说人话就是，等差数列求首项那个公式，实际上就是讲一个最朴素的道理：等差数列是那种公差一辈子不变的等腰梯形。你只需求抓两头——头和尾，中间那一段长度就是固定的，再加上中间的公差，就能算出总长度。
这就好比你在数台阶，不管如何挪动，只要知道每步走动的距离（公差）还有第一步迈出去的距离（首项），最终一步走到哪儿，就能算出总高度。 别被那些文言文风格的“定义”给绕糊涂了，实际上它就是代数运算的结局。假设你的数列是 $a, a+d, a+2d, dots$，要是你已经知道第 $n$ 项的值，想反推最启动那项 $a$ 是多少，那实际上就是在解一个好办的线性方程。
本质上是这样的：前 $n$ 项加起来等于 $n$ 倍的首项加上前 $n$ 项的公差系数乘以 $1$（实际上就是 $n(n-1)/2$）。
故此，$S_n = n times a + frac{n(n-1)}{2} times d$。
要是你知道和 $S_n$、还有 $n$ 和 $d$，只要移项消元，$a$ 就出来了。 实际上这个公式的推导过程，跟物理中的平均速度公式有一点神似。想象你每走一段路的速度都不一样，但每多走一段速度就加一个常数 $d$。
那你的平均速度，就是每分钟走多少米，再加上你起步时的速度。对于等差数列，前 $n$ 项和 $S_n$ 能够看作是一个等差数列的前 $n$ 项，它的末项实际上是 $n$ 倍的首项，公差变成了 $d$。
既然知道了末项、公差和项数，首项自然就不复杂了，它就是（$n$ 倍的首项）减去（$n$ 倍的公差除以 2）。 举个具体的例子吧，假设你有一个等差数列，首项是 5，公差是 3。
那你这一串数就是 5, 8, 11, 14, 17, 20。
这时候要是只用首项公式 $S_n = n times a$ 就没办法算总和了，得看有没有用到公差。
要是题目给了总和 $S_6 = 96$，让你求首项，那你就能套用公式 $96 = 6 times a + 6 times 3 times 5 / 2$，算出来 $a$ 肯定是 10。
要是你直接告诉你首项是 10，公差是 3，项数是 6，那总和就是 $60 + 15 = 75$，这就证明刚刚那个例子里的首项不是 10。 实际上大量时候人们误当作首项公式是指那个 $a_n$ 的通项公式，那是另一种彻底不同的概念。通项公式是 $a_n = a + (n-1)d$，这个用来求第 $n$ 个数；而首项公式一般是指 $S_n$ 反解出 $a$ 的式子。
要是你是在做高考题，面对的是“已知 $S_5=55$，公差 $d=2$，求首项 $a$"，那实际上就是用 $S_n$ 的变形公式。你是想求通项，那是另一个公式；你是想求首项，那就是解这个一次方程。 要注意，这个公式成立的前提是你的数列确实是等差数列，并且 $n$ 务必是正整数。
要是 $n$ 变成 0.5，那既不是数列的项，这个公式也就失效了。数学世界里有大量边界情况，但中学阶段的等差数列，根本就是那种一劳永逸的线性关系。 在解题的时候，千万别一上来就硬凑公式，要习惯性地先判断已知条件。
要是给了首项，那直接用通项公式；要是给了前几项要么和，那就要倒推。
比如你知道 $a_1=2, a_3=8$，求公差，就知道 $d$ 是 3；要是你知道总和是 100，项数是 5，公差是 2，求首项，那就别想复杂了，直接代入 $100 = 5a + 5(4)/2 times 2$ 算就行。
有时候题目会给你前几项的和，让你求中间某一项，那也能够先算出头尾和，再减去中间那段。 最终再唠叨一句，那个 $S_n$ 的公式实际上挺有意思的。你能够把它理解为：$n$ 个数，每个数都乘以 $n$，再减去前 $n$ 项平均数乘以 $n$ 再除以 2。出于前 $n$ 项的平均数等于首项加上 $(n-1)$ 倍的公差除以 2。
故此 $S_n = n times (text{首项} + text{末项}) / 2$。
这个公式在求和的时候特别好用，特别是求等差数列的前 $n$ 项和。
要是你只背了 $S_n = na + n(n-1)d/2$，在考试里能拿满分；要是你更进一步理解成 $frac{n(a_1+a_n)}{2}$，那解题思路会更顺畅，特别是有陷阱的时候，比如项数不是整数，这时候就得换思路了。 总而言之，等差数列求首项，说白了就是个代数代换。搞清楚它背后的几何意义，就是两个平行四边形的面积关系，要么说是斜坡上的总长度。别死记硬背，多想想它的结构和数量关系。
只要你能抓住“等差”这个核心，那个公式也就成了你手中的工具，用起来得心应手。
