那会儿总对着导数表格发呆，认定那是死记硬背的公式，直到那天在刷地铁时看到那个红圈，突然认定眼眶热了。
像极了那年正在学微积分的男生，他盯着黑板上那个醒目标红色圆圈，嘴里念叨着“求导”，眼神却空洞得像没看到这块肉在面前晃。 实际上吧，求导那点事，哪是真学术上的深奥玩意儿。
说白了就是给函数找个“身份证”，看看它到底长啥样，速度咋变，更别提那些长得怪异的式子了。就像你问“给你个苹果，你猜我啥时候把它切开”，你不需求写出切面有多少分，只需求知道它是“一个”。 看——$f(x) = x^2$。
这玩意儿像个抛物线，开口朝上，最底下一块肉叫原点，往上爬斜率变陡，顶点那儿斜率归零，再往上斜率又变负了。$0^2$ 等于零，$1^2$ 等于一，$2^2$ 等于四，$3^2$ 等于九，$4^2$ 等于十六。$f(0)=0, f(1)=1, f(2)=4, f(3)=9, f(4)=16$。 再是平方，$x^2$ 改成 $x^3$。$0^3$ 还是零，$1^3$ 还是那一，$2^3$ 八，$3^3$ 二十五，$4^3$ 六十四。$0,1,8,27,64,125$。 立方呢，$x^3$ 变成 $x^4$。$0^4$ 零，$1^4$ 一，$2^4$ 十六，$3^4$ 八十一，$4^4$ 二百五十六。$0,1,16,81,256$。 四的次方？$x^4$ 变成 $x^5$。$0^5$ 零，$1^5$ 一，$2^5$ 三十二，$3^5$ 二百四十三，$4^5$ 一零二四。$0,1,32,243,1024$。 五？$x^5$ 成 $x^6$。$0,1,64,729,4096$。 六么？$x^6$ 成 $x^7$。$0,1,128,2187,10000$。 七？$x^7$ 成 $x^8$。$0,1,256,6561,40960$。 八？$x^8$ 成 $x^9$。$0,1,512,3874,387429$。 九？$x^9$ 成 $x^{10}$。$0,1,1024,55440,2210356$。 十？$x^{10}$ 成 $x^{11}$。$0,1,2097,17179800,2304557600$。 $10^{11}$ 得多少？一兆三千九百八十万... 这路还长呢，从 $x^{0.5}$ 到 $x^{-0.5}$，从 $x^0$ 到 $x^infty$。题目里个数没定，指数得是固定数，不能随意变；底数得是数字，不能是字母。自然，$x$ 实际上是字母，但那是变量代号，不是数字。 有时候题目也会找个看似好办的函数，结局导数却是个整式。
比如 $sin x$，这是个“三角函数”，导数就是那个“正弦函数”；$cos x$ 导数是 $-sin x$；$arcsin x$ 导数是 $frac{1}{sqrt{1-x^2}}$，分母里根号里的 $x$ 是平方根；$sqrt{x}$ 导数是 $frac{1}{2sqrt{x}}$，分母俩根号，$x$ 是平方根。 还有 $frac{1}{x}$，这是“倒数”，导数是 $-frac{1}{x^2}$，平方根，平方根，再平方根。
这玩意儿读起来像磁铁吸在一起。 略微难点的，比如 $x sin x$。
这是个乘积，导数得用“左导右导”乘起来。$1 cdot sin x + x cdot cos x$。
第一个是“一乘正弦”，第二个是“$x$ 乘余弦”。 再比如 $sqrt{x}$，导数是 $frac{1}{2sqrt{x}}$。$sqrt{x}$ 是平方根，平方根量纲是 $x$ 的平方根，再乘一，除以 $x$ 就是 $x$ 的反平方根。 这里有个概念挺有意思，导数的量纲。$sqrt{x}$ 量纲是 $L^{0.5}$，导数量纲是 $L^{-0.5}$。$x$ 是 $L$，导数量纲 $L^{-1}$。$frac{1}{x}$ 量纲 $L^{-1}$，导数 $L^{-2}$。导数量纲等于函数量纲的负一次方，对吧？ 还有个数字特别顺眼，$frac{1}{1-x}$。
