初中开平方那套公式，说白了就是让你把一堆乱七八糟的数，想办法变回个整数的技能。别老想着“起初...其次..."，这种句式听着像念课文大纲，实际上打开平方公式的时候，脑子是乱糟糟的一团，就像刚把电话打给老师，对方一脸懵逼地拿着黑板擦擦黑板上的例题，咱也不用问“如何样”，直接上手试试。 如何启动呢？得先想个办法。
要是你手边有个计算器，直接用那个一键开方键，那忒好办了，但也忒没劲了，咱得自己琢磨点门道。记得那个彻底平方公式，$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$，这个在开平方时用的频率最高。想象一下，你要算 $sqrt{144}$，那实际上就是想拆成两个数的平方和等于 144。你挺好办想到 $12$ 和 $12$，出于 $12+12=24$，不对，得是 $12^2+12^2$ 吗？不对，彻底平方公式里那个 $2ab$ 项，你是直接加的吗？不对，是先拆成三项再合并。
哦对，$12$ 拆成 $63$ 加 $63$，这样加起来正好是 126，还是不对。啊，我是不是绕进去了？实际上最好办的思路是：找哪位相乘等于被开方数里的那个大数，然后哪位加哪位减等于被开方数里的那个小数。
比如算 $sqrt{144}$，你脑子里蹦出来两个 $12$ 相乘等于 $144$，那剩下的 $0$ 就是减数，故此 $sqrt{144}=12$。再比如 $sqrt{64}$，你也知道 $8 times 8 = 64$，那就是 $0$，结局是 $8$。 那要是数字大了一些呢？比如 $sqrt{200}$，这就不好办了，出于你脑子里第一工夫蹦出的是 $14$，出于 $14 times 14 = 196$，离 $200$ 只差 $4$。
这就有点怪了，难道我要算 $sqrt{200}$ 等于多少？直觉告诉我可能不是整数，但计算机能算出来。
这时候就得用到那个万能公式：$sqrt{A^2 + 2AB + B^2} = sqrt{A^2} + sqrt{B^2} + sqrt{2AB}$。
你看，这就把三个数拆出来了。$144$ 能够看作 $12^2 + 0^2$，那就是 $12$ 和 $0$；$200$ 能够看作 $14^2 + 2 times 14 times sqrt{4}$，也就是 $14^2 + 2 times 14 times 2$。
这样一拆，原来的 $sqrt{200}$ 就变成了 $sqrt{1200} + sqrt{28}$。再算 $sqrt{1200}$，还是那个拆法，$10^2 + 2 times 10 times sqrt{25} + 5^2$，等于 $10 + 10 + 5 = 25$；$sqrt{28}$ 拆成 $5^2 + 2 times 5 times sqrt{4}$，等于 $5 + 5 + 2 = 12$。最终合起来，$sqrt{200} = 25 + 12 = 37$。别看这个结局看起来有点怪，但这是用工具算出来的真理，对吧？ 实际上初中数学里，开平方最核心的就是“凑”字诀。你要做的就是把自己手里的数，强行塞进彻底平方公式里。
要是你还没发现规律，那不妨换个角度思索。
比如算 $sqrt{81}$，你挺好办想到 $9 times 9$，那这个数就是 $0$，答案是 $9$。再来一个 $sqrt{121}$，那就是 $11 times 11$，跟 $0$ 相连，答案是 $11$。
这些全是整数，忒好办了。但万一遇到的是根号，比如 $sqrt{50}$，这时候就得用到那个 $A$ 和 $B$ 的公式。
你想想，$50$ 是如何来的？它是 $100$ 减去 $50$ 再加上 $50$？不对，那是加法。是 $7^2 + 2 times 7 times sqrt{2} + sqrt{2}^2$ 吗？不对，根号里的数不能随意带。$sqrt{50}$ 本身就是小数，它等于 $5sqrt{2}$，对吧？要是你强行把它写成彻底平方的形式，那就是 $sqrt{25 + 2 times 5 times sqrt{2} + 2}$ 这种结构，但这忒复杂了，初中生肯定学不到。 初中阶段，我们主要学的是：要是一个正数 $x$ 能写成 $(a+b)^2$ 的形式，那 $sqrt{x}$ 就等于 $a+b$；要是 $x$ 能写成 $(a-b)^2$ 的形式，那 $sqrt{x}$ 就等于 $a-b$。
这实际上是定义的一局部。
故此，开平方的第一步，一辈子是算出 $A$ 和 $B$，然后判断是加还是减，最终写下来。
比如算 $sqrt{145}$，你试试能不能凑成三项。$12^2 = 144$，剩下 $1$，那就是 $145 = 144 + 1$。
这就忒巧了，正好符合 $14^2 + 2 times 14 times 1 + 1^2$ 吗？不对，$14^2 = 196$，远大于 $145$。
那试试 $12$，$12^2=144$，剩下 $1$。
那 $145$ 是不是等于 $12^2 + 2 times 12 times 0 + 0^2$？那就是 $144$，离 $145$ 还差 $1$。
这说明 $145$ 不能写成整数彻底平方的形式，那它的平方根就是无限不循环小数，初中阶段主要练的是如何判断它是整数还是小数。 不过就算它不是整数，只要能用公式算出个近似值，那也是通法。
比如算 $sqrt{1784}$，你试着凑。$42^2 = 1764$，剩下 $20$。$1784 = 1764 + 20$。
那能不能写成 $(42 + sqrt{20})^2$ 的形式？展开看看：$42^2 + 2 times 42 times sqrt{20} + 20$。确实等于 $1764 + 20 = 1784$。
