高中数学里的投影计算公式，实际上没那么像那种刻在黑板上的死规定。
那会儿总当作只有一种公式，后来才发现，它分了好几种，就像步行有步行，跑步有跑步，主要看你是在做平面的还是立体的，是求正交投影还是斜投影。
要是彻底搞混了，那作业就写不完了，考试肯定挂科。 不管是课本上的立体几何，还是实际应用里的影子，实际上都是讲投影。先说最基础的，就是平面直角坐标系里的投影。
要是你把一张纸上的点往墙上扔，要么把图纸上的东西拉到投影仪里，那些点在墙上一堆，拉成了一条线，这就是投影。在咱们高中数学教材里，最常见的就是正投影。习惯上我们不说“投影”，直接就叫坐标轴上的投影，要么叫“斜向坐标轴上的投影”。
你看，就像你在 Cartesian 坐标系里画点，点跑到 x 轴上去，那就是 $x$ 坐标了，跑到 y 轴上去，那就是 $y$ 坐标了。
这个在微积分里叫坐标化，在几何里也是投影。公式实际上挺好办的，点 $(x, y)$ 往 x 轴投影，就是 $(x, 0)$；往 y 轴投影，就是 $(0, y)$。
这看起来忒好办了，就连有点像废话，但这就是最基础的认知。 要是说平面是个小世界，那立体世界就复杂多了。高中立体几何里，投影又有两种主要形式：正投影和斜投影。正投影的话，就是光线垂直于投影面，把物体压扁。
这时候物体上一点 $(x, y, z)$，要是投影面是 $xOy$ 平面，那它的投影就是 $(x, y)$。
这就是我们最熟悉的坐标。再看斜投影，比如平行于 z 轴的光线，打在 xOy 平面上，光线是斜着那会儿的，这时候点 $(x, y, z)$ 的投影就不是 $(x, y)$ 了，而是 $(x, z cdot tanalpha, y)$，其中 $alpha$ 是光线和投影面的夹角。
这个 $alpha$ 就是倾角。
这个公式如何记下来呢？教材里一般不直接给那个带三角函数的公式，而是通过几何方式来推导。你拿个直尺，把纸片斜着放，在纸上画一条线，量一下长度，再除以三角函数，就能算出 z 轴方向的投影长度。 再说说面积公式，这玩意儿可是高中数学的难点。平面图形投影面积，公式是 $S_{text{proj}} = S_{text{原}} cdot |costheta|$。
这个 $theta$ 是平面法线和投影面的夹角。
如何理解？这就好比你把一张纸倾斜着放，它在墙上的影子缩小了，缩小的程度取决于你倾斜角度。
要是是垂直放，$theta=0$，$costheta=1$，面积不变；要是是母线垂直于墙面，$theta=90^circ$，$costheta=0$，面积就全是 0，彻底看不见。
这个公式在立体几何里反复出现，出于一旦涉及到斜二测画法要么旋转体，投影面积就是解题的突破口。 体积方面，投影体积的公式略微复杂点。
比如正方体对着一个面投影，要是是正投影，投影面积就是正方形的面积。
那体积呢？体积等于底面积乘以高。在投影里，这就变成了投影面积乘以“高”的某种折算。
要是正方体绕着 x 轴旋转了 30 度，它的投影面积还是正方形面积，但它的体积投影了，这时候如何算体积？体积投影公式实际上是 $V_{text{proj}} = V cdot costheta cdot cosphi$。前一个 $costheta$ 是角度，后一个 $cosphi$ 是法向量夹角。
这听起来挺高级，但实际上就是本质：体积在投影面上“踩”下来的面积，等于本来体积乘以两个因子的乘积。 说到数据举例，我想起一个具体的计算过程。假设有个长方体，长 10，宽 5，高 8。目前要把它投影到 xOy 平面上。
要是投影面垂直于长方体的一条棱，那就是正投影。假设长方体竖着放，棱垂直于墙面。
那投影面积就是 $10 times 5 = 50$。体积呢？投影体积如何算？出于长方体是直棱柱，体积公式 $V = S_{text{base}} cdot h$。投影下来，相当于底面积不变，高也变短了？不对，投影体积不是好办的底乘高。对的理解是，体积投影等于底面积乘以“高度在投影方向上的分量”。
要是长方体绕着 x 轴转了 45 度，投影面垂直于底面。
这时候，底面积投影就是 $5 times 5 = 25$（出于斜2测缩小了）。体积投影呢？等于底面积（25）乘以 1（高度方向没变，只是方向变了），再乘以高度（8）？不对，这个逻辑有点乱。还是直接套公式好。$V_{text{proj}} = 10 times 5 times 1 = 50$？也不对。 让我们换个角度，用更笨的办法。体积投影公式的本质是：投影体积等于原体积乘以角度的余弦。
要是长方体绕着一条边旋转 90 度，投影面垂直于那条边。
这时候，底面积变成了矩形，长是原长，宽是原宽。体积投影就是原体积乘以 0？不是。原体积是 $10 times 5 times 8$。投影面垂直于旋转轴。
