有点像，都是两两乘积做减法。先算 $a times b$，等于 $a$ 乘 $b$ 再减 $b$ 乘 $a$ 的抵制称局部。具体来说，就是 $x$ 分量上先减后加，$y$ 分量先加后减，$z$ 分量彻底不变。
哦对了，有个细节要注意，这个结局一辈子是个向量，故此它一直有方向的，哪怕模长是零。 举个具体的例子，假设你在房间里点个叉，$a$ 指向正前方，模长是 3，$b$ 指向正右方，模长是 4，并且它们原本就垂直。
这时候用公式套进去，$x$ 分量是 $3 times 4 - 4 times 3 = 0$，$y$ 分量也是 0，$z$ 分量是 $3 times 4$。结局就是 $(0, 0, 12)$。
这就说明叉乘的结局指向正上方，长度是 $3 times 4 = 12$，并且正好等于那两个向量模数的乘积。
这彻底符合刚刚说的“垂直时模最大”的直觉。 再换一种情况，要是两个向量不垂直呢？比如 $a$ 指向 $60$ 度角，$b$ 指向 $90$ 度角，$a$ 的模长是 5，$b$ 的模长是 10。
这时候结局就不是个大数了，而是有点复杂的数。算下来 $x$ 分量是 $5 times (-1) - 10 times 0 = -5$，$y$ 分量是 $5 times 1 + 10 times 0 = 5$，$z$ 分量是 0。你会发现，这种情况下结局实际上是在 $xy$ 平面上的向量了，没有垂直向上分量的东西。
这跟直觉有点出入，出于两个向量本来就不垂直，叉乘应当拿到个“倾斜”的向量，而不是垂直于它们平面的轴。
这说明叉乘的结局方向确实是在两个向量的平面内，而不是垂直于空间本身。 有时候你还会遇到张量积，这个概念跟叉乘有点像类似，都是把两个向量变成一个三维向量。
可是张量积的结局是个数，并且符号跟叉乘彻底反之。
比如 $3 times 2$ 是 6，而 $2 times 3$ 反而是 -6。
这一点挺关键，别搞混了。
要是做编程题要么物理建模，你得时刻盯着这个符号的变化，搞错了方向要么符号，算出来的力要么磁场方向就全反了，那实验数据对不上，软件渲染也废了。 最终得说下它的几何意义，特别是在计算立体图形的时候。当你把两个向量当成长方体的棱长时，叉乘算出来的那个垂直向量，实际上就是长方体的体对角线要么对角面的法线。在计算机图形学里，你时常得用这个乖张向量（也就是叉乘结局）来计算光照的反射方向，要么判断两个面的朝向关系。
要是搞错了，模型就会塌，要么光照全反了。 总而言之，向量叉乘不是啥复杂难啃的骨头，它就是一组确定方向的规则，一组明确的计算顺序，还有一个挺直观的几何面积概念。
只要记住右手定则，搞懂它和面积、垂直、还有符号顺序的关系，你就能应付绝大多数相关题目。别整那些教科书式的全套话，直接用例子去套公式，脑子里有图，手就不会抖。