麦克劳林公式：把函数变个“数” 你想把 $f(x) = e^x$ 在 $x=0$ 点附近展开吗？用泰勒公式，你得先知道 $0$ 号导数是啥；用麦克劳林，你直接就是“把 $0$ 号导数减掉，留个余数”。
这俩名字听着像，实际上意思差不多，只是麦克劳林多了一个“在 $0$ 点”这个限定词，像把“加仑”和“升”混了。别被名字骗了，本质就是求和，本质还是逼近。 大量人当作麦克劳林就是泰勒，实际上不然。泰勒是通用的，只要知道几个点；麦克劳林特地在 $0$ 点做文章。
比如 $f(x)=sin x$，泰勒展开沿用了。但在 $0$ 点，泰勒展开里那些零阶导数就消亡了，剩下的项自动归零，结局和麦克劳林彻底没啥区别。
故此有时混用，有时严格区分，彻底看哪位撇脱。 举个例子，计算 $sin x$ 在 $0$ 的麦克劳林展开。
不用费事逐个求导，直接套公式，结局出来是带小尾巴的无限项和。每一项系数都不是乐子，得老老实实算。$sin x$ 的一阶导是 $cos x$，二阶是 $-sin x$，三阶又变回 $cos x$，四阶是 $-sin x$，故此奇数项系数都是正的，偶数项是负的。代入 $x=0$ 时，只有奇数项的 $x$ 归零，剩下的就是 $1, x, -x^3/6, x^5/120$ 这种形式。分母里那些 $n!$，别急，周期性地循环：$1!, 2!, 3!, 4!, 5!$，也就是 $1, 2, 6, 24, 120$ 接着 $720$。 写出来吧。$e^x$ 的麦克劳林展开忒经典了，无限项：$1 + x + x^2/2! + x^3/3! + x^4/4! + dots$。每一项的 $1/n!$ 都是阶乘倒数。$e^{-x}$ 就反转符号了：$1 - x + x^2/2! - x^3/3! + x^4/4! - dots$。
这些数大家应当熟，$1, 1.5, 1.66, 1.33$ 这种系数挺常见。 再换个角度，比如算 $cos x$。导数那套子忒老套了，一阶 $-sin x$，二阶 $-cos x$，三阶 $sin x$，四阶 $-cos x$。奇数项系数负，偶数项正。
故此是 $1 - x^2/2! + x^4/4! - x^6/6! + dots$。
注意这里，$x$ 的指数全是 $2, 4, 6$，出于 $sin$ 和 $cos$ 的展开里，奇次幂直接消亡。
这点泰勒和麦克劳林有讲究，泰勒可能保留到 $x^5$，但麦克劳林出于 $1, 0, 0, 0, 0$ 的初始值，$x^3$ 和更高次的系数都是 $0$，展开自然就是偶次。 求导法算 $cos x$ 在 $0$ 的展开，得算到五阶导数吗？不算。麦克劳林公式里，当 $n ge k$ 时，$f^{(n)}(a)$ 都等于 $0$。
这里 $f(x)=cos x$，$f^{(5)}(0)$ 是 $0$，更高阶也是 $0$。
故此麦克劳林级数就停了，只到 $cos x$ 的四阶项。泰勒公式要是非求到第五阶，那是为了构造多项式逼近，但麦克劳林求的是“精确到无穷”的级数（要是收敛）。 实际上有个技巧，别每次都从头求导。
比如求 $ln(1+x)$ 在 $0$ 的展开。导数是一阶 $1/(1+x)$，二阶 $-1/(1+x)^2$，三阶 $2/(1+x)^3$，四阶 $-6/(1+x)^4$。代入 $x=0$ 算系数：$1, -1, 2, -6$。分母分别是 $1, 1, 1, 1$。
故此是 $x - x^2/2! + x^3/3! - x^4/4! + dots$。
看起来像二项式系数，但系数来源不同。泰勒求导法，每次乘一次 $n$ 阶导数；麦克劳林，有时候求导，有时候直接代入系数公式 $f^{(n)}(0)/n!$。得看哪个快。 数值估算是个常用的检查手段。
比如算 $x=0.5$ 时的 $sin x$。麦克劳林级数加起来，前几项误差大约是多少？$1 - 0.5 + 0.25/2 - 0.125/6 approx 0.5833$。真值 $sin(0.5)$ 约 $0.479$。误差挺大，说明还得加下一项。泰勒展开在 $2$ 点就能逼近得挺好，而麦克劳林在 $2$ 点，高阶导数增长快（$n!$），收敛速度可能慢些，要么得算到更高阶。 降幂排列是个好习惯。麦克劳林展开，一般把 $x$ 的项从高次到低次写，要么从低次到高次。但系数里，$1, 1, 1/2, 1/6$ 这种顺序，在加法里好办乱。
不如写成 $1 + x + frac{x^2}{2} + dots$ 这种直观的方式。
要么数字堆在一起：$1 + x + frac{1}{2}x^2 + frac{1}{6}x^3 + dots$。
这样一看，每一项的系数和 $x$ 的指数对应，心里有数。 还有，无穷级数收敛是个大难题。$e^x$ 在 $x$ 挺大时，比如 $x=3$，前几项加起来可能还没到最终值。$e^3 approx 20$，前四项 $1+3+4.5+4.5=13$，误差还大。需求算到 $x^{10}$ 乃至更高阶，出于 $n!$ 增长得飞快。
不过对于固定的 $x$，麦克劳林级数是收敛的。但求导带来的 $n!$ 难题，让计算量变大。泰勒在 $2$ 点收敛快，麦克劳林在 $0$ 点别看收敛快（出于 $f^{(n)}(0)$ 可能挺小），但若 $f^{(n)}(0)$ 衰减不够快，级数发散。
比如 $f(x)=1/(1+x)$，在 $x=0.9$ 处麦克劳林级数发散（比值 $1/n to 0$ 忒慢），但泰勒在 $2$ 点收敛。
这体现了两个公式在“中心点”选择上的权衡。 本质上，麦克劳林公式是泰勒公式的一个特例。当你把泰勒点在 $0$ 时，公式自动简化。
故此做题时，要是题目给的是 $x=0$，直接写麦克劳林；要是需求求别的点，再用泰勒。
区别在于，麦克劳林里的 $n!$ 有时候会抵消掉前面的系数，显得好办。
比如刚刚的 $ln(1+x)$，一阶是 $1$，二阶是 $-1$，系数直接拿来用。 最终总结一下，麦克劳林公式就是把函数在 $0$ 点附近，用 $0$ 阶导数去构造和，加个余项。核心在于求导、代入、整理系数。别死记硬背公式，多练几个典型函数：指数、三角、对数、幂函数。
看它们在 $0$ 点的导数规律。记得，系数不是 $1, 1, 1$，而是 $1, -1, 1/2, -1/6$。别把 $sin$ 和 $ln$ 的系数搞混。把这些规律吃透了，函数展开就变好办了。
