考研数学公式速记指南（内部讲义版） 1.极限的极限：$lim_{x to infty} (1+x)^{1/x} = e$ 别急着背那个 $e$ 的定义。
看图讲话，$1+1 = 2$，$1+2 = 3$（哦不对，是 $1+1=2, 1+2=3$ 这种加法，指数是 $1/x$ 这种除法）。 想象一下，你从原点出发，每天走一步，走的距离是昨天的 $1+1$ 倍，也就是 2 倍，$3$ 倍……这是指数增长。
然后你每次走一步的工夫是 $1$ 秒，$1/2$ 秒，$1/3$ 秒……这是工夫收敛。当工夫无限逼近 $0$ 的时候，你的速度（导数）就无限大，这就是 $e$ 的来源。 别把它当成积分对数那个公式来的。
那个是 $int frac{1}{t} dt = ln t$。
这个是 $lim_{x to infty} frac{ln x}{x} = 0$。
这两个长得像，实际上一个是导数一个是定积分。 2.导数公式里的“小陷阱” 看这个：$frac{d}{dx}(sin x) = cos x$。好办。 再看这个：$frac{d}{dx}(tan x) = sec^2 x$。
这里有个细节，$tan x$ 本身就是 $frac{sin x}{cos x}$。求导的时候，分母 $cos x$ 的导数是 $-sin x$，分子 $sin x$ 的导数是 $cos x$。根据商的法则，结局是 $frac{cos x cdot cos x - sin x cdot (-sin x)}{cos^2 x} = frac{cos 2x + sin^2 x}{cos^2 x}$。化简一下就是 $sec^2 x$。 大量人第一次做 $frac{d}{dx}(sin x cdot cos x)$ 的时候好办乱，记住两个公式就够了：$f'g + fg'$。 3.积分公式：被积函数是多项式如何办？ $int x^n dx = frac{x^{n+1}}{n+1} + C$。 要是 $n$ 是负数，比如 $int x^{-1} dx$，那就不能这样除，得直接乘回去变成 $frac{x^0}{0+1} = 1$。
这就是 $e^x$ 的导数积分回去的过程。 要是是 $int x^2 ln x dx$，这就得用分部积分法。设 $u = ln x$, $dv = x^2 dx$。求出来了之后，别忘了加 $C$。 4.极限的命门：洛必达法则 $frac{0}{0}$ 型要么 $frac{infty}{infty}$ 型。 比如 $lim_{x to 0} frac{1 - cos x}{x^2}$。直接拿 $0/0$ 进导数，分子变成 $sin x$，分母变成 $2x$。还是 $0/0$，再导一次：$1/2$。 再比如 $lim_{x to 0} frac{1 - sin x}{x^3}$。直接导一次分子 $-cos x$，分母 $3x^2$。还是 $0/0$。再导一次：$frac{sin x}{2x} cdot frac{1}{x^2}$? 不对，分母是 $2x$ 还是 $3x^2$? 哦，分母导数还是 $2x$，再分一次是 $2$。
哦不对，$frac{d}{dx}(sin x) = cos x$。$frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2$。 $lim_{x to 0} frac{1 - cos x}{x^2} = lim_{x to 0} frac{sin x}{2x} = frac{1}{2}$。 5.不定积分的高级技巧 $int frac{1}{a^2 + x^2} dx = frac{1}{a} arctan frac{x}{a} + C$。 这个反三角函数别背成反正弦。
反正弦是 $arcsin$，这个是反切。 $int x e^{2x} dx$。分部积分。$u=x, dv=e^{2x}$。$du=dx, v=frac{1}{2}e^{2x}$。结局是 $x cdot frac{1}{2}e^{2x} - int frac{1}{2}e^{2x} dx = frac{x}{2}e^{2x} - frac{1}{4}e^{2x}$。
别忘了括号里也要加 $C$。 6.数列与函数极限的关联 数列极限 $lim_{n to infty} a_n$ 和函数极限 $lim_{x to infty} f(x)$ 是一回事。 比如 $a_n = frac{1}{n}$。当 $n$ 变得越来越高，整个数值越来越靠近 $0$。 再看 $a_n = 1 - frac{1}{n}$。当 $n to infty$，$frac{1}{n} to 0$，故此 $a_n to 1$。 $1 + frac{1}{n}$ 就趋于 $2$。 7.泰勒公式的展开（局部放大） 别死记硬背各项系数。$f(x) = f(0) + f'(0)x + frac{f''(0)}{2!}x^2 + dots$。 比如 $sin x$ 在 $0$ 点展开。$f(0)=0, f'(0)=cos 0=1, f''(0)=-sin 0=0$。所那会儿两项就充足。 $1 + frac{1}{1!}x + frac{1}{2!}x^2 + dots$。
这就是二项式定理 $(1+x)^x$ 在 $0$ 点的极限形式。 再比如 $e^x$。$f^{(n)}(0) = 1$ 对所有 $n$ 都成立。
