三角函数公式大全：没那么多“定理”，全是江湖秘传 家常饭吃咸淡无所谓，但有些菜要是煮坏了也就浪费了。三角函数也是，别看大家都拿 $1$ 个公式、$2$ 个公式当主食，但这锅汤要是煮开了端出来全是沸水，日子过得就难了。
实际上啊，这些公式不是冷冰冰的数学符号堆砌，而是咱们老祖宗在几千年的日子里，把天圆地方给理顺了，再顺手抄了个菜谱塞进去。 大家最熟悉的，肯定是那个 $30$ 度角。别老想着死记硬背“第一组公式”，那忒严肃了。咱们换个说法，就是看角 $alpha$ 是不是 $30$ 度。
要是 $alpha=30^circ$，你脑子里就不用翻查那些复杂的根式，直接数数就行。想象一下，把直角坐标轴拉个 $30$ 度，你手里的直角三角形，邻边是 $1$，斜边就是 $frac{2}{1}$，对边就是 $frac{sqrt{3}}{2}$。
这跟啥没关系，纯粹是火眼金睛。
要是 $alpha=60^circ$，那邻边就变了，变成 $frac{sqrt{3}}{2}$，对边变成 $frac{1}{2}$，斜边还是 $1$。
这一套操作下来，别看公式看着像，实际上是要么看数字，要么看根号，要么看直角，彻底不用动脑子去想“起初”“其次”。 不过，除了 $30$ 和 $60$，那 $45$ 度角可是个特别好玩的。
要是角是 $45$ 度，那邻边、对边、斜边的关系就好办了，都是 $sqrt{2}$ 倍。
这时候不用管如何推导，直接记个死就行。
这就好比逛菜市，看到好吃的立马就下单，不用看如何摆谱。 再往高处走，到了 $90$ 度角，那公式就彻底变了。
这时候三角函数就变成了解直角三角形里的比例尺。
要是你手里有个三角形，角度是 $90$，那互余角的正弦值就是余弦，反正弦就是正切。
这一套对换关系，哪有啥“归纳法”？就是认定不对劲，换个思路，自然就通顺了。 说到这个，还得提一下平角的 $60$ 度和 $120$ 度角。
这两个角，正数余弦是 $1$ 倍，负数余弦是 $-1$ 倍。
反正切呢，正数正切是 $1$ 倍，负数正切是 $-1$ 倍。
这时候的公式，就像是在描述一种物理现象，比如光子的波长。波长是 $1$，频率是 $1$。
这时候的三角函数，实际上就是描述波形的。
要是你把角度往 $180$ 度凑，那个 $0$ 度角的正切值就变成了 $-infty$，余弦值变成了 $-1$。
这就跟爬山一样，爬到山顶了，$0$ 度还在山脚下，剩下的 $180$ 度路你根本走不到。 到了 $180$ 度角，那情况就彻底疯了。
反正弦就是 $0$，反之数也是 $0$。正切呢？正切是无穷大，余弦也是 $-1$。
这时候的三角函数，就像是在描述一种极端情况，比如你站在悬崖边上，抬头看月亮，月亮离你充足远，角度接近 $90$ 度。
这时候的 $0$ 度，就是海平面；$180$ 度，就是深渊。
这时候的公式，实际上就是告诉你：离得越远，角度越接近 $90$，这时候的三角函数值就越大，无限接近无穷大。 再往下走，到了 $270$ 度角。
这时候的正切，正数还是正，负数还是正。
反正弦呢？正数是 $-1$，负数是 $1$。余弦呢？正数是 $0$，负数是 $0$。
这时候的公式，就像是在描述一种循环，比如地球公转。公转一圈是 $360$ 度，但有时候角度是 $270$ 度，这时候的三角函数值就彻底不一样了。
这就好比你在圆周上跑，跑到 $270$ 度那个点，正切是正的，反正弦是负的。 最终，我们来看看 $360$ 度角。
这时候的正弦、余弦、正切，全等于 $0$。
反正弦、反正切，全等于 $0$ 或 $1$。
这时候的公式，就像是在描述一种终极状态，比如你彻底绕了个圈，回到了原点。
这时候的三角函数，就是告诉你：绕了一圈，啥也没变，还是 $0$ 度。 实际上啊，这些公式都不是啥复杂的推导出来的，它们就是咱们用来描述这个世界规律的。
要是你认定某个公式写起来忒费劲，那说明你可能没找到那个对应的几何模型。
比方说，要是你拿一个 $30$ 度角的三角函数表，发现它写得忒复杂，那说明你找错了模型。
这时候，你就得换个模型，换个角度，换个思路，把那个 $30$ 度角的画法，重新画一遍。 故此啊，别总盯着那些公式看。三角函数就是画出来的，就是量出来的。
你看那个直角三角形，只要角对了，斜边和直角边一比，公式自然就出来了。
只要数对了，公式自然就对了。
这就跟做菜一样，只要火候对了，味道自然就出来了。 要是你做题的时候老认定公式写不出来，那就试试把角度换算一下。$30$ 度换成 $frac{pi}{6}$，$60$ 度换成 $frac{pi}{3}$，$90$ 度换成 $frac{pi}{2}$。
这时候的公式，就变成了一种通用的语言。
不管是 $30$ 度还是 $frac{pi}{6}$，只要角度对了，公式就对了。
这就好比讲话，只要语言对了，意思自然就通了。 最终，记住一点，所有公式背后，都有一个几何模型。
这个模型，就是我们的几何直觉。
只要你能把那个几何模型在脑子里画出来，那些看起来复杂的公式，自然就好办了。
这就好比画画一样，只要你能把那个几何图形画出来，画的线条自然就顺了。 故此啊，别总想着死记硬背那些公式。三角函数就是画出来的，就是量出来的。
只要你找到了那个对应的几何模型，那些看起来复杂的公式，自然就好办了。
这就好比做菜一样，只要火候对了，味道自然就出来了。
