后付年金，也就是最终一笔钱在期末才给，这种模式在实际生活中忒常见了。
比如你去银行存一次性钱，钱存有里面，直到最终一刻才能取出来，这实际上就是标准的后付年金。大量人认定这种计算复杂，认定得用几套公式硬拼，实际上不然，只要顺着工夫轴推，逻辑就特别顺。 先说个最好办的例子。假设你每个月存 100 元，存了 3 个月，最终一个月存完。
这三笔钱分别是第 1、2、3 个月的期末形成。为了好办点，我们只看第一年的情况。第 1 个月末，你手里有 100 元；第 2 个月末，你手里有 200 元；第 3 个月末，你手里有 300 元。
这就构成了一个从 100, 200, 300 这样的序列。
要是你把这 3 笔钱加起来，算出来总数是 600 元。
这就是第 3 个月的期末价值，记作 $(3, 100)$ 或 $PV times (1+i)^3$。 大量人会把后付年金和预付年金搞混，认定它们差不多，实际上差别挺大。预付年金是你每期刚启动就给钱，比如你每月第一天存 100 元。
那第 1 个月期初，你瞬间就有 100 元了；第 2 个月期初，你又有 100 元；第 3 个月期初，你又有 100 元。
这时候你手里就是 300 元，而不是期末的 300 元。
故此预付年金在期初多了一笔当下的现金。而一般/平平年金是从第 1 期期末才启动形成现金流，对吧？ 要想把后付年金推导出来，思路实际上是反着来。
要是后付年金从第 1 期期末形成，那么到第 2 期期末，多出来的这一笔钱实际上就是买了一个类似预付年金的效果，只不过工夫往后推了一年。
故此，第 2 期期末的价值，等于第 1 期期末的价值加上当期形成的一笔钱。 我们用 $y$ 代表每期利率，$n$ 代表期数。 $PV_n$ 就是第 $n$ 期期末的价值。 在第 $n-1$ 期期末，价值是 $PV_{n-1}$。 在第 $n-1$ 期那时候，你手里已经有了期的价值 $y$。 到了第 $n$ 期，你这笔钱又增长了一期，变成了 $y(1+y)$。 故此，$PV_n = PV_{n-1} + y(1+y)$。 这是一个递归关系，但不是递归循环，出于 $PV_{n-1}$ 又是 $PV_{n-2}$ 加上 $y(1+y)$。 要是我们把上面这个式子一直往回推，从第 $n$ 期推到第 1 期。 实际上换个角度想，后付年金本质上就是一般/平平年金，只是每一笔钱都往后推了一年工夫。
一般/平平年金公式是 $a_{overline{n}|y} = frac{1 - (1+y)^{-n}}{y}$。 我们能够把这个式子乘以 $(1+y)$，看看会形成啥。 $(1+y) times frac{1 - (1+y)^{-n}}{y} = frac{1+y - (1+y)^{1-n}}{y} = frac{1+y}{y} - frac{(1+y)^{1-n}}{y}$。 这仿佛有点复杂。
不如直接看第 1 期期末的情况。 第 1 期期末的价值，就是一般/平平的年金公式算出来的数。 第 2 期期末，就是第 1 期期末的价值加上 $1$ 元。 第 3 期期末，就是第 2 期期末的价值加上 $1$ 元。 以此类推，第 $n$ 期期末的价值，就是第 1 期期末的价值加上 $n$ 元。 故此 $PV_n = PV_{n-1} + y(1+y)$，这里的 $y(1+y)$ 实际上就是当期形成的一笔 $1$ 元，但出于它要往后推一年，故此数值是 $1 times (1+y)$。 换个思路，把一般/平平年金公式乘以 $(1+y)$。 $(1+y) times frac{1 - (1+y)^{-n}}{y} = frac{1 - (1+y)^{-n}}{y} + frac{1 - (1+y)^{-n+1}}{y}$... 这样写忒乱了。 还是用递归法最清楚。 $PV_n = PV_{n-1} + 1 times (1+y)$。 $PV_{n-1} = PV_{n-2} + 1 times (1+y)$。 ... $PV_2 = PV_1 + 1 times (1+y)$。 $PV_1 = PV_0 + 1 = 1$。 把上面所有的 $PV_k$ 都代回去。 $PV_n = (PV_0 + 1) + 1(1+y) + 1(1+y)^2 + dots + 1 times (1+y)^{n-1}$。 出于 $PV_0$ 就是目前的价值，一般我们假设目前第 0 期还没形成任何现金流，要么说我们只看从第 1 期到第 $n$ 期的累积。 要是 $PV_0$ 代表第 0 期期末的价值（也就是目前），那就是一个好办的等比数列求和。 等比数列公比是 $(1+y)$，首项是 1，共有 $n$ 项。 故此 $PV_n = 1 times frac{(1+y)^n - 1}{(1+y) - 1} = frac{(1+y)^n - 1}{y}$。 什么的，这个公式结局和预付年金不一样啊？不对，我们刚刚推导的是从第 1 期期末启动算的。 要是 $PV_n$ 是从第 1 期期末启动算的，那么 $PV_1 = 1$。 $PV_2 = 1 + (1+y) = 2 + y$。 $PV_3 = 2 + y + (1+y)^2$。 这就对了。 所赶明儿付年金在第 $n$ 期期末的价值，确实是 $frac{(1+y)^n - 1}{y}$。 不过，有时候我们更习惯从第 2 期期末启动算，这样能体现出“第 2 期期末就是第 1 期期末加上一笔”的关系。 要是 $PV_2 = PV_1 + y$，这里的 $PV_1$ 是第 1 期期末的价值，也就是 $1$。 那么 $PV_2 = 1 + y$。 $PV_3 = 1 + y + (1+y) = 2 + 2y$。 $PV_4 = 2 + 2y + (1+y)^2 = (1+1)times 1 + (1+y) + (1+y)^2$? 不对，公比变了。 公比是 $(1+y)$。 $PV_2 = PV_1 + 1$。 $PV_3 = PV_2 + 1 = PV_1 + 2$。 $PV_4 = PV_3 + 1 = PV_1 + 3$。 故此 $PV_n = 1 + 2 + 3 + dots + n$。 这个逻辑对吗？ 不对，出于每一期增添的钱，不是 1，而是 $1 times (1+y)$。 啊，我刚刚在推导里有点混淆了“金额”和“工夫价值”。 赶明儿付年金看，第 1 期期末有 1，第 2 期期末有 1 存入，第 3 期期末有 1 存入。 故此第 1 期期末是 1。 第 2 期期末是 1（第 1 期存下的） + 1（第 2 期存下的，别看是在期末，但相对于第 1 期期末来说，它多了一年）。 故此 $PV_2 = PV_1 + 1 times (1+y)$。 $PV_3 = PV_2 + 1 times (1+y)$。 $PV_n = PV_{n-1} + 1 times (1+y)$。 故此 $PV_n = PV_1 + n times (1+y)$。 出于 $PV_1 = 1$。 故此 $PV_n = 1 + n(1+y)$。 这明显不对，这忒少了。 哪儿错了？ 哦，不对。
一般/平平年金 $a_{overline{n}|y}$ 是 $1 + (1+y) + (1+y)^2 dots$ 吗？ 不是，$(1+y)^{-1} times frac{1-(1+y)^{-n}}{y}$。 前一期期末的价值，是当期期末的价值除以 $(1+y)$。 即 $PV_{n-1} = PV_n / (1+y)$。 故此 $PV_n = (1+y) PV_{n-1}$。 这是一个等比数列。 首项 $PV_1 = 1$。 项数 $n$。 故此 $PV_n = frac{1 times ((1+y)^n - 1)}{(1+y) - 1} = frac{(1+y)^n - 1}{y}$。 这个公式是对的。 那为啥刚刚我认定 $PV_2 = 1+y$ 呢？ 出于 $PV_2 = PV_1 + 1 times (1+y) = 1 + (1+y) = 2 + y$。 而公式算出来的是 $frac{(1+y)^2 - 1}{y} = frac{1+2y+y^2-1}{y} = 2+y$。 吻合。 $PV_3 = frac{(1+y)^3 - 1}{y} = frac{1+3y+3y^2+y^3-1}{y} = 3+y^2+y$? 不对。 $1+3y+3y^2+y^3$ 除以 $y$ 是 $1/y + 3 + 3y + y^2$。
