要搞懂三个向量相乘，咱们先别急着背公式，就顺着脑子乱想。想象手里有三根棍子，分别是 $vec{a}$、$vec{b}$ 和 $vec{c}$。你们知道的是，直接拿三根棍子叠罗汉算长度？这事儿行不通，得看你如何搭。 一般大家纠结的点就在那儿：到底是两两乘？还是三根连起来？实际上都不拘泥于哪个顺序，答案就藏在那儿。 先看平方那个，$vec{a}^2$，这实际上没毛病，自己跟自己乘。再看标量积，$vec{a} cdot vec{b}$，这是问两根棍子夹角多少，结局是个数。最费事的是三重积 $vec{a} cdot (vec{b} cdot vec{c})$。别看符号，这玩意儿实际上是先算 $vec{b} cdot vec{c}$ 拿到一个数，再用那个数去乘 $vec{a}$，结局就是一个标量。 这里头有个怪的陷阱，就是混合积。大量人当作 $vec{a} cdot (vec{b} times vec{c})$ 是标量积，实际上错啦。$vec{b} times vec{c}$ 是个向量，归于二重积，然后 $vec{a}$ 再跟它做一次点积。
故此最终出来的结局是个数，这玩意儿叫“三重积”。 这就涉及到一个挺天确实误解：大量书说 $vec{a} cdot (vec{b} times vec{c})$ 是“三向量相乘”。
实际上这话说得忒满。
严格来说，向量本身只是直线、平面起点和方向那回事，它们没“乘法”的资格。所谓的“三重积”，本质上就是 $vec{a} cdot (vec{b} times vec{c})$ 这个算式的结局。 还有那个标量积 $vec{a} cdot (vec{b} times vec{c})$，它算出来的结局是个数，叫标量积。而双重积 $vec{a} times vec{b}$ 是个向量。
这才是最关键的。 搞懂了概念，再看公式了。三重积的展开式，实际上跟向量展开挺像，但变量是向量。$vec{a} cdot (vec{b} times vec{c}) + vec{b} cdot (vec{c} times vec{a}) + vec{c} cdot (vec{a} times vec{b})$ 这个式子，左边叫“标量积”，右边是“三重积”的展开。左边实际上是标量积的线性运算，右边是三重积的线性运算。 那有没有啥巧法？别扯啥轮换对称，忒庸俗。直接看定义。 定义是：先算 $vec{b} times vec{c}$ 拿到一个垂直于平面 $vec{b}vec{c}$ 的向量，然后 $vec{a}$ 跟这个结局点乘。 展开之后，你会发现每一项都是 $vec{a}$ 跟 $vec{b}vec{c}$ 的混合积。 第一项：$vec{a} cdot (vec{b} times vec{c})$ 第二项：$vec{b} cdot (vec{c} times vec{a})$ 第三项：$vec{c} cdot (vec{a} times vec{b})$ 这三个式子加起来，就是三重积的整个定义。你能够把它理解为三个“方向力”在同一个平面上的投影叠加。 举个例子，咱们来算个具体的。 设 $vec{a} = (1, 2, 3)$，$vec{b} = (4, 5, 6)$，$vec{c} = (7, 8, 9)$。 先算 $vec{b} times vec{c}$。 $vec{b} times vec{c} = begin{vmatrix} mathbf{i} & mathbf{j} & mathbf{k} \ 4 & 5 & 6 \ 7 & 8 & 9 end{vmatrix}$ $mathbf{i}$ 分量：$5 times 9 - 6 times 8 = 45 - 48 = -3$ $mathbf{j}$ 分量：$-(4 times 9 - 6 times 7) = -(36 - 42) = 6$ $mathbf{k}$ 分量：$4 times 8 - 5 times 7 = 32 - 35 = -3$ 故此 $vec{b} times vec{c} = (-3, 6, -3)$。
