拿个粉笔头在讲台上挥挥，那画面肯定比在课本上翻书看着更真。讲平面向量平行，如何说呢？实际上就俩概念，线平行还是点重合，听着仿佛没啥区别，细琢磨才发现门道挺多。 起初得搞清楚，啥叫“平行”。在平面上，两条直线要是永不相交，那它们就是线线平行；要是两条线段，中间别看没连起来，但方向一条是向前的，另一条是向后的，这也能叫平行；还有两条射线，只要方向角一样，哪怕起点不挨着，也是平行的。而“共线”是另一种状态，就是两点重合要么先后相接，这时候两条线段就说是共线。
还有一个好办搞混的，叫“方向反之”，比如从 A 到 B 和从 B 到 A，这俩向量平行，但角度差了 180 度，这叫反向或共线。 刚接触的话，大量人会认定公式就是 $vec{a} // vec{b}$，然后列方程。
实际上这玩意儿在初中就是看斜率，高中就是看坐标乘积。 拿坐标来说吧，要是两条向量斜率相等，那它们就平行。斜率就是 $k = frac{y}{x}$。
那要是两条线平行，它们的斜率肯定得一样，对吧？故此 $frac{y_1}{x_1} = frac{y_2}{x_2}$ 是个根本规矩。
不过得小心，分母不能为零。
要是有向量 $(1, -2)$ 和 $(3, -4)$，斜率都是 $-2$，故此平行，没难题。
要是遇到 $(1, 2)$ 和 $(3, 4)$，斜率都是 $2$，也是平行。 要是坐标里全是 0 呢？比如 $(0,0)$ 和 $(0,0)$，那它们重合，肯定不是平行，出于平行得是两条不同的线。
还有像 $(0, 1)$ 和 $(1, 0)$，一个竖着直，一个横着直，它们也是平行的，斜率确实都是无穷大，这时候就不能用分数公式，得换用方向向量的乘积为零来算，要么说看它们的点积，如何算都是零，说明互相垂直？不对，是互相垂直，方向反之。 让我换个角度讲，用叉积。在三维空间里，两个向量叉积是零向量，那它们肯定平行或共线。
那在二维里如何判断呢？实际上还是回到坐标运算。
要是两个向量 $(x_1, y_1)$ 和 $(x_2, y_2)$，只要 $x_1 y_2 - x_2 y_1 = 0$，那它们就平行。
这个式子实际上就是行列式的值。
要是值不为零，说明它们成角度了，不平行。
这个代数运算挺干脆，哪位都能做，不用写那些模长公式。 步长公式有时候大家好办卡壳。
比如 $vec{a} = (2, 4)$，$vec{b} = (3, 5)$，这两个能共线吗？算一下 $2 times 5 - 3 times 4 = 10 - 12 = -2$，不等于零，那就不平行。再比如 $(1, 2)$ 和 $(2, 4)$，那 $1 times 4 - 2 times 2 = 0$，肯定平行。
这里有个细节，有时候题目给的是模长，那就得用余弦定理要么向量积公式。
要是 $vec{a}$ 和 $vec{b}$ 平行，且同向，那它们的模长比等于坐标对应项的比，也就是 $frac{|vec{a}|}{|vec{b}|} = frac{vec{a} cdot vec{b}}{|vec{a}||vec{b}|}$，这个式子展开就是 $|vec{b}||vec{a}|cos0 = |vec{a}||vec{b}|$，$cos0$ 是 1，等式成立。 要是反向呢？比如 $vec{a} = (1, -2)$，$vec{b} = (-2, 4)$，它们平行吗？坐标乘积 $1 times 4 - (-2) times (-2) = 4 - 4 = 0$，确实是平行。
这时候 $vec{a} cdot vec{b} = -2 + (-8) = -10$，要是是同向，结局应当是正的，目前是负的，说明反向。算出比值为负数，就知道方向反了。 有些时候单纯坐标不好弄，得用几何法。
比如求 $(1, 1)$ 和 $(x, y)$ 的关系。它们平行的话，斜率得一样，$frac{y}{x} = frac{1}{1}$，故此 $y=x$。
这就挺好办了。
要是题目给的是垂线关系呢？那就要乘积为 1 要么 0。 实际上向量平行的本质，就是“方向”彻底一样要么反之，跟“长度”没关系。长度长一点，是“共线向量”；长度短一点，还是“共线向量”。
要是长度不一样，但指向反之，比如一个 10 米长往东，一个 2 米长往西，它们也是平行。有些教材会特意把“平行向量”定义为“同向共线向量”，把“共线向量”分为“同向”和“反向”，这样分类更细致。但大多数时候，只要知足坐标乘积相等，那它们就是平行的，不管同向还是反向。 关于参数方程里的点，有时候看着吓人。
比如 $vec{r} = (1+t)vec{i} + (2-t)vec{j}$，这是直线。
要是另一条是 $s(3, -4)$，只要看斜率要么乘积，肯定能平行。参数方程里要是 $t=0$ 和 $s=0$ 都重叠在某个点上，那是共线，不是平行。平行务必是两条线分开来的样子。 有时候数据会特别刁钻。
比如已知 $vec{u} = sintheta cdot (1, 2) + costheta cdot (3, 4)$，求 $vec{v} = (5, 7)$ 和 $vec{u}$ 平行时的角度。
这时候得先算出 $vec{u}$ 的坐标，然后套公式 $5 times 4 - 7 times (text{something}) = 0$。
要么直接把 $vec{u}$ 写成 $Avec{i} + Bvec{j}$ 的形式，再算 $5A - 7B$ 是不是零。
这种题好办算错，特别是三角函数的展开局部，把 $sin^2$ 和 $cos^2$ 搞混了分数，一定要细心。 还有啊，有时候题目会问“是否可能平行”，这时候得寻思特例。
比如零向量，零向量跟任何向量要么共线（方向不确定），要么说不中（出于零向量长度为零，没有方向）。
不过一般默认非零向量聊聊。 实际做题时，最稳妥的方式还是先看斜率，再看是不是有分母为零的情况。
要是都有斜率（非零），直接比斜率。
要是一个分母是零，那得转化为方向向量比较。
要是两个都是零向量，直接说平行（出于方向都不存有，随意算都行？不，严谨点说零向量与任意向量共线，但在严格平行定义里有时有特殊说法，考试时要跟着老师吃标准）。 总结一下，向量平行最核心的就是“方向角相等要么相差 180 度”。用坐标算最好办，$x_1y_2 - x_2y_1 = 0$。用几何看，就是斜率相等要么斜率不存有（都是竖直线）。长度啥的，只要方向对就行，长度长的短点也能够。
有时候看起来像直线，参数方程别看长，但只要方向向量成倍数关系，那就是平行的，跟直线段长短没关系。 最终再唠叨一句，做题别死抠定义。
只要算出数量积是零（且长度不为零），那就是平行。别被“方向反之”这种字眼绕晕了，在大多数语境下，平行包含了反向的情况，要不就题目特意强调“同向”。
要是题目说“平面向量平行”，那就是 $vec{a} times vec{b} = vec{0}$。
这种判断习惯，平时做题多练练，自然就懂了。