这显然不是整数。 哪儿又错了？ 啊，$PV_3 = PV_2 + 1 times (1+y)$。 $PV_2 = 2+y$。 $PV_3 = 2+y + (1+y) = 3 + 2y$。 而公式算出来的是 $frac{(1+y)^2 - 1}{y} = 2+y$。 这里有个庞大的矛盾。
为啥 $PV_3$ 是 $3+2y$，而公式算出来是 $2+y$？ 出于公式算的是第 3 期期末的价值，也就是 $PV_3$。 $PV_3 = PV_2 + 1 times (1+y)$。 $PV_3 = (2+y) + (1+y) = 3 + 2y$。 可是公式 $a_{overline{3}|y} = 1 + (1+y) + (1+y)^2$ 吗？ 不，一般/平平年金公式是 $1 + (1+y) + (1+y)^2$ 这种形式吗？ 不是。
一般/平平年金公式 $a_{overline{n}|y} = frac{1-(1+y)^{-n}}{y}$。 代入 $n=3$，$y=0.1$。 $1/(1.1) + 1/(1.1)^2 + 1/(1.1)^3 = 0.909 + 0.826 + 0.751 = 2.486$。 而 $2.486$ 等于 $frac{1 - 1.1^{-3}}{0.1} = frac{1 - 0.751}{0.1} = 2.49$。 故此公式是对的。 那我的推导 $PV_3 = 3+2y$ 为啥和公式不一样？ 出于 $PV_n = PV_{n-1} + y$ 吗？ 不，是在第 $n-1$ 期期末，价值是 $PV_{n-1}$。 在第 $n-1$ 期期末，你手里有 $PV_{n-1}$。 然后你在第 $n-1$ 期期末又存了 1 元，并且这 1 元要等到第 $n$ 期期末。 故此 $PV_n = PV_{n-1} + 1 times (1+y)$。 这个式子没错。 $PV_1 = 1$。 $PV_2 = 1 + 1(1+y) = 2+y$。 $PV_3 = (2+y) + 1(1+y) = 3 + 2y$。 $PV_4 = (3+2y) + (1+y) = 4 + 3y$。 $PV_5 = (4+3y) + (1+y) = 5 + 4y$。 这看起来像是线性增长。 可是这是一个等比数列啊！ $1, 2+y, 3+2y, 4+3y dots$ 公比是 $(1+y)$ 吗？ $(2+y)$ 除以 $(1+y)$ 等于 $2+y div (1+y)$。 要是 $y=0.1$，$(2.1) div 1.1 = 1.909$。 而 $2+y = 2.1$。 不，公比不是 $(1+y)$。 $PV_2 = PV_1 + 1(1+y)$。 $PV_3 = PV_2 + 1(1+y)$。 $PV_4 = PV_3 + 1(1+y)$。 这是一个公差为 $1(1+y)$ 的等差数列！ 首项 $PV_1 = 1$。 第 $n$ 项 $PV_n = 1 + (n-1)(1+y)$。 当 $n=3$ 时，$PV_3 = 1 + 2(1+y) = 3+2y$。 推导无误。 可是一般/平平年金公式算出来的是 2.486，而 $3+2y = 3+0.2 = 3.2$。 这就矛盾了。 $3.2 neq 2.486$。 说明 $PV_3$ 不是 $3+2y$。 哪儿错了？ 啊！$PV_3 = PV_2 + 1 times (1+y)$ 这个式子。 $PV_2$ 是第 2 期期末的价值。 $v_2 = v_1 / (1+y)$。 $v_3 = v_2 / (1+y) = v_1 / (1+y)^2$。 这是计算终值时用的折现因子。 要是要计算 $PV_3$，它应当是 $v_1 + 1$ 吗？ 不，$PV_3$ 是对应的 $v_1$ 吗？ $PV_3$ 是第 3 期期末的价值。 $v_1$ 是第 1 期期末的价值，等于 1。 $v_1 / (1+y)$ 是第 2 期期末的价值。 $v_1 / (1+y)^2$ 是第 3 期期末的价值。 对应的金额是 $1 / (1+y)^2$。 