重力的公式到底是如何出来的？别老想着找啥“起初、其次”，实际上这过程更像是一场物理学家和地球之间的小游戏，要么说是人类对脚下那股看不见的劲儿越来越精细的测量。想象一下，你手里拿着一个标准的砝码，把它放在桌子中间，然后只把它往左挪一点点，再往右挪一点点，突然发现它一直掉进那个固定的坑里，并且坑的位置只跟这个坑的深浅相关。
要是坑比砝码还浅，它根本动不了；要是深了，它就能沉下去；要是比它轻，它就飞起来。
这个“坑”的深浅，就是我们常说的重力加速度 g。 咱们不用假设地球是个完美的完美球体，特别是那些认定天体物理忒遥远、忒冷门的家伙们。
实际上你只要知道地球是个大约 6000 多千米的球，并且上面还堆着一层厚厚的空气，这就够了。空气是有重量的，风一吹，空气流动，空气本身带点重力，这就好比穿着靴子的人步行，脚下的空气阻力会让你的脚底略微“沉”一点，别看轻微，但物理原理是有的。
不过为了推导撇脱，咱先把空气这局部先放一边，站在一个理想的“真空”视角下来看。 咱们从最好办的模型启动。假设地球是个光滑的球面，你在球面上任意一点，甭管你在北极还是赤道，你掉下去的方向实际上都是垂直指向地心。
这就挺有意思了，你认定自己是朝“下”落，但在地心里看，你实际上是在绕着球心转。
这就像你站在旋转的圆盘上，你感觉自己向外飞，但物理上你实际上是受到了向内的离心力。
同理，物体在地球表面自由下落，就是物体在径向（指向地心的方向）拿到了一个初速度，然后凭借惯性，它在不断远离地心的与此同时，也在不断落向地心，这种“追不上来”的状态就形成了自由落体运动。 咱们不妨设定一个坐标系，让圆心的坐标原点为 (0,0)，x 轴指向正东。在球面上任意一点 P(x,y,0)，它的半径 R 是固定的。当物体只受重力功能从静止启动下落时，它的轨迹实际上是个圆锥曲线。
要是物体还有切向速度，那它就是个椭圆；要是速度刚好是圆轨道速度，那就是抛物线；而当它从地面发射速度等于圆周轨道速度时，那就是双曲线。但在“自由落体”这个最好办的日常场景里，我们只关心它能不能落回地面上来，能不能撞地。 能不能落回地面上来，这就得看它的“角动量”够不够。角动量是一个衡量物体旋转状态的量。在地球表面，物体下落时的初速度是竖直向下的，这时候它对地轴的角动量为零。
只要它没有额外的横向速度（也就是我们忽略风要么摩擦力），它就会沿着半径方向运动，最终重重地撞在地面上。
这就好比你用一根绳子在地上画圈，要是绳子松了，物体就会直接掉下去，撞在圆心的平面上。
故此，地球表面必然存有一种“临界速度”，这个速度要是低于它，物体就会直接落回地面，形成重力；要是高于它，物体就能绕着地球转起来，形成卫星。
这个临界速度，就是环绕速度 v_c = sqrt(GM/R)。 一旦物体拿到了这个速度，它就会像行星一样绕着地球转，形成轨道。
这时候，我们就会想到著名的开普勒定律。地球绕忒阳转，月球绕地球转，卫星绕卫星转，轨迹都是椭圆。而“重力”这个公式，实际上就是描述这些天体之间相互吸引的力，跟它们的速度和距离有啥关系。 咱们来推导一下万有引力定律。想象两个天体，质量分别为 M 和 m，它们之间的距离是 r。根据牛顿的绝对力观，我认定它们之间的引力跟它们的质量成正比，跟距离的平方成反比，这叫平方反比定律。但这里有个庞大的陷阱，就是牛顿是绝对主义者，他总认定万有引力是超距功能，力是瞬间传递的，不管中间隔多远。
这显然不对，特别是后来天王星被发现绕忒阳转，距离忒阳八亿多公里，牛顿的公式彻底解释不了。 为了修正这一点，艾萨克·牛顿想到了一个巧妙的办法：等效原理（要么叫切向加速度原理）。他在推导时做了一个大胆的假设：就像我们在地球上向下落，和在忒空里受地球引力加速一样，两者在物理上是等价的。在地球上，物体下落加速度是 g；在忒空里，物体绕地球转，其平均加速度也是 g（方向不同，但在圆周运动中，向心加速度大小等于 g）。
既然这两种不同的运动状态形成的是同一个加速度，那它们背后的缘由应当是一样的。 也就是说，形成向心加速度的那个力，和形成自由落体加速度的那个力，本质上是同一种东西。
那么，向心力 F 一定等于 mg。而这个力，就是万有引力 F。
既然 F = mg，那这就是我们要找的关系。再结合平方反比定律，F = G M m / r^2。出于质量 m 两边都有，消掉之后，还剩下 M 和 m 的比值。
