sin 啊，实际上就是正弦。它长得像个弯月，可是是标准的数学弯，不是那种画歪了的。
要是把一条线往上翘，再加上一个角度，那个翘起来的长度，就是 sin 的值。
说白了，它就是个“量角器”的尺子。 大量人第一反应认定，反正有反正弦和余弦嘛，那 sin 不就是那个最基础的参数吗？实际上不然。大量人一看到 sin，脑子里立马蹦出直角三角形，一个角、对边、斜边，还有那个一辈子背不住的 3-4-5 那套。180 度不对，30 度不对，反正设个直角三角形就死定了。
这就好比让你画一个圆，你非得先画个正方形才能算面积，多费事哪。
实际上 sin 不是靠直角三角形活过来的，它是圆天生就会的。听我说好点，想象圆像是一个庞大的弹珠，你在弹珠表面随意划一刀，从圆心连到那个切点，这条线就叫半径。
然后再找个你喜爱的角，比如从圆心出发画条线，把这个弹珠的圆心分成了两个半圆，一半是 0，一半是 180，再在那条分界线上打个点。 这就有点意思了。你从圆心出发，沿着那条分界线走，走到那个切点，这段路就是半径。目前，你从圆心再次出发，沿着你刚刚划的那条线，走到切点，这段新走的路，就是弦。在三角函数里，这个从圆心到切点的距离，就叫“对边”。 好了，别绕弯子了。sin 的定义挺好办：就是圆心到切点的距离，除以半径。
不对，什么的，我刚刚说错了，这要是直接除法，那对于 90 度来说就是 1，对于 180 度就是 0，但那个 1 和 0 是如何回事？哦，我明白了。sin 是一个比例，是弦长除以直径。当角度是 30 度时，弦长大约是半径的 0.866 倍，除以直径（2 倍半径）后，就是 0.433。
这个比例值就是 sin(30)。
要是你直接拿弦长除以半径，那是 cos 啊。
故此，sin 和 cos，就是一对孪生兄弟，只是看哪位先上坡哪位先下坡，哪位往左走哪位往右走，叫方随影随。 大量人学三角函数，最大的毛病就是把 sin 和 cos 给搞反了。
为啥如此说？出于当你站在原点往外走的时候，你离圆周越来越远，离圆心越来越远。
这时候，你横着走的距离（对边）实际上是在减小，而竖着的距离（邻边）是在增大。
故此，sin 这个函数，角度越大，值就越大，到了 90 度，它达到了顶峰，也就是 1。而 cos 呢，角度越大，值就越小，到了 90 度就变成 0 了。
这就好比你爬楼梯，sin 是你离顶楼的距离，cos 是你离楼下的距离。 再举个具体的例子。
要是你设一个圆，直径是 2 米。目前你画个 60 度的角。从圆心出发，往对边走，这段距离是根号 3。半径是 1 米。
那 sin(60) 应当是 0.866。
要是你拿着根号 3 除以 2，就是 0.866。
要是你拿根号 3 除以 1，那是 1.732，那是 cos 的值。
故此，记住这个：sin 是大弧上的弦，除以大直径。而 cos 是短弧上的弦，除以大直径。
这点挺好办搞混，出于大家习惯把角对着的边叫对边，但这在圆里彻底不对。角对着的是圆心，圆心对着的是弦。弦长除以直径，才是 sin。 还有啊，sin 不是固定的。它是个函数。sin(0) 等于 0，sin(180) 也等于 0，sin(360) 还是 0。
这是出于 0 度、180 度、360 度，它们都在一条水平线上。你往左走，0 度，sin 是 0。你往右走 180 度，还在原处，sin 还是 0。只到你往正上方走，90 度，sin 才变成 1。
这就叫周期性。每过 180 度，sin 的值就重复一次了，不过方向要反一下，这就叫奇函数。
要是说 sin 是像波浪一样的，那它实际上是双向的波，就像你在镜子前照，左右是反的。 再讲讲余弦。余弦是横着走，除以直径。角度越大，横着走越远，值越小。
故此余弦是减函数。而正弦是纵向走，角度越大，值越大。
故此正弦是增函数。
这就好比你在操场上跑圈，正弦代表你离顶点的距离，余弦代表你离起点的距离。 实际上，勾股定理也是 sqrt(1 - sin^2) 要么是 sqrt(1 - cos^2)。
这公式一出来，大家就当作是死命。
实际上是出于直角三角形里，斜边平方等于两直角边平方和。圆里，弦长平方等于半径平方加上弦心距平方。弦长就是 sin 的值乘以直径。平方一算，就是 sin^2 乘以直径平方。剩下的就是半径的平方。
故此 sin^2 + cos^2 等于 1。
这个 1 是如何回事？出于半径本身就是 1 倍的圆。
不管你把圆放大多少倍，这个比例关系一辈子不变。 在高级数学里，可能会有复数。
这时候 sin 变成了指数函数的一局部。欧拉公式里，e 的 i 次方等于 cos 加上 i 乘 sin。把指数拆开，既包含实数局部，也包含虚数局部。
这时候，sin 和 cos 就不只是是数字了，它们启动代表旋转的相位。但在中学和大学一般/平平数学里，我们主要把它们看作一个实数序列。0 度是 0，30 度是 0.5，45 度是 0.707，60 度是 0.866，90 度是 1。
这些数字是固定的，你能够查表，也能够自己算。 有时候我们会遇到 sin 和 cos 混合在一起的情况，比如 sin(30 度)。
这时候我们直接把它当成一个常数 0.5 用就行。
要是题目问的是 sin 的导数，那就是 cos。
要是问的是 cos 的导数，那就是 -sin。
故此 sin 和 cos 实际上是互逆的运算。
要是你认定先学 sin 再学 cos 忒枯燥，那也能够反过来想，先学 cos 再学 sin。
反正是用来解三角形的，最终都要求边长要么求别的量。 比如，你想知道一个内接正六边形的边长。正六边形内接于单位圆，那它的边长实际上就是 1。
要是你想知道正 16 边形的边长，那 sin(16 度) 的值就是近似值。
要是你想知道正 30 边形的边长，那 sin(15 度) 就是。
这些值都是具体的数字，你不需求去推导啥，你只需求记住反正弦和余弦。 故此说，sin 没啥好复杂的。它就是个好办的比例，把角度和长度联系起来的桥梁。它不依赖直角三角形，它依赖圆的直觉。它教我们，当角度变大时，纵向的跨度在增添，横向的跨度在减小。
这是最直观的。
只要记住了“对边除以直径”，其他难题迎刃而解。
不用啥“起初、其次、最终”，也不用啥“总而言之”。直接看圆，看弦，看比例。就是如此好办。
