乘法的魔法：把大数化简的小技巧 咱们今天不背死定义，直接试着把一堆数揉一揉，看看能不能变出个新数来。 那会儿咱们学整数乘法，认定只要按部就班，把两个数乘，结局就是那个积。可要是这两个数特别大，写在黑板上，看着就头疼。
比如咱们要算 $99 times 99$，在草稿纸上摆几行，除了最终那个"9"，前面的"99"如何也凑不出规律。
这时候，王国维的《三书》里有个神仙公式：$(a+b)^2 = a^2 + b^2 + 2ab$。
这玩意儿实际上是平方差公式的兄弟，叫彻底平方公式。 用这个公式算 $99 times 99$，实际上就是 $(100 - 1) times 100$ 拆开，要么更直接的 $100 - 1$ 平方。
这行算式里，$a=100$，$b=1$。
那 $a^2$ 就是 $10000$，$b^2$ 就是 $1$，最关键的 $2ab$ 是 $200$。加起来：$10000 + 1 + 200 = 10201$。
哎，没错，$99^2$ 确实是 $9801$。
什么的，如何不对劲？哦，我记混了，$(100-1)^2$ 展开是 $10000 - 200 + 1 = 9801$。
对，就是这样。 再换个场景，想算 $101 times 101$。
这时候咱们也能够套用彻底平方公式。把 $101$ 拆成 $100 + 1$，那 $a=100$，$b=1$。算出来是 $10000 + 1 + 200 = 10201$。
如何算出来跟刚刚不一样了？出于 $101^2$ 本身是 $10201$，而 $99^2$ 是 $9801$，我刚刚口算的时候脑子有点短路，实际上是对的，只是数字对应关系搞混了。 实际上啊，乘法公式的核心就一句话：两数相加平方，等于平方相加，加上两倍乘积。
不管这两个数是不是整数，是不是小数，就连是不是带根号的数，这个公式都管。
比如算 $sqrt{3} times sqrt{3}$，按部就班就是 $3$。但要是我们要算 $(sqrt{3} + sqrt{2})^2$，那就除了 $3 + 2$ 之外，还得加 $2 times sqrt{3} times sqrt{2}$，也就是 $2sqrt{6}$。结局就是 $5 + 2sqrt{6}$。 咱们再回来聊一下整数的减法平方，比如 $99 times 99$。
这实际上也是 $(100-1)^2$ 的展开。
这里 $a=100, b=1$。展开后 $a^2$ 是 $10000$，$b^2$ 是 $1$，而 $2ab$ 是 $200$。根据公式 $(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$，故此结局是 $10000 - 200 + 1 = 9801$。
这个例子特别直观，出于 $a$ 和 $b$ 差距忒大，一眼就能看出 $2ab$ 这一项正好是 $200$。 要是咱们想算 $101 times 101$，那就是 $(100+1)^2$。
这时候 $a=100, b=1$。展开后是 $10000 + 200 + 1$。数学家们有个绝妙的说法：算平方完，把 $a^2$ 减去 $2ab$，再把剩下的加上 $b^2$，实际上就等于直接算 $(a+b)^2$。
为啥呢？出于 $a^2 - 2ab + b^2$ 正好抵消了中间的负号，最终变成了加法。
这就好比你吃火锅，一个人吃辣，两个人吃不辣，中间这“辣”的劲儿，就抵消了，剩下的就是大家一起吃。 咱们再试一个带小数的例子，算 $0.5 times 0.5$。
这个有点怪，出于 $0.5$ 实际上是 $frac{1}{2}$。用公式 $left(frac{1}{2} + 0right)^2$ 算，等于 $frac{1}{4} + 0 + 0 = frac{1}{4}$，也就是 $0.25$。
要是直接用 $0.5 times 0.5$，也得是 $0.25$。
看来公式是算得准的。 还有啊，像 $(102)^2$ 这种。把 $102$ 看成 $100 + 2$。$a=100, b=2$。算出来是 $10000 + 400 + 4 = 10404$。
这可是个整百整十的数，直接平方多费事？自然不费事，只要记住公式就行了。 实际上啊，所有乘法公式都是“两数平方和”的变形。
比如 $(a+b)^2$ 展开就是 $a^2 + 2ab + b^2$。在乘里，$ab$ 就是积。
故此不管你是乘整数，还是乘小数，就连乘根号，只要把其中一个数拆成两个数的和或差，就能套用这个万能公式。 最终总结一下，乘法的魔法实际上就是把复杂的运算拆好办。遇到大数相乘，别慌，找一下能不能凑成彻底平方。把大数拆成“公数 + 小数”要么“大数 - 小数”的形式，套进公式里，加加减减，瞬间就把一个大数平方要么乘方变好办了。
这就是数学的魅力，别看有时候看着Formula 88（法本公式）有点吓人，但用对它就实打实地帮你省去了大量计算量。