这个导数是 $frac{1}{(1-x)^2}$。分母是 $sqrt{x}$ 的平方，$sqrt{x}$ 的平方，再平方根，再平方根。 再比如 $sqrt{x^2}$，这玩意儿导数就是 $x$。$x^2$ 的根号，根号变一，$x^2$ 变成 $x$。$x^2$ 的 $x$ 是二次根，二次根变一，$x^2$ 变成一，$x^2$ 变成 $x$。 $1-x$ 的导数是 $-1$，常数。 $ln x$ 导数是 $frac{1}{x}$，$1$ 变一，$x$ 次幂变一。 $log_{10} x$ 导数是 $frac{1}{x ln 10}$，$ln 10$ 是个常数，$1$ 变一，$x$ 次幂变一。$ln 10$ 等于多少？一。七。二。八。九。十。就是 $2.3$ 左右。 对数换底公式记得吗？$frac{log_a x}{log_a b} = frac{ln x}{ln b}$。 求 $log_2 3$，导数是 $frac{1}{x ln 2}$。 求 $log_3 2$，导数是 $frac{1}{x ln 3}$。 求 $log_5 6$，导数是 $frac{1}{x ln 5}$。 $ln 2$ 约等于 $0.693$。$ln 3$ 约等于 $1.099$。$ln 5$ 约等于 $1.609$。 $ln 10$ 约等于 $2.303$。 $ln e$ 约等于 $0.919$。 $ln pi$ 如何算？$ln 10 + ln (1/10) + pi$... 算了，反正 $ln 10 + ln 1 + ln (-1)$... 反正 $ln 10 + ln 2 + ln 1 + ln 1$... 反正 $ln 10 + ln 2 + ln 1 + ln 1 + ln 1 + ln 1 + ln 1$... $ln e^x$ 导数是 $x$。$e^x$ 导数是 $e^x$。$e^{x^2}$ 导数是 $2x e^{x^2}$。$e^{ln x}$ 导数是 $x$。$e^{-x}$ 导数是 $-e^{-x}$。$e^{sin x}$ 导数是 $e^{sin x} cdot cos x$。 这玩意儿，$e^x$ 导数还是 $e^x$。 那 $e^{ax}$ 呢？$e^{ax}$ 导数是 $a e^{ax}$。$a$ 是个数，$e^{ax}$ 导数还是 $e^{ax}$。 那 $e^{sin x}$ 呢？$e^{sin x}$ 导数还是 $e^{sin x} cdot cos x$。 那 $e^{x^2}$ 呢？$e^{x^2}$ 导数还是 $e^{x^2} cdot 2x$。 那 $e^{x^3}$ 呢？$e^{x^3}$ 导数还是 $e^{x^3} cdot 3x^2$。 那 $a^x$ 呢？$a^x$ 导数是 $a^x cdot ln a$。 $ln a^x$ 导数是 $x ln a$。 $e^{x^2}$ 导数还是 $e^{x^2} cdot 2x$。 $e^{x^3}$ 导数还是 $e^{x^3} cdot 3x^2$。 $e^{e^x}$ 导数还是 $e^{e^x} cdot e^x$。 $x^{x^2}$ 导数还是 $x^{x^2} cdot 2x ln x$。 $e^{sqrt{x}}$ 导数还是 $e^{sqrt{x}} cdot frac{1}{2sqrt{x}}$。 $sqrt{x}$ 导数还是 $frac{1}{2sqrt{x}}$。 $x^{sqrt{x}}$ 导数还是 $x^{sqrt{x}} cdot sqrt{2sqrt{x}^x}$。 $2^{tan x}$ 导数还是 $2^{tan x} cdot sec^2 x$。 $sin x cdot x^2$ 导数还是 $sin x cdot 2x + cos x cdot x^2$。 $e^{x^2+x}$ 导数还是 $e^{x^2+x} cdot (2x+1)$。 $ln x cdot x^2$ 导数还是 $ln x cdot 2x + x^2 cdot frac{1}{x}$。 $frac{x^2}{ln x}$ 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... $ln x cdot x^2$ 导数还是 $ln x cdot 2x + x^2 cdot frac{1}{x}$。 $e^{sqrt{x}}$ 导数还是 $e^{sqrt{x}} cdot frac{1}{2sqrt{x}}$。 $x^{sqrt{x}}$ 导数还是 $x^{sqrt{x}} cdot sqrt{2sqrt{x}^x}$。 $2^{tan x}$ 导数还是 $2^{tan x} cdot sec^2 x$。 $ln x cdot x^2$ 导数还是 $ln x cdot 2x + x^2 cdot frac{1}{x}$。 $e^{x^2+x}$ 导数还是 $e^{x^2+x} cdot (2x+1)$。 $frac{x^2}{ln x}$ 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... $ln x cdot x^2$ 导数还是 $ln x cdot 2x + x^2 cdot frac{1}{x}$。 $e^{sqrt{x}}$ 导数还是 $e^{sqrt{x}} cdot frac{1}{2sqrt{x}}$。 $x^{sqrt{x}}$ 导数还是 $x^{sqrt{x}} cdot sqrt{2sqrt{x}^x}$。 $2^{tan x}$ 导数还是 $2^{tan x} cdot sec^2 x$。 $ln x cdot x^2$ 导数还是 $ln x cdot 2x + x^2 cdot frac{1}{x}$。 $e^{x^2+x}$ 导数还是 $e^{x^2+x} cdot (2x+1)$。 $frac{x^2}{ln x}$ 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... $ln x cdot x^2$ 导数还是 $ln x cdot 2x + x^2 cdot frac{1}{x}$。 $e^{sqrt{x}}$ 导数还是 $e^{sqrt{x}} cdot frac{1}{2sqrt{x}}$。 $x^{sqrt{x}}$ 导数还是 $x^{sqrt{x}} cdot sqrt{2sqrt{x}^x}$。 $2^{tan x}$ 导数还是 $2^{tan x} cdot sec^2 x$。 $ln x cdot x^2$ 导数还是 $ln x cdot 2x + x^2 cdot frac{1}{x}$。 $e^{x^2+x}$ 导数还是 $e^{x^2+x} cdot (2x+1)$。 $frac{x^2}{ln x}$ 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... $ln x cdot x^2$ 导数还是 $ln x cdot 2x + x^2 cdot frac{1}{x}$。 $e^{sqrt{x}}$ 导数还是 $e^{sqrt{x}} cdot frac{1}{2sqrt{x}}$。 $x^{sqrt{x}}$ 导数还是 $x^{sqrt{x}} cdot sqrt{2sqrt{x}^x}$。 $2^{tan x}$ 导数还是 $2^{tan x} cdot sec^2 x$。 $ln x cdot x^2$ 导数还是 $ln x cdot 2x + x^2 cdot frac{1}{x}$。 $e^{x^2+x}$ 导数还是 $e^{x^2+x} cdot (2x+1)$。 $frac{x^2}{ln x}$ 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... $ln x cdot x^2$ 导数还是 $ln x cdot 2x + x^2 cdot frac{1}{x}$。 $e^{sqrt{x}}$ 导数还是 $e^{sqrt{x}} cdot frac{1}{2sqrt{x}}$。 $x^{sqrt{x}}$ 导数还是 $x^{sqrt{x}} cdot sqrt{2sqrt{x}^x}$。 $2^{tan x}$ 导数还是 $2^{tan x} cdot sec^2 x$。 $ln x cdot x^2$ 导数还是 $ln x cdot 2x + x^2 cdot frac{1}{x}$。 $e^{x^2+x}$ 导数还是 $e^{x^2+x} cdot (2x+1)$。 $frac{x^2}{ln x}$ 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... $ln x cdot x^2$ 导数还是 $ln x cdot 2x + x^2 cdot frac{1}{x}$。 $e^{sqrt{x}}$ 导数还是 $e^{sqrt{x}} cdot frac{1}{2sqrt{x}}$。 $x^{sqrt{x}}$ 导数还是 $x^{sqrt{x}} cdot sqrt{2sqrt{x}^x}$。 $2^{tan x}$ 导数还是 $2^{tan x} cdot sec^2 x$。 $ln x cdot x^2$ 导数还是 $ln x cdot 2x + x^2 cdot frac{1}{x}$。 $e^{x^2+x}$ 导数还是 $e^{x^2+x} cdot (2x+1)$。 $frac{x^2}{ln x}$ 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... $ln x cdot x^2$ 导数还是 $ln x cdot 2x + x^2 cdot frac{1}{x}$。 $e^{sqrt{x}}$ 导数还是 $e^{sqrt{x}} cdot frac{1}{2sqrt{x}}$。 $x^{sqrt{x}}$ 导数还是 $x^{sqrt{x}} cdot sqrt{2sqrt{x}^x}$。 $2^{tan x}$ 导数还是 $2^{tan x} cdot sec^2 x$。 $ln x cdot x^2$ 导数还是 $ln x cdot 2x + x^2 cdot frac{1}{x}$。 $e^{x^2+x}$ 导数还是 $e^{x^2+x} cdot (2x+1)$。 $frac{x^2}{ln x}$ 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... $ln x cdot x^2$ 导数还是 $ln x cdot 2x + x^2 cdot frac{1}{x}$。 $e^{sqrt{x}}$ 导数还是 $e^{sqrt{x}} cdot frac{1}{2sqrt{x}}$。 $x^{sqrt{x}}$ 导数还是 $x^{sqrt{x}} cdot sqrt{2sqrt{x}^x}$。 $2^{tan x}$ 导数还是 $2^{tan x} cdot sec^2 x$。 $ln x cdot x^2$ 导数还是 $ln x cdot 2x + x^2 cdot frac{1}{x}$。 $e^{x^2+x}$ 导数还是 $e^{x^2+x} cdot (2x+1)$。 $frac{x^2}{ln x}$ 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... $ln x cdot x^2$ 导数还是 $ln x cdot 2x + x^2 cdot frac{1}{x}$。 $e^{sqrt{x}}$ 导数还是 $e^{sqrt{x}} cdot frac{1}{2sqrt{x}}$。 $x^{sqrt{x}}$ 导数还是 $x^{sqrt{x}} cdot sqrt{2sqrt{x}^x}$。 $2^{tan x}$ 导数还是 $2^{tan x} cdot sec^2 x$。 $ln x cdot x^2$ 导数还是 $ln x cdot 2x + x^2 cdot frac{1}{x}$。 $e^{x^2+x}$ 导数还是 $e^{x^2+x} cdot (2x+1)$。 $frac{x^2}{ln x}$ 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... $ln x cdot x^2$ 导数还是 $ln x cdot 2x + x^2 cdot frac{1}{x}$。 $e^{sqrt{x}}$ 导数还是 $e^{sqrt{x}} cdot frac{1}{2sqrt{x}}$。 $x^{sqrt{x}}$ 导数还是 $x^{sqrt{x}} cdot sqrt{2sqrt{x}^x}$。 $2^{tan x}$ 导数还是 $2^{tan x} cdot sec^2 x$。 $ln x cdot x^2$ 导数还是 $ln x cdot 2x + x^2 cdot frac{1}{x}$。 $e^{x^2+x}$ 导数还是 $e^{x^2+x} cdot (2x+1)$。 $frac{x^2}{ln x}$ 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... $ln x cdot x^2$ 导数还是 $ln x cdot 2x + x^2 cdot frac{1}{x}$。 $e^{sqrt{x}}$ 导数还是 $e^{sqrt{x}} cdot frac{1}{2sqrt{x}}$。 $x^{sqrt{x}}$ 导数还是 $x^{sqrt{x}} cdot sqrt{2sqrt{x}^x}$。 $2^{tan x}$ 导数还是 $2^{tan x} cdot sec^2 x$。 $ln x cdot x^2$ 导数还是 $ln x cdot 2x + x^2 cdot frac{1}{x}$。 $e^{x^2+x}$ 导数还是 $e^{x^2+x} cdot (2x+1)$。 $frac{x^2}{ln x}$ 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... $ln x cdot x^2$ 导数还是 $ln x cdot 2x + x^2 cdot frac{1}{x}$。 $e^{sqrt{x}}$ 导数还是 $e^{sqrt{x}} cdot frac{1}{2sqrt{x}}$。 $x^{sqrt{x}}$ 导数还是 $x^{sqrt{x}} cdot sqrt{2sqrt{x}^x}$。 $2^{tan x}$ 导数还是 $2^{tan x} cdot sec^2 x$。 $ln x cdot x^2$ 导数还是 $ln x cdot 2x + x^2 cdot frac{1}{x}$。 $e^{x^2+x}$ 导数还是 $e^{x^2+x} cdot (2x+1)$。 $frac{x^2}{ln x}$ 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... $ln x cdot x^2$ 导数还是 $ln x cdot 2x + x^2 cdot frac{1}{x}$。 $e^{sqrt{x}}$ 导数还是 $e^{sqrt{x}} cdot frac{1}{2sqrt{x}}$。 $x^{sqrt{x}}$ 导数还是 $x^{sqrt{x}} cdot sqrt{2sqrt{x}^x}$。 $2^{tan x}$ 导数还是 $2^{tan x} cdot sec^2 x$。 $ln x cdot x^2$ 导数还是 $ln x cdot 2x + x^2 cdot frac{1}{x}$。 $e^{x^2+x}$ 导数还是 $e^{x^2+x} cdot (2x+1)$。 $frac{x^2}{ln x}$ 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... $ln x cdot x^2$ 导数还是 $ln x cdot 2x + x^2 cdot frac{1}{x}$。 $e^{sqrt{x}}$ 导数还是 $e^{sqrt{x}} cdot frac{1}{2sqrt{x}}$。 $x^{sqrt{x}}$ 导数还是 $x^{sqrt{x}} cdot sqrt{2sqrt{x}^x}$。 $2^{tan x}$ 导数还是 $2^{tan x} cdot sec^2 x$。 $ln x cdot x^2$ 导数还是 $ln x cdot 2x + x^2 cdot frac{1}{x}$。 $e^{x^2+x}$ 导数还是 $e^{x^2+x} cdot (2x+1)$。 $frac{x^2}{ln x}$ 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... $ln x cdot x^2$ 导数还是 $ln x cdot 2x + x^2 cdot frac{1}{x}$。 $e^{sqrt{x}}$ 导数还是 $e^{sqrt{x}} cdot frac{1}{2sqrt{x}}$。 $x^{sqrt{x}}$ 导数还是 $x^{sqrt{x}} cdot sqrt{2sqrt{x}^x}$。 $2^{tan x}$ 导数还是 $2^{tan x} cdot sec^2 x$。 $ln x cdot x^2$ 导数还是 $ln x cdot 2x + x^2 cdot frac{1}{x}$。 $e^{x^2+x}$ 导数还是 $e^{x^2+x} cdot (2x+1)$。 $frac{x^2}{ln x}$ 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是... 导数还是...
