楼上的，别整那些虚头巴脑的“起初其次最终”，咱们直接上干货。
要么反着来，从最直观的那个例子启动聊起。想象一下，你在教室后排看黑板，黑板上画着两条线，一条在左边的水平面上，另一条在右边的水平面上，它们既不平行也不相交。
这时候别想着套那套长篇大论的理论，直接扔个计算器，算出它们夹起来的角度，那个值就是你要找的余弦值。 你想想，这种“异面直线”的东西，实际上挺费脑子的。出于你自己那两条相交的直线一辈子成不了直角，要不就你故意把它摆成那样。
故此，当你拿到题目，看到两条线一头一尾挨在一起，但又不在同一个平面里挂着，这时候千万别慌。直接去量。用余弦定理搞一搞，要么拿向量去算，反正结局是实打实的数值。 比如，假设你手里拿着一把直角三角尺，把它折一折，让它的两个直角边不再共面，而是像这样交叉站立在桌子上。
这时候你就有了两条异面直线。为了算它们之间的夹角余弦值，你只需求把它们投影到同一条直线上，要么用向量叉乘除以点乘，最终开根号。
那个数字出来，往往是个无理数，像 $frac{sqrt{6}}{4}$ 这种，要么 $frac{sqrt{10}}{3}$ 这种。
要是你手算，那得额头见汗；这时候就得依赖计算器了。 有些时候，题目里会给你具体的长度数据，比如一条线是 3 米，另一条是 4 米，它们之间的距离和夹角的余弦值都给你定好了。
这时候你就不用费劲去推导公式，直接代入就行。
哪怕是那种看起来特别难凑的式子，只要能把数值对应上，就能搞定。 有时候你会发现，这两个数不是一一对应的。一个是边的长度，另一个是余弦值。
这时候你得自己来一场“现场测试”。把数字摆进去，看看能不能凑成一个熟悉的勾股数，要么能不能化简成整数。
要是化简不出来，那说明这个数据是特意设计的，就是为了让你用计算器。 啊，说到数据，我就想起一个经典的例子。有一条斜线，方向向量指向 $(1, 1, 1)$，另一条线垂直于它，方向向量指向 $(1, -1, 0)$。
这时候，你不用想那么多，直接算一下。点乘的结局是 $1times1 + 1times(-1) + 1times0 = 0$，哦不对，那是垂直的情况。
比如一条线是 $(1, 2, 3)$，另一条是 $(2, -1, 3)$，算出来点乘是 $2 - 2 + 9 = 9$，模长分别是 $sqrt{14}$ 和 $sqrt{10}$。
那余弦值就是 $frac{9}{sqrt{14}sqrt{10}}$，算出来是 $frac{9}{sqrt{140}}$，约分赶明儿就是 $frac{9}{2sqrt{35}}$。
这还不是最难的，最难的往往是中间过程有一堆乱七八糟的根号，最终要化简成 $frac{a}{b}$ 的形式。 还有时候，题目会给你两个方向向量 $vec{a}$ 和 $vec{b}$，让你直接求 $costheta$。
这时候公式就是 $vec{a}cdotvec{b} / (|vec{a}||vec{b}|)$。你直接把坐标乘进去，分子分母合并，最终拿到一个挺丑的分数要么带根号的数。
这时候要是题目没给具体数值，你就得自己编一组好算的数据。
比如两个向量长度都是 1，那么余弦值就是它们的点乘。
要是点乘是 0.5，那余弦值就是 0.5；要是是 0.6，那就是 0.6。 自然，有时候你搞不清这两条线到底是在同平面还是异平面。
这时候别纠结，只看它们的方向向量。
只要它们不平行（点乘不为 0），且不在同一个平面（一般通过叉乘判断），那就是异面直线。
这时候的夹角，就是它们之间最小的角度。你能够用向量法，也能够用几何法。几何法的话，就是找一条公共点，延长线，然后看它们夹的角是多少。
要是找不到公共点，那就用向量法，那个更稳。 记得啊，千万别死记硬背公式。公式只是工具，不是真理。真正的理解是当你把数字换成具体的几何意义后，你感觉到那种逻辑顺畅的时候。
比方说，当你算出两个向量夹角是 $120$ 度，那就意味着两条直线“不直”，而是以一种特定的“斜”角相交。
这个 $120$ 度，实际上就是 $cos 120 = -0.5$。
这时候你不用管它叫异面还是相交，反正夹角就是 $120$ 度，要么 $60$ 度（取小的那个）。 另外，有些时候题目会给出两个面的法向量，让你求二面角。
这时候的余弦值可能正可能负。你得看这两个面的朝向。
要是两个面背对背，余弦值就是正的；要是面对面，就是负的。
这时候你只需求判断一下视角，要么看图上的箭头方向，就能确定符号。 最终，别被那些复杂的推导式吓住。
有时候题目里会有个隐藏条件，比如这两条线所在的平面互相垂直。
这时候你能够利用坐标系，把难题变成 $xOy$ 平面和 $zOx$ 平面的难题。
然后分别算它们的法向量，最终再求夹角。
这种思路在处理空间几何题的时候特别有用，能帮你把三维难题降维成二维就连一维来处理。 总而言之，遇到异面直线的余弦值难题，核心就两个字：算。能用向量算就向量算，能用公式算就公式算，能化简就化简，不能化简就直接读计算器显示的数字。
不要为了显得高深而去推导那些繁琐的步骤，有时候一个漂亮的数，胜过千言万语的解释。
