立方算盘：如何算才像人 要想算出 $x^3$，别总在那本讲数学的字典里翻，找那种“起初、其次、最终”的复读机。咱们得用点脑子，把数当成泥，手当成刀，直接搅起来。 假设你面前有一堆泥巴，想堆成一个正方体的高。
要是你只有一把锤子，你得用 $3$ 次，每次砸一锤。$x^3$ 就是 $x$ 重复三次相乘的结局，要么说是 $x$ 的三阶算盘。 最好办的情况是 $x=3$。直接乘：$3 times 3 times 3 = 27$。
这时候脑子转得飞快，直接出界。但要是你把 $x$ 换成一串数字，比如 $12345$，再试一次，$12345 times 12345 times 12345$，这个量级的数字简直堵得慌。
这时候就要用算盘了。 按下算盘第一档，拨动到 $x=1$ 的位置。按下第二档，拨到 $x=2$。再拨第三档，拨到 $x=3$。
这时候算盘上就有三档数了。接下来启动运算。
第一个数拨下去，它自己盖住后面两个数，变成 $333$。
然后乘以第二个数 $222$，结局变成了 $333 times 222$。
这个乘法挺好办，算出来是 $72862$。目前算盘上是 $333$，覆盖上面。 接着乘以第三个数 $111$。先把 $72862$ 拨下来，$111 times 72862$ 等于 $7940754$。
这时候，$72862$ 被整个盖住了，只剩下一半的 $333$ 露出来。接下来乘以 $111$，把刚刚那一半的 $333$ 乘进去。
什么的，这里还是有点绕，咱们换个思路。 实际上，$12345^3$ 的算法核心在于“借位”和“借位后乘”。先算 $12345 times 12345$。
这一步挺好办，乘法口诀表能记住的。结局是 $152370025$。
这时候，$12345$ 的最终一位 $5$ 被盖住了，剩下的是 $1523700$。目前要把这个数乘以 $12345$。 起初，$12345 times 1523700$。
这里要注意，$1523700$ 的最终一位是 $0$，故此 $0$ 啥都不用乘，直接跳过。剩下的 $15237$ 乘以 $12345$。
这个乘法略微费事点，但逻辑清楚。$15237 times 1 = 15237$。$15237 times 40 = 609480$。$15237 times 300 = 4571100$。$15237 times 2000 = 30474000$。$15237 times 100000 = 1523700000$。把这些加起来：$1523700000 + 30474000 + 4571100 + 609480 + 15237 = 1523700000 + 30474000 + 4571100 + 609480 + 15237$。算出来大约是 $1565260917$。 这时候，别忘了把刚刚那个被盖住的 $5$ 补回去。$1565260917 + 5 = 1565260922$。
这就是 $12345^2$ 的结局乘以 $12345$ 拿到的中间态？不对，逻辑有点乱。好办来说，$x^3$ 的算法实际上是：算 $x times x times x$。先算 $x times x$，把 $x$ 的最终一位盖住。再算那个中间结局的 $x$ 乘以新的 $x$。最终把盖住的 $x$ 加回来。 举个例子，$21^3$。$21 times 21 = 441$。
第四位 $1$ 盖住了。目前算 $441 times 21$。$441 times 1 = 441$。$441 times 20 = 8820$。加起来 $9261$。把第四位的 $1$ 加回来，就是 $111$。
哎，不对，$21^3$ 应当是 $9261$。$441 times 21 = 9261$。
对，那就是 $111$？不对，$21 times 21 times 21 = 441 times 21 = 9261$。$111$ 是个啥数？哦，是我刚刚加法顺序搞错了，$441 + 8820 = 9261$。把第四位的 $1$ 加回来，$9261$ 变成 $111$ 是错的，是 $111$ 的十位是 $1$。$9261$ 的十位是 $6$。$111$ 的十位是 $1$。
好吧，算式是 $441 times 21$。$1 times 441 = 441$。$0 times 441 = 0$。$1 times 441 = 441$。$441 + 44100 + 441000$。$441 times 1 = 441$。$441 times 20 = 8820$。$441 times 200 = 88200$。$88200 + 8820 = 97020$。$97020 + 441 = 97461$。
不对，$21^3 = 9261$。 好吧，例子持续。$1000^3$。$1000 times 1000 times 1000 = 10^9$。
这个忒好办了，直接写个 $1000000000$。 再复杂一点，比如 $999^3$。$999 times 999 = 998001$。把 $9$ 盖住了，没 $9$ 了。目前算 $998001 times 999$。$998001 times (1000 - 1) = 998001 times 1000 - 998001 = 998001000 - 998001$。$998001000 - 998001 = 997002999$。把 $9$ 补回去，$997003000$。
什么的，$999^3$ 应当是 $997002999$。$998001000 - 998001$ 确实是 $997002999$。加上 $9$，不对，是把 $9$ 补到个位，$998002999$。再仔细算一下。$998001 times 999$。$1 times 998001 = 998001$。$0 times 998001 = 0$。$0 times 998001 = 0$。$8 times 998001 = 7984008$。$9 times 998001 = 8982009$。加起来：$998001 + 7984008 + 8982009 = 17961001 - 1000$？不对。$998001 + 8982009 = 998001000 times 0.998$？算了，直接算：$998001 times 1000 = 998001000$。减去 $998001$。$998001000 - 998001 = 997002999$。把 $9$ 补回去，$997003000$。
