两向量平行的坐标公式，实际上就是两条线要么彻底重合，要么像平行跑道一样的“躺平”。别整那些大道理，直接看坐标如何算。 拿 $(a_1, b_1)$ 和 $(a_2, b_2)$ 来说，只要它们的斜率相等就行。斜率就是坐标比值啊，故此 $b_1/a_1$ 务必等于 $b_2/a_2$。
这时候得注意，分母不能为零，要是分母都是零，那情况就有点特殊了，要么两个向量都是原点，要么垂直。 通俗点讲，要是你有两个点，$A(x_1, y_1)$ 和 $B(x_2, y_2)$，那向量 $vec{AB}$ 就是 $(x_2-x_1, y_2-y_1)$。
要是还有另一个点 $C(x_3, y_3)$，向量 $vec{AC}$ 是 $(x_3-x_1, y_3-y_1)$。
这两条向量平行的话，说明 $A, B, C$ 就在一条直线上了。
这时候斜率公式就派上用场了，就是 $(y_2-y_1)/(x_2-x_1)$ 等于 $(y_3-y_1)/(x_3-x_1)$。 为了具体一点，我们看看如何算。假设向量 $vec{u} = (x_1, y_1)$ 和 $vec{v} = (x_2, y_2)$。它们平行的时候，最好办的办法就是交叉相乘，结局得等于零。
也就是说 $x_1 cdot y_2 - x_2 cdot y_1 = 0$。
这个式子就是坐标公式的核心，叫“叉积为零”。 实际上还能够从另一个角度看，那就是比例关系。假设 $vec{u} = k cdot vec{v}$，那 $x_1 = kx_2$ 且 $y_1 = ky_2$。消掉 $k$ 之后，就是 $y_1/x_1 = y_2/x_2$。
不过这里有个坑，要是 $x_1$ 是零，那就不能如此比了，得换个写法。
这时候就要用到那个乘法混合积的形式，要么直接用行列式表示： $$ begin{vmatrix} x_1 & y_1 & 1 \ x_2 & y_2 & 1 \ 0 & 0 & 0 end{vmatrix} $$ 展开来看，就是 $x_1y_2 - x_2y_1 = 0$。
这个式子既是坐标公式，也是线共面的条件。 接下来给个具体的例子来说明。假设有两个向量 $vec{a} = (1, 2)$ 和 $vec{b} = (3, 6)$。
你看，$2 times 3 = 6$，$1 times 6 = 6$，交叉乘积都是 6。出于交叉乘积相等，说明它们平行。再验证一下斜率，$vec{a}$ 的斜率是 $2/1=2$，$vec{b}$ 的斜率是 $6/3=2$，斜率相等，故此确实平行。 再看个反例。
比如 $vec{c} = (4, 5)$ 和 $vec{d} = (2, 3)$。
这里 $4 times 3 = 12$，而 $2 times 5 = 10$。交叉乘积不相等，说明它们不平行。
这就好比说一个向量是 $(1, 2)$，另一个是 $(1, 3)$，别看 $x$ 坐标一样，但斜率分别是 $2$ 和 $3$，显然不平行。 实际上除了直接用坐标公式，还能够通过基底变换来理解。
比如已知基向量 $vec{i}=(1,0)$ 和 $vec{j}=(0,1)$。任何向量都能够写成 $xvec{i} + yvec{j}$ 的形式。
要是两个向量平行，其中一个能够表示为另一个的倍数。
比如 $vec{a} = (x_1, y_1)$，$vec{b} = (x_2, y_2)$，要是 $vec{b} = kvec{a}$，那就是 $x_2 = kx_1$ 和 $y_2 = ky_1$。消去 $k$ 就得 $y_1/x_1 = y_2/x_2$。
这就是为啥坐标公式如此写，它本质上就是斜率相等。 有时候坐标分母为零的情况好办被忽略。
比如 $vec{u} = (0, 5)$ 和 $vec{v} = (0, 10)$。
这时候 $x$ 都是 $0$，用分数比就费事了。
这时直接看 $y$ 轴坐标，$5$ 和 $10$ 倍数关系，显然平行。
要么用判断式 $x_1y_2 - x_2y_1 = 0$ 来看，$0 times 10 - 0 times 5 = 0$，成立。 还有两种特殊情况要注意。
第一种是两个向量都是零向量 $(0,0)$。零向量模长是 $0$，方向没定义，但在大量教材里，我们约定零向量与任意向量平行。
要是是这种情况，公式 $0 times 0 - 0 times 0 = 0$ 依然成立，故此不用忒揪心。
第二种是 $x_1x_2 - y_1y_2 neq 0$ 的情况，此时两个向量构成的三角形面积为零，意味着它们垂直。
比如 $(1, 0)$ 和 $(0, 1)$，$1 times 1 - 0 times 0 = 1 neq 0$，这就垂直。 再深入一点，从结构上看，平行的向量不仅方向相同（同向或反向），并且模长成比例。
也就是说 $|a| = k|b|$，且 $a$ 和 $b$ 的夹角是 $0$ 或 $pi$。坐标公式 $x_1y_2 - x_2y_1 = 0$ 实际上是从几何意义推导出来的代数表达。 在应用的时候，一般是从斜率启动寻思的。直线方程 $Ax + By + C = 0$ 和 $A'x + B'y + C' = 0$ 平行的条件是 $A/B = A'/B' neq 0$。
这是把向量坐标转成线系的难题。
要是 $B=0$，那就是水平线，$x$ 坐标系数相同就行。
要是 $A=0$，那就是竖直线，$y$ 坐标系数相同就行。
要是全是 $0$，那就是多解，对应零向量情况。 最终总结一下，两向量平行的核心就是交叉相乘结局为零。实际做题的时候，碰到 $vec{a}=(x_1, y_1)$ 和 $vec{b}=(x_2, y_2)$，直接套公式 $x_1y_2 - x_2y_1 = 0$ 最快。
要是揪心分母难题，那就小心点用交叉相乘要么观察系数比例。
总而言之，只要知足 $x_1y_2 = x_2y_1$，这两条路就是一样宽的，要么重合，要么平行。
这就是坐标公式的全体含义了，好办直接，实用性强。