故此系数全是 $1$ 的倍数。 $$e^x = 1 + x + frac{x^2}{2} + frac{x^3}{6} + dots + frac{x^n}{n!} + o(x^n)$$ 这个 $o(x^n)$ 就是“比 $x^n$ 更高阶的无穷小”，别把它理解为 $x^{n+1}$。 8.泰勒公式在极限里的妙用 大量极限题根本不用极限法则，直接套公式。 比如 $lim_{x to 0} frac{1 - cos 2x}{x^2}$。直接展开 $cos 2x approx 1 - frac{(2x)^2}{2} = 1 - 2x^2$。 分子变成 $1 - (1 - 2x^2) = 2x^2$。分母是 $x^2$。结局 $2$。 不用去算导数了，也挺直观。 再比如 $lim_{x to 0} frac{sin x}{x}$。泰勒展开 $sin x approx x - frac{x^3}{6}$。 分子分母同除以 $x$，拿到 $1 - frac{x^2}{6}$，极限还是 $1$。 9.不定积分里的换元法 $int sin^2 x dx$。别直接 $sin^2 x$ 写不下去。 利用倍角公式 $sin 2x = 2 sin x cos x$。
故此 $sin^2 x = frac{1 - cos 2x}{2}$。 原式变成 $int frac{1}{2} - frac{cos 2x}{2} dx = frac{1}{2}x - frac{sin 2x}{4} + C$。 这个公式要熟：$int cos^2 x dx = frac{1}{2}x + frac{sin 2x}{4}$。 $int sec^2 x dx = tan x$。
这个忒基础了，别忘了。 $int csc^2 x dx = -cot x$。 $int cot x dx = ln |sin x|$。 10.微分中值定理的应用 罗尔定理（Rolle's Theorem）：要是 $f$ 在闭区间连续，开区间可导，且 $f(a)=f(b)$。
那么在 $(a, b)$ 内必存有 $xi$ 使得 $f'(xi) = 0$。 比如 $f(x) = x^2 - 2x$，在 $[1, 2]$ 上 $f(1) = -1, f(2) = 2$，不知足罗尔。 比如 $f(x) = x^2 - 1$，在 $[-1, 1]$ 上，$f(-1)=0, f(1)=0$。导数 $2x=0$，故此 $xi=0$。 柯西中值定理（Cauchy's Theorem）：$f(x)$ 和 $g(x)$ 知足条件，存有 $xi$ 使得 $frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)} = frac{f'(xi)}{g'(xi)}$。 这个一般是求导数难题的逆向思维，要么需求联系到导数定义。 11.二重积分的旋转法 坐标变换。
比如极坐标。 在极坐标里，$x = r cos theta, y = r sin theta$。面积元素 $dx dy = r dr dtheta$。 积分区域 $D$ 要是圆形的，用极坐标最撇脱。 被积函数要是是常数，就能够直接乘上 $r$。 比如求单位圆的面积。$int_0^{2pi} dtheta int_0^1 r dr = 2pi cdot frac{1}{2} = pi$。 12.参数方程的积分 $y = x^2, x = 1/t$。 先求 $dy/dx$。$dy = 2x dx = 2(1/t) d(1/t) = -2/t^2 dt$。 代入积分区间。$x$ 从 $1$ 变到 $0$，$t$ 从 $infty$ 变到 $1$。 积分变成 $int_{infty}^1 (-2/t^2) dt$。算一下是 $2/t$ 从 $infty$ 到 $1$，结局是 $2$。 13.无穷级数的收敛性判断 调和级数 $sum_{n=1}^infty frac{1}{n}$ 发散。出于 $frac{1}{n}$ 不趋于 $0$（哦不对，趋于 $0$，可是衰减忒慢了）。 对比判别法：$frac{1}{n}$ 和 $frac{1}{n^2}$ 比。$frac{1}{n}$ 更大，要是后者收敛，前者可能发散。 $sum frac{1}{n}$ 比较判别法是反了，应当和 $frac{1}{n^2}$ 比较。$frac{1}{n}$ 比 $frac{1}{n^2}$ 大，后者收敛，前者发散。 比值判别法：$lim_{n to infty} frac{a_{n+1}}{a_n}$。
要是是 $frac{1}{n}$，极限是 $1$。$1$ 不知足 $<1$，发散。 莱布尼茨判别法：对于交错级数 $sum (-1)^n a_n$。
要是 $a_n$ 单调递减且趋于 $0$，则收敛。 14.考研数学的终极公式集 把上面零散的整理一下。 导数：$(f+g)'=f'+g', (fg)'=f'g+fg', (u/v)'=(u'v-uv')/v^2$。 积分：$int x^n dx = frac{x^{n+1}}{n+1}, int x^{-1} dx = ln x, int e^x dx = e^x$。 极限：$lim_{x to 0} frac{sin x}{x} = 1, lim_{x to infty} (1+x)^{1/x} = e$。 泰勒：$f(x) = f(0) + f'(0)x + frac{f''(0)}{2}x^2 + dots + frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n + o(x^n)$。 中值定理：拉格朗日 $exists xi in (a,b)$ 使得 $f(b)-f(a) = f'(xi)(b-a)$。 泰勒公式是考研数学里出现频率最高的工具，简直所有的极限题、积分题、级数题，最终都要用到它。 最终总结一下：不要试图记住所有公式的推导过程。考研考的是运用。背下来核心几个：对数、指数、三角、多项式的根本运算。遇到求导，先看看是不是 $0/0$ 要么 $infty/infty$，要是是，第一工夫找洛必达要么泰勒。遇到积分，先看凑微分要么换元。遇到极限，先看是不是 $infty-infty$ 要么 $0/0$，要是不是，直接算数值。 这就是最实用的公式体系。滚瓜溜背，遇到题直接用。 （完）
