弦长公式：把几何算成直觉的算术 别总想着背那些死记硬背的公式，特别是弦长那个。你会发现，当你真正去画几条线，切一刀，去量一段的时候，那个公式实际上早就在你脑子里了，只是平时忒忙没注意到罢了。弦长不是一条直线，它是两点之间“最便宜”的路径，要么是圆弧上两点间的一段弧。
不管算出来的是多少，核心道理实际上就如此好办：两点之间，线段最短。 拿个圆规来，套上两脚，一头在起点 A，一头在终点 B，张开到刚好碰到就行。
这时候，BE 就是你想要的弦长，而 BC 和 AE 就是那两个弦心距。
这玩意儿实际上就是勾股定理的变体，只不过这里的直角三角形的斜边，长度等于弦长。 最常见的情况是圆。想象一个标准的单位圆，直径是 2，半径 r=1。
这时候弦长如何算最顺手？实际上只三步。先算出弦心距 h，也就是圆心到弦的垂直距离。
要是弦把圆分成了上下两半，那 h 就等于半径减去弦心距，要么就是半径本身，具体看你如何定义起点。
接着，在直角三角形里，一边是半径，一边是弦心距，斜边就是弦长。直接套公式：$c = 2sqrt{r^2 - h^2}$。
这个公式看着冷冰冰，实际上就是一句“勾股定理的通配词”。 有时候弦心距不是整数，这时候那就得用三角函数了。
要是你知道圆心角 $theta$（弧度制），那弦长就是 $2rsin(theta/2)$。
这个公式比刚刚那个更直接。
比如你要算一个外接圆半径为 13 的等边三角形边长。
这时候圆心角是多少？反正就是 60 度，换算成弧度就是 $pi/3$。代入公式：$2 times 13 times sin(10pi/6) = 26 times sin(10pi/6)$。算一下，$sin(10pi/6)$ 实际上就是 $sin(5pi/3)$，等于 $-sqrt{3}/2$，绝对值是 $sqrt{3}/2$，乘以 26 再乘以 $sqrt{3}$ ？不对，等一下，等边三角形三个内角都是 60 度，圆心角也是 120 度。
对，是 $pi/3$ 吗？不对，圆周是 $2pi$，三等分就是 $2pi/3$。
那 $sin(pi/3)$ 就是 $sqrt{3}/2$，结局就是 $13sqrt{3}$。等边三角形边长 $a = 2rsin(60^circ)$。
哦，反正弦函数里，$sin(60^circ)$ 是 $sqrt{3}/2$，故此 $2 times 13 times sqrt{3}/2 = 13sqrt{3}$。大约 22 多一点。
这个逻辑链条不管是不是圆，只要把角度换成弧度，把半径换成长度，公式一辈子成立。 再说说圆内接正多边形。
比如正六边形，实际上它的外接圆直径就是边长。正四边形，也就是正方形，边长就是直径。正八边形，边长大约是半径的 $sqrt{2}$ 倍。
这些具体的数值，有时候比公式本身更有趣。
比如一个半径为 5 的正五边形，如何算它的边长？这就不用死记硬背了。正五边形把圆周分成 5 份，每份对应的圆心角是 $360^circ/5 = 72^circ$。转换成弧度就是 $2pi/5$。用弦长公式：$2 times 5 times sin(36^circ)$。查一下表要么算一下，$sin(36^circ)$ 是个无理数，但反正熟这个表，要么记得 $cos(36^circ)$ 等于 $(1+sqrt{5})/4$，反正算出来就是 $10 times frac{sqrt{10-2sqrt{5}}}{4}$，化简一下就是 $frac{sqrt{10-2sqrt{5}}}{2}$。
这个数字看着怪怪的，但它是确定的。 跳出来看看圆外。弦定圆，要么圆定弦。
这些都叫“弦定圆”。
反过来，圆定弦，就是已知弦长和半径，求圆或圆心。
这时候就有点意思了。弦心距 h 如何求？还是用勾股定理。设圆心到弦的距离为 h，半径为 R，弦长为 c。构成一个直角三角形，斜边是 R，一条直角边是 h，另一条直角边是 c/2。
那么 h 就等于 $sqrt{R^2 - (c/2)^2}$。
