常见求导公式-常用求导公式

常见求导公式：那些生涩的数学直觉 别整那些教科书味儿忒重的事儿，咱直接上干货。想求导？实际上就分两块，一块是根本初等函数，另一块就是它们的组合拳。 先说函数本身吧。反三角函数里的 $arcsin x$ 和 $arccos x$ 求导最好办让人头大，实际上原理挺好办。$arcsin x$ 的导数就是 $frac{1}{sqrt{1-x^2}}$，这个公式在微积分里简直没人再当坏蛋了，但有时候在积分反演时会显老练。$arccos x$ 呢，导数就是 $-frac{1}{sqrt{1-x^2}}$。反三角函数的那个“负”号，别被它绕晕了，别去硬套公式记笔记，直接理解成角度变化率，要么硬着头皮背出来，别在这上面浪费工夫。 接下来是幂指函数，这一类是函数的变形大师，哪位都能玩。
比如 $x^x$，这玩意儿求导略微有点技巧，结局是 $x^x (1 + ln x)$。
不对，没那么好办，更常见的还有 $u^v$ 这种万能公式，形如 $u^v$ 的函数，导数就是 $v u^{v-1} u' + u^{v-1} v'$，读成啥子都行，也就是 $u^v$ 的链式法则。
这就好比说 $x^2$ 对 $x$ 求导是 $2x$，但 $x^x$ 这种形式就像是一个整体，整体变化率要拆开看。再比如 $e^{x^2}$，这个更直接，出于 $e$ 的指数直接求出来是 $2x$，故此结局就是 $2x e^{x^2}$。 三角函数也是老生常谈了，但为了不让学生认定枯燥，咱得讲点实在的。$sin x$ 的导数就是 $cos x$，$cos x$ 的导数是 $-sin x$，这个是铁律。$tan x$ 的导数就是 $sec^2 x$，也就是 $1 + tan^2 x$。别去纠结 $sec x$ 到底是哪位的倒数，那是初中阶段的事。说到这儿，实际上 $cos x$ 和 $sin x$ 的导数互逆，$tan x$ 和杨去西（就是导数）也互逆，这俩如何不叫“对勾关系”？ 还有一个特别经典的，就是复合函数，就是链式法则。$f(g(x))$ 的导数就是 $f'(g(x))$ 乘以 $g'(x)$。
这个逻辑忒清楚了，哪位都会，但有时候为了画图撇脱，会写成 $f(g(x)) g'(x) f'(g(x))$ 这种形式，别看啰嗦，但有时候确实好用。
比如 $(sin x)$ 的导数，就是 $cos x$ 再乘上 $sin x$ 的导数 $cos x$，结局就是 $cos x$ 再乘 $cos x$。 看来三角函数的复合是个难点，但别慌。$sin 2x$ 的导数应当是 $2 cos 2x$，出于这里 $u=2x$，$u'=2$。$sin(x^2)$ 的导数呢？$2x cos(x^2)$。
还有一种特殊的，$sin^2 x$，这实际上是 $(sin x)^2$，不是 $sin(sin x)$。求这个的话，用乘法法则，$2 sin x cdot cos x$，也就是 $sin 2x$。 最终提个醒，导数的整体也算导数，这玩意儿在计算数列极限要么函数极限时时常用到，比如 $(1+frac{1}{n})^n$ 这个式子，别看它极限是 $e$，但求导后涉及 $n 1/n$ 这种项，处理的时候导数规则还是照样用，别出于它是整体就把导数当数来忽略了。 总而言之，求导就是应用这些规则，有时候还得灵活变通。别去背那些死记硬背的结论，多琢磨琢磨背后的逻辑，能活路。