21 题常考的数学公式：别只背定义，要懂如何用 全国卷三卷里的第 21 题，出题人往往不整那些虚头巴脑的理论推导，直接往你脑子里塞一堆具体能用的公式。
这题一般出目前第 21 道左右，咱们归于“纯知识与应用题”那一类，不是那种让你背《立体几何》大题的，而是考你脑子里有没有堆成山似的公式。 大量学生一看到这种题就慌，恨不得把整个高中数学公式表背下来，结局发现背不完，用不上。
实际上咱们得换个脑子想，公式就是数学生活的字典。 你刷过题没？
是不是时常做这类题？比如“已知一个正方体棱长为 $a$，求它的表面积”，你脑子里第一反应可能就是 $6a^2$。
这没难题，但这只是最基础的。更难的可能是，题目给你画了一个复杂的立体图形，让你算体积要么表面积，这时候你得知道正方体、长方体、圆柱、圆锥这些几何体的表面积和体积公式。 比如，圆柱体，大家可能都熟，底面积是 $pi r^2$，高是 $h$，那体积就是 $pi r^2 h$，表面积就是 $2pi rh + 2pi r^2$。
这个公式拿到手就是废纸，出于你知道的公式都满大街都是了。真正的难点在于，这些公式时常变着样子出现。 比如，圆锥的表面积，公式是 $S = pi r^2 + pi r l$，其中 $l$ 是母线长。
这个 $l$ 时常考，大量家长一考母线长就懵了，认定那是挺复杂的勾股定理应用。
实际上没那么复杂，只要图对了，$l$ 等于从顶点到底面圆周的连线长度。 再比如平行四边形的面积，公式是 $S = ab sintheta$，$a$ 和 $b$ 是邻边，$theta$ 是夹角。
这个公式时常出目前立体几何证明题里，要么计算不规则图形的面积。
有时候题目不直接给你 $sintheta$，而是让你通过辅助线算出夹角，要么用向量法算出点积。
这时候要是不会用 $sintheta$ 这个公式，那这题就废了。 还有啊，三角函数里的二倍角公式和倍角公式，简直是高考数学的拦路虎。$sin 2theta = 2sinthetacostheta$, $cos 2theta = cos^2theta - sin^2theta$，这些公式时常出目前导数难题要么解三角方程里。
比如求导的时候，可能会遇到 $frac{d}{dx}(sin x)$，这时候就得用到这些公式来展开，不然你算不出导数。 算导数时，比如求 $sin 2x$ 的导数，直接写 $2cos 2x$ 就行，但要是你需求在求导过程中展开，就得用到二倍角公式。
这种时候，大量学生会出于没记住公式要么记错了公式，害得整个导数过程全错，最终大题也就没法做了。 再讲讲三角恒等变换。
比如 $sin(A+B)$ 展开成 $sin Acos B + cos Asin B$，这个公式叫和角公式，时常用来化简复杂的表达式。
比如题目让你证明 $sin^2frac{alpha}{2} + cos^2frac{alpha}{2} = 1$，别看这是平方和公式，但一般大家会把它写成 $frac{1}{2}(1+cosalpha) + frac{1}{2}(1+cosalpha)^2$ 这种复杂形式来化简比较慢。
这时候要是直接用平方和公式，要么化简公式 $sin^2x + cos^2x = 1$，就能快得多。 还有啊，同角三角函数关系式，比如 $sin^2alpha + cos^2alpha = 1$ 这个基础公式，别看好办，但时常作为中间步骤出现。
比如让你求 $sin^2alpha$，你往往需求先算出 $cos^2alpha$，然后再用这个公式减掉，要么反过来。
这时候要是你把这个公式忘在脑子里，要么记错了推导过程，那后面就不用想第二遍，直接卡住。 解三角形也是常考点。余弦定理 $c^2 = a^2 + b^2 - 2abcos C$，这个公式时常用来求三角形中的边长，特别是当你已知两边和夹角求第三边时。
比如题目给了一个三角形，两边长是 3 和 5，夹角是 $60^circ$，求第三边。
