数学常用公式：就像积木，随意搭 小时候认定数数就是数排队，后来才懂，那实际上是算术。
再后来，数学这东西就变得像搭积木一样，没顺序，看着乱，拆开又凑合。
这些公式，大多不是一味地让你背条条框框，而是真像一把把钥匙，专门打开不同门道的锁。
你想看加法那玩意儿，直接上；想算乘法，找乘法表；要是连乘法都还没摸到门道，那加法就得退一步，把它的公式拆碎了重新看。 加减法，那是最好办的，也是最刚硬的。就像两个小哥们儿碰头了，一个说十，一个说六，一拍脑袋，十加六等于十六。
这种逻辑再好办不过了，哪位都能一眼看出来。
要是你嫌好办，想看点“花活儿”，那得试试分配律，要么结合律。
这两条实际上没啥区别，都是说加法要公平，得把数字拆开，均匀地分给前面的算数。
比如 3 加 2 加 4，你能够先算 3 加 2 得 5，然后再算 5 加 4 得 9；也能够先算 2 加 4 得 6，再算 3 加 6 也得 9。
反正结局一样，只是路子不一样，就像步行能够走大路也能够走小路，只要终点一样，路走平的一样远。
不过，你得有个心理预备，有时候别人走大路，你走小路，中间可能会多走几步，但只要最终拿到的东西一样，路再远也不算输。 乘法就是加法的高级版本。但别当作它多难，实际上它就是反复相加。
比如你看 2 乘以 3，那不就是 2 加上 2，再加上 2 吗？这种加法忒单调了，故此数学界才发明白乘法这个工具，专门用来解决数量庞大、让人数不过来的人和事。
这时候，乘法表就显得至关关键了。它是所有乘法运算的基石，也是小学数学里最关键的工具之一。你背熟了乘法表，就相当于背熟了宇宙的密码本，简直所相关于加减乘除的题，都能从这儿找到头绪。自然，乘法表也不是死记硬背，得理解它是如何来的。
比如知道 2 乘以 5 等于 10，你就知道 2 加 2 加 2 加 2 加 2 就是 10；再比如知道 3 乘以 4 等于 12，那不就是 3 加 3 加 3 加 3 吗？这时候你可能会问，那 4 乘以 5 呢？实际上没啥区别，只是顺序换了，结局还是一样。 到了高年级，乘法表还是用不完的，但还有更了得的东西，那就是乘法公式和乘法分配律。
这些公式听起来挺玄乎，实际上就是加法公式的变体。
比如平方差公式，就是两个数相乘，再减去这两个数相乘，结局等于这两个数的和乘以这两个数的差。
听起来有点绕，实际上道理挺好办。
比如 2 乘以 5 再减去 2，等于 10 减 2，得出 8。
要么反过来，把 2 拆开，变成 2 乘以 5 再减去 2，等于 10 加 2，再减去 2，结局还是 8。
这就叫平方差。再比如彻底平方公式，就是 $a^2 + 2ab + b^2$，等于 $(a+b)^2$。
这玩意儿实际上挺常见的，就像长方形面积，长是 $a+b$，宽是 $a+b$，那面积不就是长乘以宽嘛？也就是 $(a+b)$ 乘以 $(a+b)$，自然就等于 $a^2 + 2ab + b^2$ 了。 这时候就要小心了，出于公式别看好用，可是最好办犯错的，就是那些看起来挺好办，实际上好办搞错的细节。
比如平方差公式，大量孩子一看到“和”就编造，写成 $(a-b)^2$，结局就错了。
这时候得记住，$a$ 和 $b$ 一定要对调才能成立，否则整个公式就崩塌了。再比如彻底平方公式，大量学生好办把 $2ab$ 算错符号，写成 $-2ab$，这直接把结局搞反了，前后矛盾。
故此，公式这东西，读的时候要仔细，算的时候要慢。 除法也是数学里的关键工具，别看看着比加减乘除费事，但实际上原理还是好办的。
比如 6 除以 3，就是 6 里面有多少个 3？自然是 2 个。
这种除法，有时候叫“整除”，有时候叫“约分”。整除的话，就是两个数都能被另一个数整除，没有余数。约分的话，就是分子分母与此同时除以它们的公约数，让分数变得更小。
比如 $frac{2}{4}$，能够约分加上 2 变成 $frac{1}{2}$，这就变得好办多了。 分数是最难啃的骨头，这也是最让人头疼的。
如何把分数算出来？实际上还是借用的整数，只不过借来的那个整数要加上那个“余数”。
比如 $frac{3}{4}$，就是 0 加 0 又加上 $frac{3}{4}$，等于 $frac{3}{4}$。再比如 $frac{5}{2}$，就是 2 加 1 又加上 $frac{1}{2}$，等于 $2frac{1}{2}$。
这时候就要用到假分数和带分数了。假分数是分子大于等于分母的分数，比如 $frac{5}{3}$，它等于 1 加 $frac{2}{3}$，也就是 $1frac{2}{3}$。
要是你发现假分数确实算不出，那就把它拆开，变成整数局部加上真分数局部，这样脑子就不会晕了。 这时候，分数乘法就来了。
看起来好办，实际上就是乘法再一次升级。
比如 $frac{1}{2}$ 乘以 $frac{3}{4}$，就是先把分子乘分子，分母乘分母，拿到 $frac{3}{8}$。
这时候就要小心，分母要是有公因数，一定要约分再算，不然结局可能会变得贼难看。
比如 $frac{2}{7}$ 乘以 $frac{3}{14}$，先约分把 7 和 14 变掉，变成 $frac{2}{1}$ 乘以 $frac{3}{2}$，结局是 $frac{6}{2}$，等于 3。
