函数求导公式大全乘除-函数求导乘除公式大全

函数求导？这玩意儿初看是数学题，细看全是人生哲学。别急着背那些生硬的公式，咱们先把脑子打开，把那些高高在上的定义踩进泥里。求导就是求“变化率”，就像问“这辆车时速表指针走得有多快”，但不只是是快和慢，还得知道在哪、如何变。 最经典的莫过于“乘积之导”。别光想着背公式，想象你在拍电影，两个角色与此同时在动。左边那个函数在变，右边那个也在变，它们与此同时参与了运动。
这时候，要是两个角色都没动，那结局就是零；但只有一个在动，那结局就是那个动者的速度乘以那个不动者的“舞台大小”；要是两个都在动，那就是前者的速度乘后者的大小，再加上后者速度乘前者的大小。
这就叫乘积法则，通俗点说，就是“一项的变化率乘以另一项，加上另一一项的变化率乘以第一项”。 举个栗子。假设有两个函数，$u(x)$ 和 $v(x)$，它们各自代表某个量随工夫的变化过程。当我们要算 $(u cdot v)'$ 时，就是把 $u$ 的变化率当成一个常数，去乘 $v$，再把 $v$ 的变化率当成一个常数，去乘 $u$。
这逻辑再清楚不过，就是两个量在手上的关联。
要是 $u$ 和 $v$ 都是零呢？那结局肯定是零，出于连个东西都没有，自然没有变化。 再看一个例子，$frac{sin x}{x}$。
这个函数在 $x$ 挺大时时常接近零，在某些点就连等于零。别看它可能有无穷大的导数，但它的导数本身一定是有意义的。
这个例子提醒我们，求导不是无敌的，有时候结局可能并不存有，但这正是数学的严谨之处。 接下来是商的导数，也就是“除”。
这跟刚刚的乘积有点反差，除法看起来比乘法更费事。
为啥？出于不仅要知道分子如何变，还得知道分母如何变，还得小心分母为零的情况。当分母为零时，导数就“没得比”，这时候往往要换一种“思路”，比如用洛必达法则，要么干脆换个角度思索。 举个例子。求 $frac{e^x}{x}$ 的导数。
这是两个函数相除，分子是指数函数，分母是线性函数。分子如何变？指数函数一辈子变，速度就是 $e^x$。分母如何变？线性函数变，速度就是 1。
这时候我们要用乘法法则（商实际上就是乘倒数）：把分母乘以原函数导数，再乘以分子，减去原函数乘以分母导数。算出来是 $e^x/x - e^x$。结局看起来挺复杂，但逻辑链条没断。 还有这种，分子分母都是一次方函数。
比如 $x^2 / x$。分子导数是 $2x$，分母导数是 1。应用乘法法则：$2x cdot x - x cdot 1 = 2x^2 - x$。
这个例子好办明白，一眼就能看出：先乘分子的导数，再乘分母，减去原函数乘分母的导数。 再来看一个略微复杂的。求 $(sin^2 x)'$。
这里分子就是一个角度的正弦值，分母是 1。分子如何变？导数是 $cos x$。分母如何变？导数是 0。
这时候分母导数变成了 0，分母就是“死”的。根据除法法则，分子导数除以分母导数，就是无穷大。
为啥？出于除以零是未定义的。
这意味着 $sin^2 x$ 在 $x=0$ 处是尖峰，它的斜率是无限大的。
这个例子说明，求导时，分母为零的情况贼悬，好办造成逻辑死循环。 还有这种形式的，$(tan x)'$。分子是正切，分母是 1。分子导数是 $sec^2 x$。分母导数是 0。结局又是无穷大。
看来正切函数也有它的“尖点”，别看没正弦函数那么明显，但道理一样。 最终，离散函数求导，比如 $f(x) = {x, x=2}$，要么分段函数。
这时候分段点就是“断崖”。在断崖那边，导数是不存有的。出于函数在那边突然跳了一下，没有平滑的曲线，故此没有切线，也就没有斜率。 实际上，学习求导公式的时候，千万别死记硬背。要把它们当成工具，当成描述世界变化的语言。乘积就是两个东西与此同时生长，除法就是两个东西互相竞争。
有时候结局是个 $e$，有时候是 $infty$，有时候就是那个让你抓狂的“0"。 数学的魅力就在于此，它不避讳毛病，它想给你展示世界的复杂和微妙。
有时候，当分母为零，导数就是你思索的终点，也是你洞察本质的起点。别怕公式，怕的是你不敢想。大胆去算，大胆去想，你就越懂这个函数，也就越懂自己。