那投影面积就是 50。体积投影呢？等于 50 乘以 8 再除以根号 2？忒复杂了。 还是拿一个正方体最稳妥。正方体边长 1。正投影到 xOy 平面，投影面积是 1。体积是 1。目前把正方体绕着 x 轴旋转 45 度。此时正方体在 xOy 平面上的正投影是啥形状？是一个菱形。菱形对角线长分别为 1 和 $sqrt{2}$。面积是 $frac{1}{2} times 1 times sqrt{2} = frac{sqrt{2}}{2}$。
原来的底面积是 1。投影面积是 $frac{sqrt{2}}{2}$。$costheta = frac{sqrt{2}}{2}$。
故此面积公式 $S_{text{proj}} = S cdot |costheta|$ 彻底吻合。
那体积呢？正方体体积是 1。投影体积如何算？投影体积等于底面积乘以“高度”？不对，正方体绕着 x 轴转，z 轴方向被压扁了。投影体积应当是底面积（1）乘以 1（高度）再乘以 $cos 45^circ$？不对，投影体积公式是 $V_{text{proj}} = V cdot costheta cdot cosphi$。
这里 $theta$ 是法向量夹角，$phi$ 是另一个角。对于绕 x 轴旋转的立方体，法向量从 $(0,0,1)$ 变成了 $(0, -sin 45, cos 45)$。
故此 $theta = 45^circ$。另一个角呢？实际上对于绕 z 轴旋转，平面不变，法向量不变。
哦，我搞错了，绕 x 轴旋转，投影面是 xOy，原来的法向量是 z 轴。目前的法向量是 $(0, -sin 45, cos 45)$。
故此 $costheta = frac{cos 45}{1} = frac{sqrt{2}}{2}$。
那体积投影呢？等于 $1 cdot frac{sqrt{2}}{2} cdot 1$？不对。 实际上不用纠结这个复杂的推导了。
重点是，计算投影体积的时候，你要知道底面积在投影面上的大小，还要知道高在投影方向的投影长度。对于正方体绕 x 轴转 45 度，底面积是 $frac{sqrt{2}}{2}$。高是 1。投影体积就是底面积乘以高吗？不是。体积投影等于原体积乘以两个角的余弦。一个是法向量与投影面法向量的夹角，一个是...？算了，暂时跳过体积的复杂公式，重点放在面积上，出于面积公式 $S cdot |costheta|$ 是高频考点。 再聊聊这个公式在实际里的意义。
比如机械制图里的斜二测画法。画一个平行四边形，已知原来底是边长，高是 $h_0$。画斜二测的时候，x 轴不变，y 轴斜 45 度，长度减半。
这时候，平行四边形的面积如何算？用勾股定理算出新的对角线长度，然后乘以原来的高。
要么直接用投影面积公式。
原来面积是 $a cdot h_0$。新面积是 $a cdot frac{h_0}{2}$。
为啥是除以 2？出于 y 方向上压缩了一半。
这和投影斜率相关。斜率 $k = tan 45 = 1$。压缩系数就是 $1 / sqrt{1+1^2}$？不彻底是，斜二测的投影面积公式本质就是 $S' = S cdot frac{cosalpha}{1+cosbeta}$ 之类的东西，然后约分后拿到 $S' = S cdot frac{1}{2}$。
这个逻辑有点绕，但实际上就是说，斜着画出来的东西，面积变小了，并且变小的比例和斜率相关。 还有一个例子，就是电线杆上的投影。一根电线杆高 10 米，离塔身 5 米。塔身有个信号塔，信号塔宽 2 米。目前要算电线杆上点的投影。假设电线杆是垂直的，信号塔是垂直的。投影面垂直于地面。
那电线杆在投影面上的投影就是一个点吗？不对，是线段。信号塔在投影面上的投影是一个线段，长等于塔宽。电线杆上的点，投影下来就是一个点。
那这个投影点在哪儿？要是电线杆中心在信号塔中心正上方，那投影重合。
要是不在，那就是一个菱形区域。
这个计算实际上是用到了空间直角坐标系里的投影公式。点 $(x, y, z)$ 投影到 xOy 平面，就是 $(x, y)$。
故此只要知道 z 坐标，投影点就在 z 轴方向上的垂线上。
这个好办的例子，实际上说明白投影最核心的性质：它只保留两个坐标，丢掉第三个，并且是在垂直于第三个坐标轴的方向上压缩。 最终总结一下，高中的投影公式，核心就那点：正投影就是垂直投影，面积乘余弦，体积乘余弦。斜投影多了个倾角。计算的时候，先确定投影面，再找对应点，最终套公式。别死磕死记硬背，理解背后的几何意义，比如“压缩”、“拉长”、“角度影响”，这样就算变式题也敢接招。毕竟数学嘛，就是不断找规律，把复杂的事件好办化。
有时候最好办的理解，反而最要命。
故此，做题的时候，哪怕认定公式写得丑，也别怕，把它当成几何工具用，就能行。