故此 $sqrt{1784} = sqrt{1764 + 2 times 42 times sqrt{20} + 20}$ 这种写法别看形式复杂，但逻辑上是成立的。
这时候你就能够用开平方公式一步步算出数字了。$42$ 拆成 $20$ 加 $22$，那么 $sqrt{20}$ 能够拆成 $sqrt{4} + sqrt{2} times 2$ 吗？不对，$sqrt{4}=2$，故此 $sqrt{20}=2+sqrt{50}$？也不对，$sqrt{50}=5sqrt{2}$，故此 $sqrt{20}=2+5sqrt{2}$。
这仿佛把难题搞复杂了。啊，我不纠结了，只要算出 $42$ 和 $20$ 这两个根本数字，然后利用公式算出 $25$ 和 $12$ 这些整数局部，最终加起来就是 $54$ 左右。 实际上还有个小技巧，就是在脑子里把被开方数当成一个整体，拿着那个公式的模板去套。
比如 $sqrt{100}$，直接套模板，$10^2 + 0^2$，答案 $10$。$sqrt{324}$，$18^2 + 0^2$，答案 $18$。$sqrt{225}$，$15^2 + 0^2$，答案 $15$。
这些都是整数，没烦恼。
要是遇到像 $sqrt{2356}$ 这种，你就得把 $2356$ 拆成两个数的平方和，再加上那个中间项。
比如 $40^2 = 1600$，剩下 $756$。$10^2 = 100$，剩下 $656$。$20^2 = 400$，剩下 $256$。$16^2 = 256$，正好！故此 $2356 = 40^2 + 2 times 40 times 10 + 16^2$。
这就意味着 $sqrt{2356} = sqrt{40^2} + sqrt{2 times 40 times 10} + sqrt{16^2}$。持续开这几个根号，$40$ 拆成 $20+20$，$sqrt{2 times 40 times 10} = sqrt{800} = 20sqrt{2}$？不对，$sqrt{800} = 20sqrt{2}$ 是错的，出于 $20 times 2 = 40$，应当是 $20 times 2 = 40$，故此 $sqrt{800} = 40sqrt{2}$？不对，$sqrt{800} = sqrt{400 times 2} = 20sqrt{2}$。
故此 $2356$ 的平方根包含一个 $40$，加上一个 $20sqrt{2}$，再加上一个 $16$。最终把这些加起来：$40 + 20sqrt{2} + 16$，也就是 $56 + 20sqrt{2}$。别看看着挺数学，但这就是开平方的结局。 有时候公式用起来挺烦，特别是中间那项 $2AB$ 好办搞混。
比如算 $sqrt{12 times 12}$，这就是 $12^2$，挺好办。但算 $sqrt{64 times 36}$，那就是 $24 times 6 = 144$，这也忒好办了。难题在于那些开不尽的数。
比如 $sqrt{2.25}$，这是 $1.5$。$sqrt{2.56}$，这是 $1.6$。$sqrt{2.89}$，这是 $1.7$。
这些全是整数方根，忒撇脱了。但要是 $sqrt{5}$，要么 $sqrt{12.5}$，这就没法直接套那个 $A+B$ 的公式了，得用小数要么近似算法。
反正初中阶段，只要你能把数拆成两个数平方再加上一个中间项，你就能开出来。 还有，别忘了那个 $a-b$ 的情况。
比如 $sqrt{169}$，那是 $13$。$sqrt{121}$，那是 $11$。$sqrt{100}$，那是 $10$。
这些都是靠直觉要么好办计算得出的。但要是 $sqrt{81}$，那是 $9$。
实际上大量数都是整数的平方，你不用费啥大力气就能发现。
比如 $3649$，你能不能一眼看出是 $60^2 + 2 times 60 times sqrt{20} + 20$？自然不可能。但要是 $14641$，那就是 $121^2$，直接写 $121$。 说到这儿，你或许会认定开平方忒费事，特别是大学里那些微积分题目，要求精确到小数点后六位。但初中阶段，我们只需求把数算准到整数要么一个一位小数。
比如 $sqrt{100}$ 算出 $10$，$sqrt{250}$ 算出 $15.8$ 差不多。在实际应用中，只要误差够小，就够用。
比如算建筑塔顶的高度，要么算水管里的流量，别看要精确，但在初中学校里，我们主要练的是如何把数变整，如何把大数变小数。 最终，我想跟你分享一个生活里的例子。
比如你要给一个正方形花坛浇水，一边长 $5$ 米，那面积就是 $25$ 平方米。
要么你想算一个长方形花园的面积，长 $8$ 米，宽 $6$ 米，那就是 $48$ 平方米。
这些都不是难点。但要是有一个长方形，长 $12$ 米，宽 $10$ 米，面积 $120$ 平方米，开方就是 $sqrt{120}$。
这就得用那个公式了。$120$ 能够拆成 $121 - 1$，也就是 $11^2 - 1$。
如何开方呢？$(11 - sqrt{1})^2 = 121 - 22 + 1$？不对。$(11 - 0.5)^2 = 121 - 11 + 0.25 = 110.25$。$(11 - 0.6)^2 = 121 - 13.2 + 0.36 = 108.16$。
故此 $sqrt{120}$ 就在 $10.9$ 和 $11$ 之间，大约是 $10.95$ 左右。 总而言之，开平方公式不是那种只背公式就能用的东西，它更像是一种语言转换。你要把被开方数“翻译”成两个数的平方和，再加上一个中间项，然后一步步开出来。过程中可能会有点乱，会有点像做梦，但只要把数拆得够细，把公式套得够准，最终总能算出个结局。
这就是初中数学的魅力，好办又有点深奥。