而 $PV_3$ 应当是 $v_3$ 吗？ $PV_3 = v_3 = v_1 / (1+y)^2$。 故此 $PV_n = 1 / (1+y)^n$。 这显然是错的。后付年金公式是 $frac{(1+y)^n - 1}{y}$。 这说明我的 $PV_n$ 定义和公式的对应关系搞反了。 公式 $frac{(1+y)^n - 1}{y}$ 是 $PV_n$ 吗？ $n=1$, $PV_1 = (1+y-1)/y = 1$。对。 $n=2$, $PV_2 = (1+2y+y^2-1)/y = 2+y$。对。 $n=3$, $PV_3 = 3+2y+y^2$ 除以 $y$ 是 $3/y + 2 + y$。 要是 $y=0.1$，那是 $30 + 2 + 0.1 = 32.1$。 明明 $PV_3$ 应当是 $3.2$ 左右。 如何算出来的数值如此大？ 哦，公式里的 $y$ 是利率，不是系数。 $frac{(1+y)^n - 1}{y} = frac{1}{y} + dots$ 当 $n=1$, $1/y$? 不对，是 $(1+y-1)/y = 1$。 当 $n=3$, $1/y + 2 + y$。 要是 $y=0.1$，那就是 $10 + 2 + 0.1 = 12.1$。 还是不对。 后付年金公式是 $frac{(1+i)^n - 1}{i} times frac{1}{(1+i)}$ 吗？ 查一下标准公式。 一般/平平年金终值 $FV_n = frac{(1+i)^n - 1}{i}$。 一般/平平年金现值 $PV_n = frac{1 - (1+i)^{-n}}{i}$。 后付年金（期末付）的现值是：$PV_0 = sum v^k = a_{overline{n}|}$。 后付年金（期末付）的终值是：$FV_n = sum (1+i)^k = s_{overline{n}|}$。 $s_{overline{n}|} = frac{(1+i)^n - 1}{i}$。 这个公式是终值。 那我之前推导 $PV_n$ 时，是不是把公式用反了？ $PV_n$ 指的是第 $n$ 期期末的价值。 $PV_n = 1 + 1(1+i) + 1(1+i)^2 + dots + 1(1+i)^{n-1}$。 这是等比数列求和。 首项 1，公比 $1+i$，共 $n$ 项。 $Sum = frac{1 times ((1+i)^n - 1)}{(1+i) - 1} = frac{(1+i)^n - 1}{i}$。 这个结局是对的。 那为啥 $n=3, i=0.1$ 时，$12.1 neq 3.2$？ 出于 $n=3$ 时，终值是第 3 期期末的钱。 $1(1.1) + 1(1.1)^2 + 1(1.1)^3 = 1.1 + 1.21 + 1.331 = 3.641$。 而公式 $frac{(1.1)^3 - 1}{0.1} = frac{1.331 - 1}{0.1} = 3.31$。 差了 300 多？ $3.641 / 3.31 approx 1.1$。 如何算出来的？ $1 + 1(1.1) + 1(1.1)^2 + 1(1.1)^3$。 这是 $s_{overline{3}|}$。 $1 + 1.1 + 1.21 + 1.331 = 4.641$。 取项数 $n=3$。 公式 $frac{(1.1)^3 - 1}{0.1} = 3.31$。 实际是 $4.641$。 差距在哪儿？ 等比数列求和公式：$a + ar + ar^2 + dots + ar^{n-1} = a frac{r^n - 1}{r - 1}$。 这里 $a=1, r=1.1$。 $1 + 1.1 + 1.21 + 1.331$。 这是 4 项。 $n=4$。 公式 $frac{(1.1)^4 - 1}{0.1} = frac{1.4641 - 1}{0.1} = 4.641$。 对了！ 故此 $n$ 务必等于 4 才有 4 项。 我的毛病在于把项数搞错了。 后付年金，要是有 $n$ 期，那么最终一笔在期末形成。 第 1 期期末：1 第 2 期期末：1 ... 第 $n$ 期期末：1 总共 $n$ 笔。 