常见傅里叶变换公式大全-傅里叶变换公式大全

傅里叶变换这东西，实际上说白了就是把声音切成碎片，把图像拆成像素，再重新拼起来，让它们在时域和频域里自由穿梭。别整那些虚头巴脑的术语，我就直说。 大量人第一眼看，傅里叶变换就是把信号切成无数个频率的谐波，然后加起来。
这听起来挺玄乎，但本质上就是采样。
比如你拿一个锤子敲击，声音是连续的，但你眼是离散的。傅里叶就是告诉你，这个声音实际上是由无数个不同高度的音调组成的，只是我们肉眼看不见罢了。 拿听个乐手的例子吧。你听一听那个贝斯手，你认定深沉有力，实际上是出于他拉琴的时候，琴弦绷得紧，振幅大，对应的是频率成分低；再看一下吉他手的高音弦，弓子一拉，弦就颤了一下，速度变快，对应的高频成分也就多了。
这些高低频的总和，就是那个旋律。傅里叶变换就是把这种“工夫上的强弱变化”，翻译成“频率上的大小变化”。 再聊聊图像。
要是你把一张照片转成向量图，然后把图像放大几倍，你会看到像素点密密麻麻地挤在一起。
这时候，要是按像素网格去算，每个像素代表的信息量就忒小了。傅里叶变换就派上了用场。它会把这张图打包，变成一个频率包络。也就是告诉你，这张图里，哪些“频率”是主要的，哪些是背景噪音。
比如一张人脸，你能够发现它的高频局部（像是眼瞳孔里的反光、皮肤毛孔）实际上挺凌乱的，低频局部（五官轮廓）才比较清楚。
要是只保留低频，加上噪声，人脸轮廓就不清楚了；要是保留高频，加上纹理，又不够清楚。 实际上傅里叶变换最了得的地方，在于它能解决“混叠”这个难题。想象一下，你把声音采样忒快了，比如每秒 4000 次，那声音里的高频局部就被挤下去了。
这时候，你要是直接画频谱图，那些挤在一起的高频峰会重叠在一起，变成一个庞大的尖锐山峰，无法分辨。但要是你用傅里叶变换处理，再配合其他方式去处理那个庞大的峰，把峰值展平，你就能分辨出到底是 2000Hz 还是 3000Hz 的声音了。
这就是为啥现代音频处理里，简直都离不开傅里叶变换。 再具体点，看看一个 440Hz 的纯音。它的频谱图是一条线，就在 440Hz 的地方有个峰值，两边是 0。但这不代表只有这一个频率。它的真声音，实际上是 440Hz 加上一点点谐波，那就是 880Hz 和 1320Hz 重复出现的。
这时候，一般/平平的采样图可能只看到 440Hz 一个点，要么看到一堆密密麻麻的线，让人看不懂。用窗口函数把它搬到频域，再求傅里叶变换，你就拿到了那条线，清楚明白。 并且，傅里叶变换还有个益处，是它能够压缩数据。
不管是音乐文件还是图片，它的能量实际上分布在全频段，大局部能量聚拢在低频区。
要是你能只保留低频局部，那个“低通滤波器”就能把数据压缩大量。
比如压缩一首音乐，要是只留低频和少量高频，文件体积能缩小几十倍，但听起来依然挺自然。
这就是为啥目前的爆米花电影、高清壁纸，文件都特别小，但画质依然震撼。 自然，数学上要把信号从时域迁移到频域，确实有点费事。你得选一个积分参数，选一个函数，积分上下限得定，还得保证信号绝对可积。
这实际上就对应了物理里的“能量守恒”。信号总能量是有限的，傅里叶变换就是把总能量重新分配到了各个频率分量上。 实际上不用忒纠结数学细节，关键是个“窗口”。在信号处理里，信号一般是有限的长度，不像理想模型那样无限长。
这时候用解析式积分可能不成立，那就得给信号加个“工夫窗”，比如一帧图像，要么是音频的一段。加窗之后，频谱上会出现旁瓣，也就是那些富余的能量。
要是窗宽忒窄，这些富余的能量就多了；窗宽忒宽，信号里的细节就糊了。
这就像听歌，车在动要么风在吹，人耳听到的声音就变调了。傅里叶变换算出来的就是理想情况下的频谱，真世界里要受窗宽影响，故此工程上时常加窗去处理这个难题。 最终总结一下，傅里叶变换就是个万能翻译官。它把工夫和空间换了一换，但信息的总量没变。它是现代信号处理、压缩算法、图像锐化、就连音乐编曲的基石。
不管你是处理声波还是处理像素，只要涉及多频分析，它大约率会用得上。别被那些复杂的公式吓到，核心就一句话：把信号拆开，看看它由哪些频率组成，然后用合适的窗口把它拼回去。