别整那些虚头巴脑的开场白，直接上干货。 判断一个数是不是质数，这玩意儿实际上就是看它在“乘法表”里到底能不能被除完。咱们拿 7 当例子，整十的乘法表只有 10，动身往上数，7 自己乘自己还是 49，比 7 大；再往上 8 乘 8 就是 64，也>C7。
这意味着，7 没法被 2 到 6 这些数“整除”。数学上有个概念叫“最小原素因子”，好办说就是最小的那个能整除它的数。
要是一个数大于 1 的最小原素因子不小于它本身，那它就是质数。
要是能整除的数比它本身还大，那它肯定就是个数，自然不是质数。 这里有个关键点，得先搞清楚啥叫“整除”。
比如 6 除以 2 等于 3，商是整数且没有余数，这就是整除。而 20 除以 6，除不尽，这就是不整除。判断一个数能不能被某个数整除，实际上就是一个除法测试。
要是除尽，它就是原素因子；要是除不尽，它就不是。 咱们再举个例子，比如 17。从 2 启动试，2 除不尽，3 除不尽，4 除不尽，5 除不尽，6 除不尽，7 除不尽，8 除不尽，9 除不尽，10 除不尽，11 除不尽。一直试到 13，13 乘 13 是 169，大于 17。再往上 14 乘 14 就是 196，更大了。出于 17 是比它大的最小原素因子，并且它自己大于 1，故此 17 就是质数。 大量人好办犯的毛病是把“质数”和“合数”搞混，要么把大数当成质数。
实际上只要你的数够大，除了 1 和它自己以外，肯定能被某个小于它的数整除。举个直观的例子，假设你有一个数字 1000000000，这个数明明能被 2 整除，那它就绝对不是质数。
不管你如何想，只要存有除数，它就是合数。 还要提醒一下，除了 1 和它本身以外的合数，一定起码有一个原素因子。
这个原素因子务必小于或等于它本身的一半（对于大于 1 的合数来说）。
比如 10，它的最小原素因子是 2，2 肯定小于 5，出于 2 乘 5 等于 10。
要是是 9，它的最小原素因子是 3，3 小于 4.5。
这个规则叫“算术根本定理”的核心思想，好办说就是大数分解，只要找到一个能让商变成整数的因子，那就通了。 再说说如何判断一个具体的大数。
比如要判断一个数是不是质数，最快的办法不是啥复杂的公式，而是用试除法。从 2 启动，一直除到数的一半。
要是除尽，那就是合数；除不尽，那就是质数。
不过这里有个小窍门，要是这个数挺大，比如超过 1000，那 2 到数一半之间肯定有合数，要是那里面有一个原素因子，那这个数肯定不是质数。 实际上质数在 2 到 1000 之间的质数总共有 168 个，这个数字比你还记得吗？别记着数列，直接看能不能除。 比如 12，2 除尽，肯定不是质数。13 呢？2 到 6 除都不尽，7 除也不尽，8 到 12 都除不尽，故此 13 是质数。14 呢？2 除尽，直接排除。15？3 除尽，排除。16？2 除尽，排除。 在数学的世界里，质数就像那些独自站在悬崖上，哪位也动不了、哪位也拉不住，只能靠自己找钥匙的人。它们忒特殊了，不能随意组合。
要是你把两个质数加起来，要么乘起来，拿到的新数，一般都不是质数了。
比如 2 和 3，加起来是 5（质数），乘起来是 6（合数，最小原素因子是 2，小于 6）。但要是 5 和 5 加起来是 10，5 和 7 乘起来是 35，那 35 就是合数，它的原素因子是 5，5 等于它的原素因子，符合那个规则。 判断质数这事儿，本质上就是一种筛选。你要在无数个可能的除数里，只找出那个“最小”的，要么证明它“不存有”。对于小一点的数，手算要么用计算器试除凑合；对于大一点的数，就得借助算器要么更高级的算法了，比如用平方根限制范围，要么用米勒 - 拉宾算法。
不过对于一般的人来说，只要知道从 2 启动，一直除到一半，看看能不能整除，这个逻辑就清楚了。 最终再唠叨一句，质数别看稀少，但密度挺低。在 1 到 10000 之间，只有 1229 个质数。在 10000 到 100000 之间，大约有 9592 个。
也就是说，99.9% 的数都不是质数，它们都是合数。
这反映了数学中一种普遍的现象：大局部情况下，东西都会分解，极少的是无法分解的。 故此，下次要是你看到一个数，别急着下结论。先看看能不能被 2 整除，2 是唯一的偶质数，要是整除，直接排除。再看能不能被 3 整除，3 是最小的奇质数。持续往下试，直到你确认找不到任何能除尽它的数为止。
要是真找不到，那它就是质数。
这就是最朴素的原理，也是判断质数的黄金法则。
