多边形，也就是那个由若干条线段首尾相接围起来的封闭图形，它的面积到底该如何算呢？要是没有复杂的规则，实际上根本没必要非得套啥“公式”，大量时候咱们脑子里一秒钟就能蹦出来的东西，就够用了。
比如你画个直角梯形，老套的公式直接乘上平均底再乘以高，这玩意儿简直是把图形的根本属性给统一下了。
还有那个三角形，底乘以高除以二，这逻辑好办得让人质疑人生。
你想想，把梯形割开变成两个三角形，要么把平行四边形塞进矩形里，本质上都是大家熟悉的几块图形。 不过，多边形这东西讲究的不只是是好办的几类，特别是当它边数多到十、二十就连上百条边的时候，那些好办的加减乘除就难当作继了。
这时候，就得把那些既好办又好办错的折线图形给拆开，一个个往数学王国里赶。咱们先聊聊那些最结实的折线图形，比如任意多边形。
这类图形的面积，核心往往在于处理“凹”进去的局部。一旦你发现某个顶点是凹进去的，那它旁边的两条边加起来，比直接连起来围成的区域要大，这就相当于多出了一个三角形。
这时候，用大三角形减去凹进去的三角形，要么加上凸出来的局部，就能凑出一个“凸多边形”来。 这就好比你在玩拼图，有些块拼上去后，表面看起来是个大框，实际上里面藏着几个小洞。
这时候，面积公式就不只是是加法，得是减法。你得先找出整个图形能概括成一个大轮廓的那些局部，然后再减去那些富余的小尖角。
这个思路在求多边形面积时，实际上是个大智慧：你想让图形变得“正”起来，要么就是补出来补成一个大矩形，要么就是挖去几个小三角形。 再深入一点，实际上有大量公式是专门针对这些“难搞”的图形来的。
比如五角星，乍一看像个复杂的乱码，但要是你把它拆成几个扇形，要么利用中心对称的性质，实际上也能算出面积。
还有像那些不规则的星形多边形，它们由几个尖角和曲面围成，这时候常用的方式就是“分割法”。把大图形切成几个小的、规则的三角形，就连圆扇形。
你看，每一个三角形都好办套公式。
这时候，面积计算就简化为各个小三角形面积之和。 实际上，多边形面积的本质，就是把这些复杂的线条转化成大家熟悉的“底和高”。
不管是正方形、长方形，还是梯形、平行四边形，它们都有底和高，面积就是如此好算。而那些看起来怪怪的折线图形，往往也是基于这些基础图形变形来的。
故此，当你面对一个复杂的多边形时，最好的办法就是把它“看”成几个根本图形的组合。 举个例子，假设你手头有一个形状特别刁钻的五边形，边长分别是 3、4、5、6、5，并且角度都挺复杂，没法直接用直角三角形的公式。
这时候，我们能够试着把它补成一个大的长方形。经过计算和推导，你会发现这个五边形要是能完美嵌入一个 8x6 的长方形里，且没有重叠也没有空隙，那它的面积就是 48。
要么，你也能够把图形切分成两个直角三角形和一个梯形，分别算出它们的面积然后加起来。你会发现，不管用哪种切法，只要底和高找对了，面积是不变的。
这就是数学的魅力，只要思路对路，再刁钻的图形也不难伺候。 有时候，你可能还会遇到需求求多边形周长的难题。对于一般的凸多边形，周长就是所有边长加起来的总和。但要是加上凹进去的局部，这就好办让人头大。
这时候，明智的做法是沿着凹进去的线把图形分两次算，要么顶多算三次。
比方说，从一个大正方形里剪掉一个角，要么从一个大梯形里挖去一个三角形。
每次算完一个局部，再减去挖掉的局部，最终把几段加起来，就是这个图形的周长。
这玩意儿实际上挺像找零钱的，你有多大的需求，就用多长的边来凑。 再说说一下对角线，这玩意儿在求面积的时候时常是个“神器”。
特别是那种没有明显底和高的多边形，对角线把它分成了两个彻底一样的局部。
这时候，算出一个三角形的面积，再乘以 2，要么加上一半的三角形面积，就能搞定。就连对于一些中心对称的多边形，比如正多边形，利用对角线把图形分成几个等腰三角形，然后利用余弦定理要么好办的几何关系来算出每个小三角形的面积，最终汇总即可。 在具体的计算过程中，你可能会碰到一些特殊情况。
比方说，有些多边形别看看起来是凸的，但内部有些点可能会让图形形成“凹陷”。
这时候，你就得小心一点，不要忽略那些内部凹进去的三角形，也不要重复计算那些被多次覆盖的区域。
这时候，对的策略就是：先找出所有能直接套公式的好办图形，再处理掉那些复杂的组合图形。对于复杂组合图形，一般只能通过分割或填补的方式，把它拆解成若干个好办的三角形或四边形。 实际上，多边形面积的计算，归根结底还是对图形结构的理解。当你真正理解了“底乘高除以几”的精髓，理解了“补全法”和“分割法”的用处，你会发现，甭管图形长啥样，只要把它拆解成你熟悉的积木，就能省事算出它的面积。
这就像搭积木一样，只要块头对、形状对，搭出来的东西肯定是个整个的整体。
故此，下次再遇到多边形面积的难题，别急着抄公式，试着想想如何把它变成你熟悉的图形，是不是反而认定这事儿没那么难了？毕竟，数学家的眼，一直能发现生活中那些被我们忽略的好办逻辑。
