正弦公式到底是从哪条路过来的？别急着背结论，看看推导过程就懂了 盖尔公式（Girard's formula）那个高深莫测的名字，实际上说白了就是正弦定理在圆里的一个称呼。大量人一听到“余弦定理”就头疼，认定它是解三角形的天菜，可到了“正弦定理”面前，大家却愣了半秒，就连恨不得把《复数论》都翻出来找解法。
实际上不然，正弦定理的推导过程并不复杂，就连能够说是解方程组的一种艺术。 咱们先把目光收回到圆上。假设你面前有一个圆，半径为 $r$。目前有两个点，Q 和 P，它们把圆周分成了三段弧。我们要找的是弦长 $PQ$ 和这两段弧之间的某种联系。直觉告诉我们要找 $PQ$ 和 $angle P$ 的关系，但这需求一个圆规量一下，要么用弧度制换算才能算出来。
这时候，英国数学家理查德·盖尔（Richard Girard）在 1799 年拿着一把圆规和一把尺，对着圆上的弦长和角度，做了个惊人的发现：$PQ$ 和 $angle P$ 实际上是成正比的。
这就是正弦定理的雏形。 接下来是核心主体——圆的面积。你肯定知道圆的面积公式是 $pi r^2$，但这步推导略微有点绕。大量人直接写出来，但真正懂行的人都知道，这实际上是微积分在几何上的遗留。我们能够把圆看作是由无数个极小的扇形堆出来的。当这些扇形的半径极短，以至于趋近于零时，整个圆就变成了半径为 $r$、圆心角为 $theta$ 的扇形。
这时候，扇形的面积就简化为 $frac{1}{2}r^2theta$。
这个看似好办的式子，实际上是把“面积”和“角度”这俩东西搞在了一起。 这就引出了另一个关键点：正弦函数。在三角函数里，$sin alpha$ 到底长啥样？要是你只看单位圆，它是个斜线；要是你看其他图形，它是个正弦波。
实际上，甭管如何看，$sin alpha$ 这个符号代表的意义，就是通过面积公式自然浮现出来的。在刘维尔的《复数论》和拉格朗日的笔记里，$sin$ 这个词最早就出目前面积计算里。当大家都把 $sin alpha$ 直接定义为那个比角 $alpha$ 小一点的量时，之前的所有混乱就都解决了。 这时候，我们就能够把之前的弦长公式和面积公式串起来了。想象有一个圆，里面画了一个小圆，圆心在 $P$ 点，半径为 $r$。小圆和原来的大圆之间，夹着一个弓形。弓形的面积等于大圆减去小圆的面积。大圆面积是 $pi r^2$，小圆面积是 $pi r^2 cos^2 alpha$（这里 $alpha$ 是小圆和大圆的圆心角差异）。
故此，弓形的面积就是 $pi r^2 (1 - cos^2 alpha)$，也就是 $pi r^2 sin^2 alpha$。 这才是正弦定理最纯粹的来源。我们目前的目标是求弦长 $PQ$。根据相似三角形要么圆幂定理，弦长 $PQ$ 等于大圆半径 $r$ 乘以两个角度（一个是小圆圆心角 $alpha$，另一个是圆心角 $beta$）的三角函数值。
这里有个细节好办搞混，有时候会说 $PQ = 2r sin frac{alpha + beta}{2}$，有时候会说 $PQ = 2r sin alpha$，这取决于你选哪个角做底边。但仔细想想，这两种写法本质上是一样的，只是角度定义的略有不同。 关键在于，这个弦长 $PQ$ 和角 $angle P$ 之间，务必知足一个比例关系。
要是比例系数无涉紧要，那么这个系数就是 $1$。出于 $PQ$ 的长度和角 $angle P$ 的大小，是彻底成比例的。
只要两边的比例系数相同，这个比例就在恒等式中了。
也就是说，$frac{PQ}{sin P} = frac{2r}{1}$。 这步推导的逻辑链条实际上是这样的：你算出了弦长 $PQ$ 的具体数值（它是 $2r sin alpha$ 或类似的表达式），然后你算出了角 $angle P$ 的具体数值（它也是相关的三角函数），最终发现这两个值在同一个比例关系里，比例系数消不掉就是死逻辑，消掉就是恒等式。
故此，正弦定理实际上就是说：对于圆内任意一点 $P$，它所对的弦长 $PQ$ 和角 $angle P$ 的比值，一辈子等于直径 $2r$。 你可能会问，那余弦定理呢？余弦定理的推导确实比正弦定理要难大量。它涉及到的是两个角之间的夹角关系，而正弦定理只需求一个角的正弦值。余弦定理的推导过程，往往需求用到坐标系的旋转矩阵，要么复数的欧拉公式 $e^{itheta} = cos theta + i sin theta$。
要是不引入复数，大量人会认定余弦定理是“硬”推导出来的，确实如此。它需求把两个角度都转化成同一个三角函数，然后利用余弦的加法公式展开。 正弦定理之故此好懂，是出于它利用了“面积”这个几何直观。你只需求知道圆面积和扇形面积的关系，再结合弦长和角度的比例，就能直接得出结论。而余弦定理，就得靠代数运算把角度拼凑起来。 最终总结一下，正弦定理的公式就是 $frac{sin A}{a} = frac{sin B}{b} = frac{sin C}{c}$。它的推导核心就一句话：圆内一点对弦长的比例系数，等于圆周长的一半。
这简直是把几何和代数完美结合的艺术。