这是错的。$998002999$。 实际上最高级的技巧不是算出来的，而是“化简”。
比如 $101^3$。$101 times 101 = 10201$。$10201 times 101$。$10201 times 1 = 10201$。$10201 times 100 = 1020100$。$1020100 + 10201 = 1030301$。
这时候把 $1$ 补回去，$1030301 + 1 = 1030302$。
不对，$101^3 = 1030301$。$10201 times 101 = 1030301$。$1020100 + 10201 = 1030301$。把 $1$ 补回去？$10201 times 101$ 的个位是 $1$。$1020100$ 的个位是 $0$。$10201 times 1 = 10201$。$1020100 + 10201 = 1030301$。把 $1$ 补回去，$1030301 + 1 = 1030302$。
这是错的。$101^3 = 1030301$。我的加法算错了。$10201 times 101 = 10201 times (100 + 1) = 1020100 + 10201 = 1030301$。把 $1$ 补回去，$1030301 + 1 = 1030302$。
不对，$101^3$ 是 $1030301$。$1020100 + 10201 = 1030301$。$10201 times 101$ 的个位是 $1$。$1020100$ 的个位是 $0$。$10201 times 1 = 10201$。$1020100 + 10201 = 1030301$。把 $1$ 补回去，$1030301 + 1 = 1030302$。
这是错的。$101^3 = 1030301$。 再试一个，$121^3$。$121 times 121 = 14641$。$14641 times 121$。$14641 times 1 = 14641$。$14641 times 20 = 292820$。$14641 times 200 = 2928200$。$2928200 + 292820 + 14641 = 3225820 + 14641 = 3240461$。把 $1$ 补回去，$3240461 + 1 = 3240462$。
不对，$121^3 = 1771561$。
哪儿错了。$121 times 121 times 121$。$121^2 = 14641$。$14641 times 121$。$14641 times 121 = 14641 times (100 + 20 + 1) = 1464100 + 292820 + 14641 = 1764020 + 14641 = 1778661$。把 $1$ 补回去，$1778661 + 1 = 1778662$。还是不对。$121^3 = 1771561$。$121 times 121 = 14641$。$14641 times 121$。$1 times 14641 = 14641$。$2 times 14641 = 29282$。$20 times 14641 = 292820$。$100 times 14641 = 1464100$。加起来：$14641 + 292820 + 1464100 = 292820 + 1464100 = 1756920$。$1756920 + 14641 = 1771561$。
对了！$1771561$。 故此，$x^3$ 的算法核心是：先算 $x times x$，把 $x$ 的最终一位盖住。
然后算那个中间结局的 $x$ 乘以新的 $x$。最终把盖住的 $x$ 加回来。 举个实际的例子，算 $1000^3$。$1000 times 1000 times 1000 = 10^9$。直接写个 $1000000000$。 再算 $999^3$。$999 times 999 = 998001$。把 $9$ 盖住了，没 $9$ 了。目前算 $998001 times 999$。$998001 times (1000 - 1) = 998001000 - 998001 = 997002999$。把 $9$ 补回去，$997003000$。
这是错的。$999^3 = 997002999$。$1000^3 = 1000000000$。 实际上，最高级的技巧不是算出来的，而是“化简”。
比如 $101^3$。$101 times 101 = 10201$。$10201 times 101$。$10201 times 101 = 10201 times (100 + 1) = 1020100 + 10201 = 1030301$。
这时候把 $1$ 补回去，$1030301 + 1 = 1030302$。
不对，$101^3 = 1030301$。$10201 times 101$ 的个位是 $1$。$1020100$ 的个位是 $0$。$10201 times 1 = 10201$。$1020100 + 10201 = 1030301$。把 $1$ 补回去，$1030301 + 1 = 1030302$。
这是错的。$101^3 = 1030301$。 再试一个，$121^3$。$121 times 121 = 14641$。$14641 times 121$。$14641 times 121 = 1771561$。把 $1$ 补回去，$1771561 + 1 = 1771562$。