这时候你就得用余弦定理算出 $c^2 = 9 + 25 - 2 times 3 times 5 times frac{1}{2}$，算出 $c^2 = 25$，再开根号得 $5$。 这个公式时常和正弦定理、余弦定理混在一起考。
比如利用正弦定理求角，要么利用余弦定理求边长，这两个公式时常配合使用。
比如题目让你求 $tan A$，你一般先求出 $sin A$ 和 $cos A$，然后利用 $tan A = frac{sin A}{cos A}$ 算出来。
这时候要是这两个公式记不清楚，那后面的代换就费事了。 还有啊，数列求和公式，等比数列求和公式 $S_n = frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，等差数列求和公式 $S_n = na_1 + frac{n(n-1)}{2}d$，这些公式时常出目前组合数学要么概率统计题里。
比如让你求一个数列的前 $n$ 项和，这时候你就得知道用哪个公式。
要是选错公式，那整个计算就错了，后面再努力也没用。 概率统计里的公式也不少。
比如二项分布的期望公式 $E(X) = np$，方差公式 $D(X) = np(1-p)$，这些公式时常出目前高考数学的概率题里。
比如题目让你求某个随机变量 $X$ 的期望，你就得用到这个公式。
要是拿不准，那就别硬蒙，回去把这两个公式重新梳理一遍，记忆深刻点。 还有啊，复合函数的求导，比如求 $(sin x)^3$ 的导数，这时候就得用到链式法则，也就是 $y^2$ 的求导公式如何改，还有三角函数的求导公式如何配合。
比如 $f(x) = (sin x)^2$，求导时得先乘进去，然后 $sin x$ 的导数是 $cos x$，故此结局是 $2sin x cos x$。
这时候要是求错了一步，整个导数就错了。 集合运算也是常考点。
比如设集合 $A = {x | x^2 < 1}$，求 $A$ 的补集，这时候你就得用到集合符号的运算规则，比如 $complement_U A$。
要是集合 $A$ 的定义域搞错了，那补集也就根本没了。
这时候要是集合符号没用到，要么运算规则记混了，那整个集合难题就完了。 还有啊，空间向量中的数量积公式。
比如求两个向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 的夹角余弦值 $costheta = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}| |vec{b}|}$，这个公式时常用于立体几何里的证明和计算。
比如求异面直线夹角的余弦值，要么求二面角的平面角的余弦值，这时候你就得用到这个公式。
要是向量夹角搞错了，那整个立体几何题就错了。 总而言之，第 21 题这类题目，核心就是让你把这堆公式拿出来，能用到哪儿就用哪儿。别光看着公式发呆，要多往题目上套。
比如看到 $S = ab sintheta$，就要想图里是不是平行四边形，是不是求面积；看到 $S = pi r^2 + pi r l$，就要想是不是圆锥，是不是求侧面积；看到 $S_n = frac{a_1(1-q^n)}{1-q}$，就要想是不是数列求和。 最终说句大实话，这些公式别看基础，但有时候挺抽象。
比如有时候题目给的是坐标，让你求距离，这时候就得用空间两点间的距离公式 $sqrt{(x_1-x_2)^2 + (y_1-y_2)^2 + (z_1-z_2)^2}$。
要是这题考空间距离，那这就是个基础题，但要是考空间向量，那就要用到数量积的几何意义。
这时候要是你空间想象力不好，要么公式混淆了，那这题就难了。 故此，预备这题的时候，别光看公式表，得多去动动手笔。拿草稿纸，把公式抄上来，试着用这些公式去解一些好办的几何题，就连是用这些公式去解一些好办的数列题。你会发现，背得越多，用的越顺手，这就叫“内化”了。别怕错，错得越多，你越能搞清楚自己哪儿没记住，哪儿没套对，这才是真正掌握公式的关键。