这确实是个垂直向量。 然后 $vec{a} cdot (vec{b} times vec{c})$，也就是 $(1, 2, 3)$ 跟 $(-3, 6, -3)$ 点乘。 $1 times (-3) + 2 times 6 + 3 times (-3) = -3 + 12 - 9 = 0$。 结局为 0，说明三个向量共面。 再换个情况，要是 $vec{c}$ 变了，$vec{c} = (1, 1, 1)$。 先算 $vec{b} times vec{c}$：$begin{vmatrix} mathbf{i} & mathbf{j} & mathbf{k} \ 4 & 5 & 6 \ 1 & 1 & 1 end{vmatrix}$ $mathbf{i}$: $5-6 = -1$ $mathbf{j}: -(4-6) = 2$ $mathbf{k}: 4-5 = -1$ 结局是 $(-1, 2, -1)$。 再点乘 $vec{a} (1, 2, 3)$：$1 times (-1) + 2 times 2 + 3 times (-1) = -1 + 4 - 3 = 0$。 还是 0，说明 $vec{c}$ 也在 $vec{a}vec{b}$ 构成的平面上。 那要是三个向量彻底不共面呢？ 设 $vec{a} = (1, 0, 0)$，$vec{b} = (0, 1, 0)$，$vec{c} = (0, 0, 1)$。
这是标准基底。 $vec{b} times vec{c} = (1, 0, 0) = vec{a}$。 $vec{a} cdot vec{a} = 1$。 结局是 1，绝对值。 再试一个非单位长度的。$vec{a} = (2, 3, 4)$，$vec{b} = (1, 5, 6)$，$vec{c} = (1, 1, 1)$ (前面那个例子)，刚刚算过就是 0。 那凑个非零的。 $vec{a} = (1, 1, 0)$，$vec{b} = (1, 0, 1)$，$vec{c} = (0, 1, 1)$。 $vec{b} times vec{c} = begin{vmatrix} mathbf{i} & mathbf{j} & mathbf{k} \ 1 & 0 & 1 \ 0 & 1 & 1 end{vmatrix}$ $mathbf{i}: -1$ $mathbf{j}: -(0-1) = 1$ $mathbf{k}: 1-0 = 1$ 结局是 $(-1, 1, 1)$。 $vec{a} cdot (-1, 1, 1) = 1 times (-1) + 1 times 1 + 0 times 1 = 0$。 咦？还是 0？这三个向量肯定不共面啊。 再算一遍叉乘。 $vec{b} times vec{c} = (-1, 1, 1)$ $vec{a} = (1, 1, 0)$ 点乘：$-1 + 1 + 0 = 0$。 好的，这三个向量确实共面。
看来 $vec{a}=(1,1,0), vec{b}=(1,0,1), vec{c}=(0,1,1)$ 共面。 那要是 $vec{a} = (1, 0, 0)$，$vec{b} = (0, 1, 0)$，$vec{c} = (0, 0, 1)$ 呢？ $vec{b} times vec{c} = (1, 0, 0)$ $vec{a} cdot (1, 0, 0) = 1$。 非零。
这就对了。 故此，公式就是 $vec{a} cdot (vec{b} times vec{c})$。 这个式子在几何上代表以 $vec{b}vec{c}$ 为底面、$vec{a}$ 为高的平行六面体的体积。 要是结局是 0，说明体积为 0，也就是三个向量共面要么重合。 要是结局是正数，说明体积为正；要是是负数，说明方向反了。 别被啥“三重积等于 $vec{a}cdotvec{b}cdotvec{c}$"给忽悠了。三个标量相乘没有这种运算。最接近的叫“混合积”，但混了个“积”字，好办让人当作是个代数式。
实际上它是一个几何量，是一个数，可能带个符号。 故此，记住这个：向量乘法里，没有 $vec{a} times (vec{b} times vec{c})$ 这种直接括号嵌套的标量积。
那个 $vec{a} cdot (vec{b} times vec{c})$ 才是标准的三重积。 要是你看到别人说 $vec{a} cdot (vec{b} times vec{c}) = vec{a} times vec{b} times vec{c}$，那他们就是在玩文字游戏，把标量积和向量积混为一谈了。 真正的数学是严谨的。$vec{a} cdot (vec{b} times vec{c})$ 是标量，$vec{a} times vec{b}$ 是向量。 不要试图发明新的运算，老老实实用定义。先算叉积拿到一个垂直向量，再跟 $vec{a}$ 点乘，就把事件搞定了。 这就是三个向量相乘的全体奥义，好办，直接，点乘。 至于能不能合并，能不能写成一行，那是另说的事。但在不引入额外假设的前提下，这个公式就是 $vec{a} cdot (vec{b} times vec{c})$。 不需求啰嗦啥“”，也不需求铺垫啥“起初”。就直接看这个算式，看结局。 结局对了，公式就对了。 这就够了。
