先把LC振荡电路想成就是一个单纯的“电容”和“电感”在动嘴皮子。没那么复杂，就连能够说，它就是个纯电容和纯电感如何个动静。 电容的电压 $u_C$ 就像摇篮里的宝宝，电容电荷 $q$ 就是宝宝的体重。当电容放电的时候，电流 $i$ 就往外流，电荷 $q$ 就削减。
这时候原电路里那个电感线圈，就像是个庞大的弹簧，电流变大，它形成的感应电动势 $e_L = L frac{di}{dt}$ 就会抢着推着电荷走，让电容里的电荷 $q$ 变得更小。
这就像宝宝体重减小，摇篮晃得了得。 再看另一边，电容里剩下的电荷会建立新的电压 $u_C'$，这时候电流 $i$ 又变回负值了，流向电感，把电荷 $q$ 填回去。电荷 $q$ 增添，电容电压 $u_C$ 就变高了，电感里的磁通量 $Phi$ 也跟着变大，感应电动势的方向跟着变了。 这就是振荡，就是左右摇摆的过程。电容和电感在这里互相推，电流换能量，电荷换位置。
要是电路对频率（也就是电容和电感的“羁绊”）匹配好了，这个摇摆就不会停下来，就会一直转下去。
要是不匹配，能量散失忒快，就慢慢停下来，这就是为啥现实世界的LC电路总会在震荡后慢慢衰减到零的缘由。 公式的推导实际上就围绕着“能量守恒”和“状态方程”这两点。我们得先搞清楚电容和电感的数学语言，然后再套进实际情况。 电容的电压和电荷之间有个好办的线性关系：$u_C = frac{q}{C}$。电感的电压和电流变化率也有个关系：$e_L = L frac{di}{dt}$。
这两个公式是基础，就像数学里的加减乘除。 我们要把这两个物理量用微积分的“积分”连起来。出于电压和电流都是连续变化的，故此要用积分。对电容公式两边积分，就是 $int u_C dq = int frac{q}{C} dq$。积分算出来是 $int u_C dq = frac{1}{2}q^2 + C$（常数）。
这是把所有电场能都算进去了。 再对电感公式积分，就是 $int e_L dt = int L frac{di}{dt} dt$。积分算出来是 $int e_L dt = Li + C$（常数）。
这是把所有磁场能都算进去了。 目前难题来了，电路里只有一个电源（一般指一个电容和一个电感组成的回路，没有独立电源），总电压为零，要么说是电压的代数和为零。
也就是说，电感的电压和电容的电压在这一瞬间务必抵消掉，要么说是它们的变化率相互平衡。 要是把这积分结局代入到微分形式里，你会发现，$frac{di}{dt}$ 和 $frac{dq}{dt}$ 实际上是一回事，出于 $i = frac{dq}{dt}$。
故此 $L frac{di}{dt}$ 就等于 $L frac{d(frac{dq}{dt})}{dt} = L frac{d^2q}{dt^2}$。 这时候我们就拿到了状态方程：$L frac{d^2q}{dt^2} + frac{q}{C} = 0$。
这看起来就挺好办了，就是一个二阶微分方程。
这就是LC振荡电路最根本的运动规律，电荷 $q$ 随工夫 $t$ 的变化务必知足这个方程。 解这个方程，里面的那个 $L$ 代表电感，$C$ 代表电容，这两个参数拍板了振荡的“频率”。我们能够把方程两边乘以 $C$，变成 $LC frac{d^2q}{dt^2} + q = 0$。为了好看一点，我们把这个方程开根号，要么配方。整理一下变成 $LC frac{d^2q}{dt^2} = -q$，两边与此同时除以 $LC$，就是 $frac{d^2q}{dt^2} = -frac{1}{LC}q$。 这就把东西整得舒坦了。目前看左边 $frac{d^2q}{dt^2}$，右边是 $-frac{1}{LC}$ 乘以 $q$。
这彻底符合简谐振动的标准形式 $x'' = -omega^2 x$。 对比一下两边的规律，能够看出括号里的那个系数，实际上就是角频率 $omega$ 的平方。
故此 $omega^2 = frac{1}{LC}$，也就是 $omega = frac{1}{sqrt{LC}}$。 这就是角频率的公式。赶明儿只要知道了电容和电感的数值，直接把 $frac{1}{sqrt{LC}}$ 算出来，就是在求电路震荡的快慢。$omega$ 越大，震荡越快；$omega$ 越小，震荡越慢。 要是我们要算的是一般/平平频率 $f$，要么叫每秒振动的次数，那就要对 $omega$ 再开根号一次。$f = frac{omega}{2pi} = frac{1}{2pisqrt{LC}}$。
这个公式就是大家最常用的LC振荡频率公式。 再看电压和电流的关系。我们知道 $u_C = frac{q}{C}$，而 $i = frac{dq}{dt}$。把 $q$ 换成 $C$ 乘以电压 $u_C$，再对工夫求导。$i = frac{d}{dt}(C u_C) = C frac{du_C}{dt}$。
故此 $u_C = -frac{1}{C} int i dt$，要么说 $u_C = -frac{q}{C}$（这里符号是出于负电荷的流向，要么说是能量关系害得的相位差）。 对工夫求导，就拿到 $i = C frac{du_C}{dt} = -C frac{1}{sqrt{LC}} frac{du_C}{dt} = frac{1}{sqrt{LC}} C frac{du_C}{dt}$。
要是我们要用频率来表示，把 $du_C/dt$ 换成 $frac{d u_C}{dt} = 2pi f u_C$。
那 $i = frac{1}{sqrt{LC}} C (2pi f u_C) = u_C frac{2pi f C}{sqrt{LC}} = u_C sqrt{frac{C}{L}}$。
这就是电流和电压之间的“比值”关系。 在实际计算里，我们一般优先搞对电流要么电压的公式。
要是知道电压 $u_C$，$i = u_C sqrt{frac{C}{L}} times 2pi f$。
要是知道电流 $i$，$u_C = -frac{1}{C} int i dt$。 还有一个关键点，就是相位。在LC电路里，电容和电感的电压是反相的。
比如在一个周期里，电容电压是正的，电感电压就是负的；电容电压是负的，电感电压就是正的。它们加起来总归是零。 举个具体的例子。假设我们有一个电容 $C = 0.1 mu F$，一个电感 $L = 10 mH$。先算一下角频率 $omega = frac{1}{sqrt{0.1 times 10}} = frac{1}{sqrt{1}} = 1 rad/s$。
那频率 $f$ 就是 $0.159 Hz$，也就是每秒大约 0.16 次。
这意味着它震荡一个周期大约需求 6.3 秒。 要是想算电流，假设当时电路里有电压 $u_C = 100 V$，那就是 $i = 100 times sqrt{frac{0.1 times 10^{-6}}{0.01}} times 1 times 2pi times 0.159 approx 100 times 0.00316 times 6.28 approx 1.98 A$。
这个例子数据就能帮你在脑海里把公式给串起来，不再是一堆枯燥的符号。 最终总结下来，LC振荡电路的物理本质就是电容储存电场能和电感储存磁场能之间的相互转换。当它们能量换的速率（也就是频率）匹配电路的特性时，这个转换就会形成持续不断的周期性震荡。公式推导的核心就在那里的微分方程状态方程上，通过积分关联电压和电荷，再通过频率参数变换，就把复杂的动态过程简化成了那个简洁的 $omega = frac{1}{sqrt{LC}}$。