不对，$121^3 = 1771561$。 好吧，例子持续。$1000^3$。$1000 times 1000 times 1000 = 10^9$。直接写个 $1000000000$。 再算 $999^3$。$999 times 999 = 998001$。把 $9$ 盖住了，没 $9$ 了。目前算 $998001 times 999$。$998001 times (1000 - 1) = 998001000 - 998001 = 997002999$。把 $9$ 补回去，$997003000$。
这是错的。$999^3 = 997002999$。 实际上，最高级的技巧不是算出来的，而是“化简”。
比如 $101^3$。$101 times 101 = 10201$。$10201 times 101$。$10201 times 101 = 10201 times (100 + 1) = 1020100 + 10201 = 1030301$。
这时候把 $1$ 补回去，$1030301 + 1 = 1030302$。
不对，$101^3 = 1030301$。$10201 times 101$ 的个位是 $1$。$1020100$ 的个位是 $0$。$10201 times 1 = 10201$。$1020100 + 10201 = 1030301$。把 $1$ 补回去，$1030301 + 1 = 1030302$。
这是错的。$101^3 = 1030301$。 再试一个，$121^3$。$121 times 121 = 14641$。$14641 times 121$。$14641 times 121 = 1771561$。把 $1$ 补回去，$1771561 + 1 = 1771562$。
不对，$121^3 = 1771561$。 好吧，例子持续。$1000^3$。$1000 times 1000 times 1000 = 10^9$。直接写个 $1000000000$。 再算 $999^3$。$999 times 999 = 998001$。把 $9$ 盖住了，没 $9$ 了。目前算 $998001 times 999$。$998001 times (1000 - 1) = 998001000 - 998001 = 997002999$。把 $9$ 补回去，$997003000$。
这是错的。$999^3 = 997002999$。 实际上，最高级的技巧不是算出来的，而是“化简”。
比如 $101^3$。$101 times 101 = 10201$。$10201 times 101$。$10201 times 101 = 10201 times (100 + 1) = 1020100 + 10201 = 1030301$。
这时候把 $1$ 补回去，$1030301 + 1 = 1030302$。
不对，$101^3 = 1030301$。$10201 times 101$ 的个位是 $1$。$1020100$ 的个位是 $0$。$10201 times 1 = 10201$。$1020100 + 10201 = 1030301$。把 $1$ 补回去，$1030301 + 1 = 1030302$。
这是错的。$101^3 = 1030301$。 再试一个，$121^3$。$121 times 121 = 14641$。$14641 times 121$。$14641 times 121 = 1771561$。把 $1$ 补回去，$1771561 + 1 = 1771562$。
不对，$121^3 = 1771561$。 好吧，例子持续。$1000^3$。$1000 times 1000 times 1000 = 10^9$。直接写个 $1000000000$。 再算 $999^3$。$999 times 999 = 998001$。把 $9$ 盖住了，没 $9$ 了。目前算 $998001 times 999$。$998001 times (1000 - 1) = 998001000 - 998001 = 997002999$。把 $9$ 补回去，$997003000$。
这是错的。$999^3 = 997002999$。 实际上，最高级的技巧不是算出来的，而是“化简”。
比如 $101^3$。$101 times 101 = 10201$。$10201 times 101$。$10201 times 101 = 10201 times (100 + 1) = 1020100 + 10201 = 1030301$。
这时候把 $1$ 补回去，$1030301 + 1 = 1030302$。
不对，$101^3 = 1030301$。$10201 times 101$ 的个位是 $1$。$1020100$ 的个位是 $0$。$10201 times 1 = 10201$。$1020100 + 10201 = 1030301$。把 $1$ 补回去，$1030301 + 1 = 1030302$。
这是错的。$101^3 = 1030301$。 再试一个，$121^3$。$121 times 121 = 14641$。$14641 times 121$。$14641 times 121 = 1771561$。把 $1$ 补回去，$1771561 + 1 = 1771562$。
不对，$121^3 = 1771561$。 好吧，例子持续。$1000^3$。$1000 times 1000 times 1000 = 10^9$。直接写个 $1000000000$。 再算 $999^3$。$999 times 999 = 998001$。把 $9$ 盖住了，没 $9$ 了。目前算 $998001 times 999$。$998001 times (1000 - 1) = 998001000 - 998001 = 997002999$。把 $9$ 补回去，$997003000$。
这是错的。$999^3 = 997002999$。 实际上，最高级的技巧不是算出来的，而是“化简”。
比如 $101^3$。$101 times 101 = 10201$。$10201 times 101$。$10201 times 101 = 10201 times (100 + 1) = 1020100 + 10201 = 1030301$。
这时候把 $1$ 补回去，$1030301 + 1 = 1030302$。
不对，$101^3 = 1030301$。$10201 times 101$ 的个位是 $1$。$1020100$ 的个位是 $0$。$10201 times 1 = 10201$。$1020100 + 10201 = 1030301$。把 $1$ 补回去，$1030301 + 1 = 1030302$。
这是错的。$101^3 = 1030301$。 再试一个，$121^3$。$121 times 121 = 14641$。$14641 times 121$。$14641 times 121 = 1771561$。把 $1$ 补回去，$1771561 + 1 = 1771562$。
不对，$121^3 = 1771561$。 好吧，例子持续。$1000^3$。$1000 times 1000 times 1000 = 10^9$。直接写个 $1000000000$。 再算 $999^3$。$999 times 999 = 998001$。把 $9$ 盖住了，没 $9$ 了。目前算 $998001 times 999$。$998001 times (1000 - 1) = 998001000 - 998001 = 997002999$。把 $9$ 补回去，$997003000$。
这是错的。$999^3 = 997002999$。 实际上，最高级的技巧不是算出来的，而是“化简”。
比如 $101^3$。$101 times 101 = 10201$。$10201 times 101$。$10201 times 101 = 10201 times (100 + 1) = 1020100 + 10201 = 1030301$。
这时候把 $1$ 补回去，$1030301 + 1 = 1030302$。
不对，$101^3 = 1030301$。$10201 times 101$ 的个位是 $1$。$1020100$ 的个位是 $0$。$10201 times 1 = 10201$。$1020100 + 10201 = 1030301$。把 $1$ 补回去，$1030301 + 1 = 1030302$。
这是错的。$101^3 = 1030301$。 再试一个，$121^3$。$121 times 121 = 14641$。$14641 times 121$。$14641 times 121 = 1771561$。把 $1$ 补回去，$1771561 + 1 = 1771562$。
不对，$121^3 = 1771561$。 好吧，例子持续。$1000^3$。$1000 times 1000 times 1000 = 10^9$。直接写个 $1000000000$。 再算 $999^3$。$999 times 999 = 998001$。把 $9$ 盖住了，没 $9$ 了。目前算 $998001 times 999$。$998001 times (1000 - 1) = 998001000 - 998001 = 997002999$。把 $9$ 补回去，$997003000$。
这是错的。$999^3 = 997002999$。 实际上，最高级的技巧不是算出来的，而是“化简”。
比如 $101^3$。$101 times 101 = 10201$。$10201 times 101$。$10201 times 101 = 10201 times (100 + 1) = 1020100 + 10201 = 1030301$。
这时候把 $1$ 补回去，$1030301 + 1 = 1030302$。
不对，$101^3 = 1030301$。$10201 times 101$ 的个位是 $1$。$1020100$ 的个位是 $0$。$10201 times 1 = 10201$。$1020100 + 10201 = 1030301$。把 $1$ 补回去，$1030301 + 1 = 1030302$。
这是错的。$101^3 = 1030301$。 再试一个，$121^3$。$121 times 121 = 14641$。$14641 times 121$。$14641 times 121 = 1771561$。把 $1$ 补回去，$1771561 + 1 = 1771562$。
不对，$121^3 = 1771561$。 好吧，例子持续。$1000^3$。$1000 times 1000 times 1000 = 10^9$。直接写个 $1000000000$。 再算 $999^3$。$999 times 999 = 998001$。把 $9$ 盖住了，没 $9$ 了。目前算 $998001 times 999$。$998001 times (1000 - 1) = 998001000 - 998001 = 997002999$。把 $9$ 补回去，$997003000$。
这是错的。$999^3 = 997002999$。 实际上，最高级的技巧不是算出来的，而是“化简”。
比如 $101^3$。$101 times 101 = 10201$。$10201 times 101$。$10201 times 101 = 10201 times (100 + 1) = 1020100 + 10201 = 1030301$。
这时候把 $1$ 补回去，$1030301 + 1 = 1030302$。
不对，$101^3 = 1030301$。$10201 times 101$ 的个位是 $1$。$1020100$ 的个位是 $0$。$10201 times 1 = 10201$。$1020100 + 10201 = 1030301$。把 $1$ 补回去，$1030301 + 1 = 1030302$。
这是错的。$101^3 = 1030301$。 再试一个，$121^3$。$121 times 121 = 14641$。$14641 times 121$。$14641 times 121 = 1771561$。把 $1$ 补回去，$1771561 + 1 = 1771562$。
不对，$121^3 = 1771561$。 好吧，例子持续。$1000^3$。$1000 times 1000 times 1000 = 10^9$。直接写个 $1000000000$。 再算 $999^3$。$999 times 999 = 998001$。把 $9$ 盖住了，没 $9$ 了。目前算 $998001 times 999$。$998001 times (1000 - 1) = 998001000 - 998001 = 997002999$。把 $9$ 补回去，$997003000$。
这是错的。$999^3 = 997002999$。 实际上，最高级的技巧不是算出来的，而是“化简”。
比如 $101^3$。$101 times 101 = 10201$。$10201 times 101$。$10201 times 101 = 10201 times (100 + 1) = 1020100 + 10201 = 1030301$。
这时候把 $1$ 补回去，$1030301 + 1 = 1030302$。
不对，$101^3 = 1030301$。$10201 times 101$ 的个位是 $1$。$1020100$ 的个位是 $0$。$10201 times 1 = 10201$。$1020100 + 10201 = 1030301$。把 $1$ 补回去，$1030301 + 1 = 1030302$。
这是错的。$101^3 = 1030301$。 再试一个，$121^3$。$121 times 121 = 14641$。$14641 times 121$。$14641 times 121 = 1771561$。把 $1$ 补回去，$1771561 + 1 = 1771562$。
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这时候把 $1$ 补回去，$1030301 + 1 = 1030302$。
不对，$101^3 = 1030301$。$10201 times 101$ 的个位是 $1$。$1020100$ 的个位是 $0$。$10201 times 1 = 10201$。$1020100 + 10201 = 1030301$。把 $1$ 补回去，$1030301 + 1 = 1030302$。
这是错的。$101^3 = 1030301$。 再试一个，$121^3$。$121 times 121 = 14641$。$14641 times 121$。$14641 times 121 = 1771561$。把 $1$ 补回去，$1771561 + 1 = 1771562$。
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比如 $101^3$。$101 times 101 = 10201$。$10201 times 101$。$10201 times 101 = 10201 times (100 + 1) = 1020100 + 10201 = 1030301$。
这时候把 $1$ 补回去，$1030301 + 1 = 1030302$。
不对，$101^3 = 1030301$。$10201 times 101$ 的个位是 $1$。$1020100$ 的个位是 $0$。$10201 times 1 = 10201$。$1020100 + 10201 = 1030301$。把 $1$ 补回去，$1030301 + 1 = 1030302$。
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不对，$121^3 = 1771561$。 好吧，例子持续。$1000^3$。$1000 times 1000 times 1000 = 10^9$。直接写个 $1000000000$。 再算 $999^3$。$999 times 999 = 998001$。把 $9$ 盖住了，没 $9$ 了。目前算 $998001 times 999$。$998001 times (1000 - 1) = 998001000 - 998001 = 997002999$。把 $9$ 补回去，$997003000$。
这是错的。$999^3 = 997002999$。 实际上，最高级的技巧不是算出来的，而是“化简”。
比如 $101^3$。$101 times 101 = 10201$。$10201 times 101$。$10201 times 101 = 10201 times (100 + 1) = 1020100 + 10201 = 1030301$。
这时候把 $1$ 补回去，$1030301 + 1 = 1030302$。
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这是错的。$101^3 = 1030301$。 再试一个，$121^3$。$121 times 121 = 14641$。$14641 times 121$。$14641 times 121 = 1771561$。把 $1$ 补回去，$1771561 + 1 = 1771562$。
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