故此等比数列有 $n$ 项。 $Sum = frac{(1+i)^n - 1}{i}$。 这个公式是对的。 那推导过程就是： 后付年金第 $n$ 期期末的价值 = 第 1 期期末的价值乘以 $(1+i)$ 的 $n-1$ 次方？ 不对。 $PV_1 = 1$。 $PV_2 = 1 + 1(1+i)$? $PV_2$ 是第 2 期期末。 $PV_1$ 是第 1 期期末。 $PV_2 = PV_1 + 1$? 不，$PV_2$ 包含了 $PV_1$ 的价值，又加上了第 2 期期末的那笔 1（别看形成在期末，但相对于 $PV_1$ 的工夫点，它多了一期）。 故此 $PV_2 = PV_1 + 1 times (1+i)$。 $PV_3 = PV_2 + 1 times (1+i)$。 ... $PV_n = PV_1 + n times (1+i)$。 要是 $PV_1 = 1$。 $PV_n = 1 + n(1+i)$。 这显然不对，出于 $PV_n$ 是终值，应当远大于 $n$。 逻辑哪儿乱了？ 啊，$PV_n = PV_{n-1} + 1 times (1+i)$ 这个式子，右边是 $PV_{n-1}$ 加上当期的一笔钱。 当期的一笔钱是 1，它要等到第 $n$ 期期末。 故此 $PV_n = PV_{n-1} + 1(1+i)$。 $PV_1 = 1$。 $PV_2 = 1 + (1+i)$。 $PV_3 = 1 + (1+i) + (1+i)^2$。 $PV_n = 1 + (1+i) + (1+i)^2 + dots + (1+i)^{n-1}$。 这是 $n$ 项的等比数列。 首项 $1$，公比 $1+i$。 和 $S_n = frac{1 times ((1+i)^n - 1)}{(1+i) - 1} = frac{(1+i)^n - 1}{i}$。 结论对。 之前的混乱是出于把 $n$ 和项数搞混了，要么把求和公式里的项数看错了。 当 $n=3$ 时，求和是 $1 + (1+i) + (1+i)^2$。 这是 3 项。 公式算出来的是 $frac{(1+i)^3 - 1}{i}$。 $frac{1+3i+3i^2+i^3-1}{i} = 3 + 3i + i^2$。 实际值 $1 + (1+i) + (1+i)^2 = 1 + 1+i + 1+2i+i^2 = 3 + 3i + i^2$。 吻合。 故此推导过程就是： 后付年金第 $n$ 期期末的价值，就是 $n$ 期一般/平平年金终值的概念，但工夫轴是从 $1$ 启动，公比是 $1+i$。 故此 $PV_n = frac{(1+i)^n - 1}{i}$。 接下来说举例。 假设年利率 10%，存 3 年。 $i=0.1, n=3$。 $PV_3 = frac{(1.1)^3 - 1}{0.1} = frac{1.331 - 1}{0.1} = 3.31$ 元。 这 3 年总存了 3 次，每次 1 元。 第 1 年期末有 1 元，价值 1。 第 2 年期末有 1 元，价值 $1 times 1.1 = 1.1$。 第 3 年期末有 1 元，价值 $1.1 times 1.1 = 1.21$。 总和 $1 + 1.1 + 1.21 = 3.31$。 正好。 这个例子数据挺直观，不用忒绕。 最终总结一下。 后付年金，实际上就是一般/平平年金，可是工夫轴往后推了一年。 一般/平平年金公式分现值和终值，后付年金都是同一种求和结构，只是项数多了一期。 推导时，利用等比数列求和，首项为 1（第 1 期期末），公比为 $(1+i)$，共 $n$ 项。 结局就是 $frac{(1+i)^n - 1}{i}$。 别看看起来和预付年金有点像，但预付年金是期初，故此公式要乘 $(1+i)$。 后付年金就是一般/平平年金，不需求乘 $(1+i)$。 关键在于理解“第 $n$ 期期末”意味着你手里有 $n$ 笔钱，每笔都在前 $n-1$ 期终止的时候已经存有并 compounding 了。 故此就是求和 $1 + (1+i) + (1+i)^2 dots (1+i)^{n-1}$。 这个逻辑闭环就整个了。
