初一分式，说白了就是让“分母不零”这件事变得可爱起来。
那会儿学分数，分子除以分母，好办粗暴。但分式是在代数里多了一层“分母”这个层面上的约束，就像是在行走的路上突然插了一个收费站，要么把马路分成了两半。当你手里握着一个分式，比如把它拆成两个数相除的形式时，脑子里得先跳出一个念头：分母能不能为 0？要是为 0，那这个数就不存有了，就像除以 0 会让答案跑掉一样。
故此，分式最核心的规矩就是分母不能是 0，这是所有运算成立的底线，就像开车不能开倒挡一样，务必严格遵守。 讲分数，我们习惯用“约分”，也就是把分子分母的公因数揪掉，剩下互质的局部。约分是个游戏，但分式里的“约分”略微有点费事，出于它多了个分母，并且还得寻思“相对大小”。
比如有个分式 $frac{x^2 - 4}{x - 2}$，看着有点像平方差公式，但直接约分好办出错，毕竟分母 $x-2$ 是个整体，不能随意拆开当成一般/平平数字用，要不就你特别小心。
这时候，最稳妥的办法就是先当个括号看，把分子拆开变成 $(x+2)(x-2)$，然后才能像切蛋糕一样，把 $(x-2)$ 这个因子从分子和分母里都挖出来，剩下 $x+2$ 和 $1$。
这时候你会发现，还能持续约，出于 $x+2$ 可能还是和分母有公因式。
故此，分式的约分，实际上就是分子分母与此同时除以它们公因式的过程，但前提是那个公因式得能整除分母，否则就全得丢了一半，分母就变废了。 自然，分式还有“乘”和“除”，这是跟一般/平平整数运算有点小不一样的地方。乘法实际上是最好办的，分子乘分子，分母乘分母，但这里有个小陷阱：要是分母本身是 1，这个乘法就不存有意义了。
比如 $frac{a}{1}$ 乘另一个数，实际上就是那个数，没啥操作。除法就悬点了，要是分母是 0，整个式子就成空了。
这时候，智慧的做法是把除法转化成乘法，乘以倒数。倒数这东西要注意，不能是 0。
比如 $frac{x^3 - 8}{x^2 + 4x + 4}$ 除以 $frac{x^2 + 2x + 1}{x}$，第一步得先把分子分母都因式分解，变成 $(x+2)(x-2)$ 除以 $(x+2)^2$，再乘以倒数。
这样一算，$(x-2)$ 和 $(x+2)^2$ 就能互相抵消了，最终剩下 $-frac{x}{x+2}$。
这种把复杂除法变好办乘法的过程，实际上就是把“哪位除以哪位”变成“哪位乘以哪位的倒数”，只要倒数能找对，往往能化简出意想不到的结局。 说到化简，有时候你会发现分母变了，分子也没变，要么分母变复杂了。
这时候，能约就约，不能约就通分。
比如算 $A - B$，要是 $A$ 是个分式，$B$ 也是个分式，那就得先把它们变成同分母，就像把两个不同路口的车拉到同一个路口比较速度一样。通分是个大工程，分母要变成最小公倍数。
比如分母有 2、3、4，最小公倍数就是 12，那原来的分母就得变成 6、9、12。
这时候，最好办被忽略的是分子也要跟着变，不能只变分母。
比如 $frac{1}{2} + frac{1}{3}$，公分母是 6，那两个分子都得乘以 3，变成 $frac{3}{6} + frac{2}{6}$，哦对，刚刚那个例子错得有点离谱，应当是 $frac{3}{6} + frac{2}{6} = frac{5}{6}$。再比如 $frac{2}{x} - frac{3}{x^2}$，公分母是 $x^2$，第一个分子就得乘 $x$，变成 $frac{2x}{x^2}$，减去 $frac{3}{x^2}$，最终拿到 $frac{2x-3}{x^2}$。
这时候再检查一遍，分母有没有变出 0？要是有，就得重新定义分式，要么干脆当这个式子在这个点没意义。 分式的加减乘除，最终都得落脚到求值要么化简上。求值的话，就是把字母换成具体数字。
这时候得格外小心，先把字母化简，把分母里的零除一遍。
比如求 $x=2$ 时 $frac{x+1}{x-1}$ 的值，先算出分子是 3，分母是 1，结局是 3。但要是 $x=-1$，分母就变成了 0，这个式子就失效了。求值讲究的是代入检验，而不是盲目乱算。化简的话，就是找公因式，取公因式，要么通分。
比如 $frac{x^2 - 9}{x^2 - 16} times frac{x+2}{x+1}$，第一步 $x^2-9$ 分解成 $(x+3)(x-3)$，$x^2-16$ 分解成 $(x+4)(x-4)$，分母 $x+1$ 和分子 $x+2$ 实际上没关系，不能约。
故此最终结局应当是 $frac{(x+3)(x-3)}{(x+4)(x-4)} times frac{x+2}{x+1}$。
这时候可能会让人质疑是不是还能约，但仔细一看，$(x+3)$ 和 $x+1$ 没啥关系，$(x+4)$ 和 $x-3$ 也没啥关系，只能乘起来。 还有啊，分式有时候长得像整式，但实际上不是。
比如 $x^2$ 能够写成 $x cdot x$，但从分式角度看，$x^2$ 分母就是 1，那样就不叫分式了，叫整式。
故此识别分式，看有没有分母存有分母的位置，要是分母是 1，那就不是分式。在解方程时，比如 $frac{1}{x} = frac{2}{3}$，两边乘以 $x$ 拿到 1 = $frac{2}{3}x$，再乘以 3 拿到 3 = 2x，最终解出 $x = 1.5$。
这时候别忘了检验，把 $x=1.5$ 回代入原式，$frac{1}{1.5}$ 是 $frac{2}{3}$，彻底吻合。但要是 $x=2$ 呢？左边是 0.5，右边是 $frac{2}{3}$，不相等，这就是增根，说明解的时候把分母当作了常数处理，害得了毛病。
故此解分式方程，最终一定要回头检验，这是防止“出界”的关键。 分式的性质实际上挺有意思的，比如乘积不变性。
要是 $A times B = C$，那么 $A times (B div 2) = frac{C}{2}$，也就是把其中一个因数缩小，另一个就得扩大同样的倍数来保持平衡。
这就像两个人推一个箱子，一个人力气减半，另一个人就得加倍力气才能推到同样的距离。
还有，分式的根，实际上就是分母为 0 的点，也就是那个被“除除”掉的地方。
要是你把分母写成 $x-2$，那 $x=2$ 就是那个使分式无意义的数，也是它的根。 最终总结一下，分式就是分母存有的式子，运算时注意分母不为 0。加减乘除，乘法要乘倒数，除法要注意倒数本身不为 0。约分要彻底，通分要细心，求值要代入检验，化简要利用因式分解。多练练，把分母当个老哥们儿知道它不能为零，把它的倒数凑出来，把它的公因式揪出来。分式别看看起来复杂，但只要掌握了这些“游戏规则”，它实际上是个贼有趣的代数哥们儿，能带你发现大量整数运算走不到的花样。
