三角函数这东西，说白了就是描述方向和距离的“天书”。高中里那套公式，看得人头晕眼花，实际上也就那么几条主线，绕个弯子就能通。别总想着背死背死，先把脑子打开，像看地图一样看，别像背课文一样读。 先说正切线，也就是那个倾斜的斜坡。它是直角三角形里对边比邻边的比值。
记住，这个比值在同一个三角形里是不变的，这叫恒等式。$ tan A = frac{sin A}{cos A} $，这个公式看着吓人，但实际上就是把正弦和余弦拼起来。
要是 $ A $ 在第二象限，正弦是正的余弦是负的，一除出来，这个切值就是负数。
这就对应上了，第二象限的角，斜着往右下走，角度实际上比直角还大，像是个钝角，但斜率是负的。 说到第二象限，大量人好办搞混。别被“第二象限角”这个标签吓到，它实际上是个集合，包含了钝角、优角，就连负角。三角函数的本质是看“相对位置”。就像你在操场上跑，不管你是顺时针逆时针跑，经过同一段路，路程差（即正切值）是不变的。
故此 $ tan(180^circ) $ 和 $ tan(360^circ) $ 是一样的，都是 0。
也就是说，甭管你把角度转到哪儿，只要它的“相对形”没变，那个切值就不变。 反过来，要是你知道了一个角的切值，$ tan alpha = k $，那这个角有无数个解。就像无限延伸的梯子，你只要不停往上爬要么往下拉，它最终都会落在那个位置。在坐标轴上，这就意味着点 $(x, y)$ 知足 $y = kx$。
这个直线方程叫作终边共线。
故此，要是你能抢到一个切值，你就根本拿到了这个角的“基因”，不用管它具体在哪几个象限，反正它总会被终边覆盖。 再看正弦和余弦，它们是一对孪生兄弟，互为倒数（当 $ cos A neq 0 $ 时）。$ frac{1}{tan A} = frac{cos A}{sin A} = cot A $。
这个关系挺有意思。
要是你知道了一个角的正弦，比如 $ sin A = 0.5 $，那你大约猜到了这个角可能是 $ 30^circ $ 或 $ 150^circ $。
这时候，$ cos A $ 就是 $ pm sqrt{1 - 0.5^2} $，这就变成了勾股定理了，你脑子里就浮现出一张直角三角形图。 实际上我们不用死记硬背那些全角二倍角公式，比如 $ sin 2A = 2 sin A cos A $，忒费事了。到了大学要么实际应用时，我们更多是用倍角公式来简化计算，要么直接查表、画图。
比如你有 $ sin A $ 和 $ cos A $ 的具体值，直接套公式算出 $ sin 2A $ 和 $ cos 2A $ 是多少。别看听起来挺绕，但原理挺好办：两个角夹在一起，要么两个角加起来，形成的变化量，就是这两个量“乘积并且加倍”后的结局。
这就像两个人手拉手转了半圈，他们转过的角度总和就是原来的两倍，但每个人自己转过的角度还得翻倍。 举个具体的例子。假设你有一艘船，它分别向东走了 3 海里，向北走了 4 海里。
这时候，它相对于正东方向的角度是多少？用勾股定理算出斜边是 5 海里。正弦是对边比斜边，故此 $ sin theta = frac{4}{5} = 0.8 $。余弦是 $ frac{3}{5} = 0.6 $。正切就是 $ frac{4}{3} approx 1.333 $。
这时候你只需求记住这个比值，不管船航行了多少圈，只要它还在那个方向，这个比值就一辈子不变。
这就是恒等式的力量。 实际上大量时候，我们为了找到 $ tan 2A $，会先算出 $ sin 2A $ 和 $ cos 2A $ 的具体数值。
比如 $ sin 72^circ approx 0.951 $，$ cos 72^circ approx 0.309 $。算出 $ tan 72^circ $ 约等于 3.077。
要是你能直接写出 $ tan 72^circ $，那忒撇脱了。但要是你不知道，就得去计算。
这中间实际上没啥特别的技巧，就是代数运算罢了。 回过头来想，为啥我们不用周长的公式？比如 $ frac{1}{2}(sin 2A + sin 4A) $ 这种和差化积公式。出于这是把多个正弦加起来变成正弦，为了运算撇脱。
要是你只是求一个角，没必要如此费事。就像你不需求把一把钥匙拆开成千上万个小零件来找哪位缺哪颗螺丝，你只需求一把整个的钥匙就行。 最终总结一下，三角函数的核心就是“相对性”。除了 $ 90^circ $ 这种特殊情况（$ sin 90^circ = 1, cos 90^circ = 0, tan 90^circ $ 无定义），其他时候，你只需求关切那个角的“形状”。至于它是 $ 30^circ $、$ 45^circ $ 还是 $ 150^circ $，只要它的切值、正弦、余弦的符号对上了，它就是对的。别被那些繁琐的公式吓到了，把它们当成工具箱里的几把锯子，哪一把好，就用哪一把。数学这东西，越用越认定亲切，越把关系理顺，就越是认定好办。你只需求记住：方向变了，角度变了；但相对位置没变，答案就不变。
这就是三角函数最朴素的逻辑。