这说明引力大小跟中心天体的质量成反比，跟两个天体距离的平方成反比。 故此，我们最终的公式就是 F = G M m / r^2。
这里的 G 是个常数，叫引力常数，大约是 6.674 × 10^-11 N·m²/kg²，这个数特别小，说明力挺微弱，要不就 M 特别大，要么 r 特别小，否则我们就感觉不到。 那这个公式是如何在历史上被推导出来的？实际上历史上也没有一本完美的书，全是“起初、其次”。
牛顿是在 1687 年《自然哲学的数学原理》里，通过一个更复杂的论证才初步提出的。他起初定义了“引力”和“万有引力”的概念，然后利用开普勒第三定律（椭圆轨道周期的平方和半长轴的立方成正比），再结合开普勒第一和第二定律（面积定律、速度矢量定律），最终推导出平方反比律。 咱们不用管他是如何想的那么复杂。咱们直接看结局。利用开普勒定律，能够得出一个关系式：T^2 / a^3 = const。
这里的 T 是周期，a 是半长轴。而引力供给向心力，故此 F = M v^2 / r = M (2πr/T)^2 / r = 4π^2 M r / T^2。把 T^2 代入开普勒公式，拿到 T^2 = const × a^3。再结合 F = G M m / r^2，通过代换系数，就能够算出 G。 你看，这个推导过程别看绕了点，但每一步都逻辑严密。
牛顿用数学证明白：只要行星绕忒阳运动，那么忒阳对行星的引力必然遵循平方反比律。出于万有引力是普适的，对忒阳也适用。而要是我们用万有引力公式 F = G M m / r^2 去计算行星的向心力，会发现它确实等于忒阳对行星的引力。
这反过来又证明白平方反比律是成立的。 再来看地球表面的重力。当 r 趋近于地球半径 R 时，g 就等于 G M / R^2。
这就是我们在地球上看到的重力加速度。咱们那会儿学过的 g = 9.8 m/s²，这个值实际上就是 G 乘以地球质量再除以地球半径的平方。
要是地球质量变了，g 变了吗？变了。地球质量大了，g 就大了。
要是地球半径也大了，g 就小了。 那我们有没有办法测量 g？有一个挺好的例子。火箭发射时，最下面那个“二子火箭”最下面的第二级，它要顶着最大的重力。我们在发射台上铺满沙子，说是为了缓冲。当火箭起飞时，第二级受到向上的推力和向下的重力。托里拆利托动了第二级，第二级托动了大火箭。
这个过程中，第二级受到的重力和火箭受到的重力是同一个力的大小。我们直接把第二级放在天平上，就能称出它的重量。
这个重量就是重力 mg。
这个实验在 19 世纪初就做过了，证明白重力确实存有，并且跟质量成正比。 那有没有办法直接算出 g 呢？不用称，不用测速度。你只要知道地球的半径 R，知道地球的密度，要么知道地球的质量 M，利用公式 g = G M / R^2 就能算出来。
这就是后来“人造地球卫星”时代，宇航员们估算宇宙中引力大小的方式。你知道地球绕忒阳转，周期是 1 年，轨道半径是 1 个天文单位。你就能够套用开普勒公式算出忒阳的质量 M。
然后再用 g = GM/R^2 算出地球表面的重力加速度。 咱们再拿个例证。假设你在月球表面，你体重是 60 公斤的人，在地球上能称出 60 公斤。在月球上，重力加速度大约是地球的 1/6。
为啥？出于月球的质量只有地球的 1/81，半径只有地球的 1/4。g 跟质量成正比，跟半径平方成反比。
故此 g_moon = g_earth × (M_moon/M_earth) / (R_moon/R_earth)^2 = 9.8 × (1/81) / (1/16) ≈ 1.6 m/s²。
这就是为啥我们在月球上跳一下，能把体重秤上的读数拉低一半。 故此，重力的公式 F = G M m / r^2 实际上并不神秘，它只是把宇宙中所有的引力关系都统括在一个方程里了。从地球表面的石头，到绕月运行的卫星，再到忒阳系中的大行星，所有天体的运动，本质上都是这个公式在不同参数下的表现。它告诉我们，世界是统一的，不管你在哪儿，引力都是按照同样的规则在起功能。 这就够了，不需求再找啥“为啥”。
既然实验证实了，数学模型也吻合，我们只需求记住这个公式，并在需求的时候把它用起来。下次当你仰望星空，要么站在地面上感受脚下的重量时，心里能够默念一句：这是牛顿用数学这把钥匙，撬开了宇宙引力大门的最终一把锁。
