高中理科数学概率这块内容，说实话，大家一启动认定像背公式，背了就是天地一沙鸥，但这玩意儿一旦摸透，那就是把数学玩明白了。别整那些“起初其次最终”的假大空，咱们直接干，把那些绕弯子给删了。概率这东西，说白了就是猜题，猜对几分，就加几分，猜错几分，就减几分，把集合扫干净利落。 说到这个“猜题”，咱们得先搞清楚那两个最核心的概念。样本空间就是所有可能结局的集合，比如抛硬币，样本空间就是“正面”和“反面”，只有这两个选项。事件就是具体要做的某件事，比如“第一次抛正面”。
这时候概率 $P(E)$ 的公式就出现了，$P(E) = frac{text{事件的个数}}{text{样本空间的个数}}$。
这公式最骚气，出于它不管样本空间里具体有啥，只要知道总数和知足条件的数，直接开除就行。
比如扔骰子，求"3 点或 5 点”的概率，总数 6 个，知足条件的 2 个，结局就是 $frac{2}{6}$，要么是 $frac{1}{3}$。
这就好办！ 但这里有个坑，大量人一听到“和”要么“起码”，就认定要加在一起。千万别加！概率的加法公式，那是针对互斥事件用的。啥叫互斥？就是两个事件不能与此同时形成。
比如“抛一次是 2 点”和“抛一次是 4 点”，这就互斥了，自然不能与此同时成。
要是你求“3 点或 5 点”的概率，那是直接相加，出于不可能有两个结局与此同时形成。但要是求“3 点或 4 点”，那这两个是互斥的，能够相加；可要是“3 点或 5 点或 7 点”，这就费事了，出于 5 点出现了，3 点也不出现，这种互斥关系得一个个摸。高中数学里有个公式，叫加法原理：$P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)$。仔细瞅瞅，这一条，把交集减去了，这就是为了算“起码”。 拿扔骰子来说，求“点数大于 3"的概率。样本空间有 6 点，大于 3 的有 4、5、6，共 3 个，概率是 $frac{3}{6}$。再求“点数大于 3 或 5 点”的，这两个事件实际上挺特殊，它们除了 5 点之外，其他都是互斥的。4 点不在范围里，3 点不在，1-2 更不在。
故此直接加起来就行。但要是你求“点数大于 3 或 6 点”，那 6 点本身就包含在“大于 3"这个集合里了。
这时候就不能直接加，得用公式：$P(A) + P(B) - P(AB)$。出于 $A$ (大于 3) 和 $B$ (大于 6) 只有一个共同点，就是 6 点。减去这个公共局部，正好剩下 4、5 和 6 这三个。
要是用脑子想想，大家好办搞混的是“和”、“起码”、“或”到底如何归类。我们习惯把“或”认作并集，“起码”认作容斥原理。 举个例子，考试及格率是 70%，求两个同学都及格要么都不及格的概率。
这题要分两步。
第一步，算都及格。
这俩动作与此同时形成，互斥，直接相乘。
第二步，算都不及格。
这俩动作与此同时形成，也是互斥，直接相乘。
第三步，求两者之和。
这时候就要用到加法原理了。 再换个场景，比如买彩票。有 1000 张彩票，3 个号码，一共投 650 张。求中奖概率。
这里要注意，起码含一个中奖号码。
这就不是好办的乘法，出于中奖号码不一定都是不同的，别看概率题默认一般假设互斥，但要是不假设，就得用容斥原理。
不过高中题里大局部情况都是互斥的，比如“中奖号码与不中奖号码是互斥事件”。但有时候，事件是重叠的。
比如“起码有一个号码重复”这件事，样本空间里包含了“全体重复”和“局部重复”的情况，这就比较难处理。
这时候就得老老实实去用 $P(A cup B)$ 的公式。 实际上概率公式背后的逻辑挺好办，就是统计频率的极限。当你试验次数越来越多，要么试验次数无限次时，这个频率会越来越稳定，最终收敛到一个确定的数。
这就解释了为啥我们要用概率，而不是死记硬背公式。公式是工具，工具是为了让思维更清楚。 说到这儿，可能有人认定公式记不住，没关系。把样本空间想清楚，把事件划分清楚，把互斥和非互斥分清楚，公式自然就出来了。别去扯啥“伽马分布”、“贝叶斯定理”这种高大上的，那是在大学里学的，高中数学只管基础和核心。
要是非要扩展，那就是几何概型。
比如投一点到矩形区域上，面积比就是概率。
这也是一种公式，$P = frac{text{面积}}{text{总面积}}$。
这比等可能事件的概率多了个几何因素，但本质上还是统计的思维。 总而言之，概率这东西，没有那么多复杂的技巧，就三个大字：互斥、并集、相加。把逻辑理顺了，公式就不会让你难受。死记硬背唯一的缺点，就是考试时看着公式反应不过来。多练几次，多画图，多找反例。你会发现，那些公式不再是冰冷的文字，而是你手中算出答案的利器。别总认定难，实际上只要别把“或”想成“和”，“起码”想成“乘”，事件就全明白了。
