学函数，那玩意儿先别急着背公式。别想着直接翻开书找“求导公式”，那看起来像堆砌的砖头，用起来还费事。真正的逻辑，实际上是看函数在变的过程，是动还是不动。 比如看 $y = x^2$，这是个典型的“动”函数。你盯着它看，它随着 $x$ 的变化一点点跟着变，形状像抛物线。
这时候，它的变化率就是斜率。
要是你平直地往上看，斜率是 0；要是你斜着斜着看，斜率就是 2x；再往两边斜，斜率就是 $2x^2$……直到无穷大。
故此结局就是 $2x$。 再看 $y = e^x$。
这是个“静”函数，反正就是 $e^x$。你不管 $x$ 是几，不管是不是负数，它一辈子长得一样。它的斜率一辈子是 $e^x$。
这和 $x^2$ 不一样，$x^2$ 动的时候斜率在变，但 $e^x$ 动的时候斜率也跟着变，但规则是固定的。 还有一种，叫“复合函数”，比如 $sin x$。你发现 $sin x$ 是个“动”函数，它的斜率不是常数，也不是个式子，而是 $cos x$。
这玩意儿没法像 $2x$ 那样直接写出来，你得知道哪位是哪位的导数。
这就变成了 $sin x$ 的导数是 $cos x$，而 $cos x$ 的导数又是 $-sin x$。 要知道，函数这一类东西，归根结底就是“如何求导”。 求导的核心，实际上是把函数当成一个整体，像切蛋糕一样切一刀，看切出来的斜率是多少。
要是切出来的斜率是个具体的数字，比如 5，那导数就是这个数。
要是切出来的斜率是个式子，比如 $3x$，那导数就是这个式子。
要是切出来的斜率是个复杂的表达式，比如 $sin x$，那导数就是对这个表达式的再求一次导。 这就引出了几个务必记住的“根本动作”。 第一个动作，就是“常数跑不掉”。$C$ 一辈子不变。啥意思呢？就是 $y = C$，是个水平线。你不管 $x$ 往哪变，这条线都躺着不动，斜率一辈子是 0。
故此 $y = C$ 的导数是 0。好办点说，常数就像个死胡同，导数等于零。 第二个动作，就是“幂函数有乘数”。$x^n$，你不管 $n$ 是多少，它导出来都是 $nx^{n-1}$。 举个例子，$x^3$ 的导数就是 $3x^2$。
你看，指数减 1，前面乘 3。
这就像剥洋葱，一层一层剥，最终剩下 $x$，然后乘以原来的次数。 再举个例子，$x^{1.5}$ 的导数就是 $1.5x^{0.5}$。指数 $1.5$ 变 $0.5$，前面乘 $1.5$。你能够试着算一下 $x^{0.5}$，就是平方根，$x^2$ 的平方根。 第三个动作，就是“乘积法则”。
要是两个函数相乘，比如 $u cdot v$，求导的话，你不能直接求 $u$ 的导数再乘 $v$，也不能直接求 $v$ 的导数再乘 $u$。你得把 $u$ 的导数乘以 $v$，再加上 $u$ 乘以 $v$ 的导数。 这就叫“两边都得”。
比如 $(x cdot e^x)$，求导就是 $1 cdot e^x$ 加上 $x$ 乘以 $e^x$ 的导数。 举个例子：求 $(2x)(x^2 + 1)$ 的导数。 这里 $u = 2x$，导数是 $2$；$v = x^2 + 1$，导数是 $2x$。 按照公式：$u'v + uv' = 2(x^2 + 1) + (2x)(2x) = 2x^2 + 2 + 4x^2 = 6x^2 + 2$。 你看，这就是如何套公式的。 第四个动作，就是“链式法则”。
这玩意儿最难，也是最神。 比如求 $sin(2x)$ 的导数。外面有个 $sin$，里面有个 $2x$。 $sin$ 的导数是 $cos$，但 $cos$ 的输入是 $2x$，不是 $x$。 故此得先把 $2x$ 的导数乘进去，变成 $2$。 故此结局是 $cos(2x) cdot 2$，也就是 $2cos(2x)$。 这就像滚雪球，外面滚一圈，里面滚两圈，结局还是那个形状，只是系数和里面的函数值都变了。 还有一个陷阱，就是“互为导数”。 sin 的导数是 cos，cos 的导数是 -sin。 tan 的导数是 sec²x。 cot 的导数是 -csc²x。 这些关系本来就挺熟，但也好办记混。
比如 tan x 的导数，别把它当成 sec x 的导数，那是 $sec^2 x$。 cot x 的导数，别把它当成 csc x 的导数，那是 $-csc^2 x$。 记住：sin ↔ cos 是一对，tan ↔ sec 是一对（正割），cot ↔ csc 是一对（余割）。 最终总结一下求导的本质。 求导，就是求“变化率”在“不同状态”下的表现。 常数就是 0。 $x^n$ 就是 $nx^{n-1}$。 $u cdot v$ 就是 $u'v + uv'$。 $sin u$ 就是 $cos u cdot u'$。 这些规则，实际上就是函数在变的时候，它带着它周围的一切，一起变动的规律。 再举个实战例子。 求 $y = 3x^2 cdot sin x$ 的导数。 这个函数有两个局部在变：$3x^2$ 和 $sin x$。 先把它们拆开。 $3x^2$ 的导数是 $6x$。 $sin x$ 的导数是 $cos x$。 目前把它们拼起来，用乘积法则。 $3x^2$ 的导数乘以 $sin x$，就是 $6xsin x$。 $3x^2$ 乘以 $sin x$ 的导数，也就是 $3x^2cos x$。 加起来就是 $6xsin x + 3x^2cos x$。 你看，这就是如何把复杂的组合函数拆开算的。 实际上，求导也就这三样。 先拆散，再套用公式，最终拼起来。 别死记硬背，多看看这些函数如何动，公式自然就出来了。 函数就是那个整体，求导就是那个看它如何动的过程。 这个过程里，有些东西死，有些东西活，有些东西变，有些东西不变。 常数静止不动，幂函数乘个系数，乘积法则两边都要动，链式法则不仅不动，还得套一层皮。 理解了这些，求导就不是冷冰冰的数字堆砌，而是函数生命力的个例展示。 每次求导，就是确认一下，这个函数在变的时候，它到底是个啥样子。 这才是求导的真功夫。