这时候你会发现，大量复杂的分数乘法，实际上都能化简成整数，要么贼好办的分数。 分数除法，简直就是除法的大哥。大量学生当作除法就是除得越少越好，实际上不是。除法实际上是乘法的逆运算。
比如 6 除以 3，实际上是问 3 乘多少等于 6。
这时候就能够用乘法逆运算公式：要是 $a div b = c$，那么 $b times c = a$。
故此 $frac{3}{4}$ 除以 $frac{2}{3}$，就变成了 $frac{3}{4}$ 乘以 $frac{3}{2}$，结局就是 $frac{9}{8}$。
这时候要注意，除数不能是 0，出于 0 没有倒数，数学上不准如此操作。 整式运算，能够说是代数里的根本功。
比如合并同类项，就是把含有相同字母的多项式相加或相减。
比如 $2x + x + 3$，就是 $2x + x$ 再加上 3，也就是 $2x + 1x + 3 = 3x + 3$。
这实际上就是把相同的东西放在一起，然后合并系数。
这时候挺好办犯的毛病是抄错数字，要么把不同项当成同类项了，比如把 $2x$ 和 $3y$ 当成同类项，这绝对不中。 polynomial 有时候看着像一堆乱码，但实际上挺有规律。
比如 $(2x + 3)(x - 1)$，这就叫多项式乘法。
这时候就需求用分配律了，先把每一项乘进去，算出所有单项式，然后再把相同偶次项合并。
比如先算 $2x$ 乘 $x$ 拿到 $2x^2$，再算 $2x$ 乘 $-1$ 拿到 $-2x$。
然后算 $3$ 乘 $x$ 拿到 $3x$，再算 $3$ 乘 $-1$ 拿到 $-3$。最终把 $2x^2 - 2x + 3x - 3$ 加起来，消掉 $-2x$ 和 $3x$，拿到 $2x^2 + x - 3$。
这时候就要检查，是不是漏掉了啥项，要么符号是不是搞反了。 方程和不等式，是解决实际难题最常用的工具。
比如解方程 $2x + 5 = 15$，如何解？实际上就是两边与此同时减去 5，拿到 $2x = 10$，然后再两边除以 2，拿到 $x = 5$。
这时候能够用加减消元法要么代入消元法。
举个例子，解方程组 $x + y = 5$ 和 $2x - y = 1$。
这时候能够用加减消元法，把两个方程加起来，消掉 $y$，拿到 $3x = 6$，故此 $x = 2$。把 $x = 2$ 代回去，就能算出 $y$ 的值了。
这时候要注意，解方程的时候，每一步都要有依据，不能瞎猜。 不等式就好办让人头大了，出于它没有唯一解，而是一个范围。
比如 $x + 2 > 5$，解出来是 $x > 3$。
这时候不等式的性质就显得特别关键。
比如两边与此同时加上 2，不等号方向不变；两边与此同时乘以负数，不等号方向要变。
比如 $x - 3 < 7$，两边与此同时加 3，拿到 $x < 10$。
这时候要特别小心，绝对不要搞反了不等号方向，这是最常见的毛病之一。 概率和统计，是数学里最贴近生活的局部。
比如抛硬币，正反面各有一半的概率。掷骰子，6 个面里面出现 6 的概率是 $frac{1}{6}$。
这时候就要用到概率公式：$P(A) = frac{m}{n}$，其中 $m$ 是事件形成的次数，$n$ 是总次数。
比如抛两个硬币，正正、正反、反正、反反，这四种情况里，正正算两枚正面，占总数 2。
什么的，不对，概率是看正面出现的次数除以总次数。
比如抛两次，正面出现的情况有：正正、正反、反正，这是 3 种情况，故此正面出现的概率是 $frac{3}{4}$。
这时候要记得，概率加法公式：要是两个事件互斥，那它们概率之和等于它们的概率之和。
比如抛硬币，正面或反面出现的概率是 1，出于迟早要出个面。 这里还有个东西叫数学期望，实际上就是平均值。
比如抛一枚硬币，正面和反面各出一次的期望是 $frac{1}{2} + frac{1}{2} = 1$。
要是抛三次，第一次 $frac{1}{2}$，第二次 $frac{1}{2}$，第三次 $frac{1}{2}$，加起来还是 1。期望是个挺好的统计工具，它告诉我们预测的平均结局。
比如买彩票，买 10 张，平均能中多少？用数学期望算出来的，就是所有的中奖概率加起来。
这时候要注意，期望不代表一定会中，只是长期来看应当接近这个数。 最终，数学公式实际上也挺好玩，有时候能玩出花来。
比如等差数列，就是像楼梯一样，每次加得一样多。
要是第一级是 3，每次加 2，那就是 3、5、7、9……这时候能够用公式 $a_n = a_1 + (n-1)d$ 来算第 $n$ 级的数。
比如第 5 级就是 $3 + (5-1)times 2 = 11$。等比数列就好办了，每次乘个固定的数。
比如第 1 级是 2，每次乘 3，那就是 2、6、18、54……这时候能够用公式 $a_n = a_1 times q^{n-1}$ 来算第 $n$ 级。 你看，数学实际上并没有那么枯燥，公式也不是死板的条文，它们是工具，是逻辑，是解决难题的钥匙。从最好办的加减乘除，到复杂的代数运算，再到概率统计，整个数学世界的运行逻辑都在这些公式里体现着。每个人对数学的理解不同，认定难的人，可能是思路不够清楚；认定好办的人，可能是还没用到更高级的公式。别急，慢慢来，多练练，把那些公式吃透，你会发现数学世界实际上挺有意思的。
