坐标变换这东西，别一上来就把它当成啥高深莫测的数学公式堆砌。
说白了，这就好比你在房间里放个照相机照片，你想给全家福换个角度，得先把原图拿出来，再测得摄像头离人头的距离（就是透视系数），最终按相机歪了 45 度旋转，不然照片就全歪了。 大量人一学坐标变换，脑子里蹦出来的全是“旋转矩阵”、“仿射变换矩阵”这种词，认定这事儿忒难了。
实际上不然，大量人没用到就是出于他们没搞清楚，到底是在做“正交”旋转还是“透视”变形。就像你想在纸上画个等腰直角三角形，那是正交旋转；但你要是想画个梯形，让一边变长，一边变短，那就是透视变换了。
这两种东西别看名字一样，但处理的数据彻底不同。 先看看最好办的二维坐标，这就好比你在 Excel 里选了一行数据。
要是你只是想把这一行从左上往右下斜着挪一下，那大约率是个旋转。你只需求算出两个角度的正弦和余弦，乘以原来的 x 和 y。
比如你原来在 (3.046, 3.728)，你是要把它转 45 度，那新坐标就是 (3.046 除以根号 2，3.728 乘以根号 2)。
这时候你会发现，反正弦余弦的值根本都是正的，没如何变，这就对了，说明方向没变，只是挤挤挤。 但要是你想让一个物体在空间里躺着换个角度，比如从正面看侧面，这时候就得用到旋转矩阵。
这时候数据就复杂了，你得寻思方向。
要是旋转轴是 Z 轴，那 X 和 Y 就得与此同时进行变化，公式就是 $x' = x cos theta - y sin theta$，$y' = x sin theta + y cos theta$。
这时候你得小心，别把正负号搞反了，否则那东西就扭成麻花了。
举个例子，假设你有一个向量指向 300 度方向，那是 (0.866, 0.5)。你要是想把它旋转到 330 度，那就是逆时针多转了一点。
这时候你会发现，别看角度变了，但它的长度没变，这就是正交变换的核心特征：保距离。 说到这儿，大量人会问，那三维空间如何办？这就涉及到齐次坐标了。
要是把三维坐标 $(x, y, z)$ 变成一个四元数 $(1, x, y, z)$，再乘以旋转矩阵，不就搞定了吗？我在写代码的时候发现，有时候手算好办算错系数，这时候用 Python 的 numpy 库反而快多了。
比如你要把三个点 $(1,0,0), (0,1,0), (0,0,1)$ 整个转 90 度，用矩阵乘法直接就能写死一行代码，比一个个手动推导快多了。 实际上坐标变换的核心逻辑就是“找参照系”。
既然世界是由无数个点串起来的，那你只要知道参照系转了多大角度，原点的坐标就能跟着转。
这就好比你站在地上看地图，地图上的点不动，但你脚下的树凳子歪了，你看着树，树就歪了。
这时候不用去算复杂的矩阵，只需求知道“树凳子歪了 90 度”这个事实，就能推导出地上那棵树的新位置。 自然，现实情况比二维好办多了。三维空间里，除了旋转，还有平移。想象一下你拿着一个魔方，你在原地转了几圈，魔方还是那个魔方，但你搬到了另一个房间。
这时候，房间里那块牌子就在变化。坐标变换里，平移实际上就挺好办，就是所有点的 x、y、z 都加上一个偏移量。
比如你原点在 (0,0,0)，目前你翻了个号，原点变成了 (100, 200, 300)，那原来爆炸点 (10, 20, 30) 就变成了 (110, 220, 330)。
这时候你会认定整个空间都是翻过来的，但这只是坐标系变了，物体本身没变。 有时候还会遇到更复杂的变形，比如把物体拉长，要么把一点拉成线。
这时候就得引入透视系数了。
要是你把摄像头往人身上调，人离镜头越近，在照片上就越大。
这时候坐标变换就变成了 $x_{new} = x_{old} / (100 + y_{old})$，$y_{new} = y_{old} / (100 + z_{old})$。
这时候你会发现，原来的比例被打破了，远的东西变小，近的东西变大。
这种变换在实际工程里挺常用，比如画 CAD 图纸要么处理卫星图像，都得用这种透视系数。 数据方面，我们能够算个具体的例子。假设你在一个平面上画一个矩形，长宽比是 4:3。你要把它正交旋转 90 度，那宽变高，长变宽，长宽比不变。但要是你把它变成 2:1 的比例，那就是透视变换了。
这时候你就不能随意动公式，得先算出透视系数，比如 $k = text{原长}/text{新长}$，然后再套用到坐标上。 还有啊，有时候坐标变换涉及多个步骤。
比如你先把物体在 XY 平面转了，再在 Z 轴上平移，最终再由 XY 平面旋转回来。
这时候顺序忒关键了，要是先平移再旋转，最终的结局就和直接旋转回来了不一样了。
这时候就得像搭积木一样，每一步都写清楚“为啥要如此做”。 最终总结一下，坐标变换不是要把脑子填满复杂的公式，而是要搞清楚你是在处理空间旋转、平移，还是透视变形。
只要握住了“参照系如何变”这个核心，剩下的就是数据替换。你能够用 numpy 这样的大工具库，也能够手算，关键是别被那些矩阵名字吓到了。
毕竟，能把原点搬走，把点推远，把东西拉长，这才是坐标变换的本领。