这个公式和圆内彻底一样，只是符号不同罢了。 还有一种特殊情况，弦垂直于半径。
这时候弦心距直接就是半径的长度。
比如你要算一个半径为 10 的圆内，弦长是多少？只要知道弦垂直于半径，那弦心距就是 10。
这时候弦长就是 $2sqrt{10^2 - 10^2} = 0$？不对，这是弦长等于直径的时候。
哦，你想算的是垂直弦，那弦心距应当是 $sqrt{R^2 - (c/2)^2}$。
要是弦长是 6，半径是 10，那弦心距就是 $sqrt{100 - 9} = sqrt{91}$。
要是弦长是 8，半径是 10，弦心距就是 $sqrt{100 - 16} = sqrt{84}$。
这些数字都不整，但都是对的。 实际上啊，弦长公式之故此如此好用，是出于它把复杂的几何难题简化成了纯粹的代数运算。
不管你是画圆规、量木棍，还是做奥数题，只要记住“斜边 = 半径，直角边 = 弦心距/一半弦长”，其他就都是浮云了。
有时候我们会认定弦长公式像个数学笑话，出于它里藏着无数不可公度数，算出来全是带根号的鬼样子。但别慌，那些根号底下藏着的往往是最美的无理数。 比如一个著名的斐波那契圆。斐波那契数列是 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13... 要是取 13 和 5 作为半径，计算它们构成的圆中，弦长是多少？这是斐波那契圆里最大的弦，也就是直径。
不过斐波那契圆里，弦心距和弦长是有特殊关系的。
比如弦长 $F_n$ 和直径 $F_{n+1}$ 的关系。有个公式：$F_n^2 + F_{n-1}^2 = F_{n+1}^2$，这是勾股定理的另一个表达。
故此在圆内，弦长 $c = sqrt{F_{n+1}^2 - F_{n-1}^2} = sqrt{F_{n+1} + F_{n+1} - F_{n-1} - F_{n-1}}$？不对，直接代入弦长公式更好办：$c = 2sqrt{R^2 - h^2}$。
要是取 $R = F_{n+1}$，$h = F_{n-1}$，那 $c = 2sqrt{F_{n+1}^2 - F_{n-1}^2} = 2sqrt{F_n F_{n+2}}$。
要是 $R=F_{n+1}$，$h=F_n$，那 $c = 2sqrt{F_{n+1}^2 - F_n^2} = 2sqrt{F_{n+1}F_n}$。
你看，斐波那契数列的魅力就藏在这些无理数组合里。 还有，弦长公式在某些特殊情况下会有巧合。
比如当圆心角是 90 度时，弦长是半径的 $sqrt{2}$ 倍。当圆心角是 60 度时，弦长是半径 $sqrt{3}$ 倍。当圆心角是 120 度时，弦长是半径 $sqrt{3}$ 倍（不对，是 $sqrt{3}/2 times 2r = sqrt{3}r$？等一下，$sin(60^circ) = sqrt{3}/2$，故此 $2r sin(60^circ) = rsqrt{3}$。对的。
故此 60 度和 120 度，弦长都是 $rsqrt{3}$。
这说明正弦函数在某些角度下的值代数和了，害得弦长公式在不同圆心角下，数值规律特别规整。 别再说弦长公式复杂了。它只是勾股定理在圆里的皮肤。你只需求一双眼，一把尺子，一个圆规，就能理解它。
不需求复杂的推导，不需求背公式。
只要你心里想着“两点距离，勾股三昧”，弦长公式自然就来了。
有时候就连认定它像个老哥们儿，随时待命，只要有人来问，它就能用最朴实的方式回答。 最终总结一下，弦长公式就是 $c = sqrt{d^2 + (l/2)^2}$。$d$ 是弦心距，$l$ 是弦宽，$c$ 是弦长。
这个公式万能极了。甭管是在圆内还是圆外，甭管是正多边形还是圆外切多边形，只要涉及到两点间的距离，只要知道垂直距离要么圆心角，这个公式就是最硬的通货。它把几何的优雅藏在了代数里，让枯燥的计算变得生动起来。下次做题，看到弦长，别再翻书了，拿个公式，算个根号，心算一下，瞬间就有答案了。
这就是弦长公式的精髓，好办，直接，充满生活气息。
