大家好，今天咱们不整那些教科书里的大道理，就咱们几个玩数学的，把这立方根那点事儿唠唠。 你想啊，立方根这东西，说白了就是要把一个数“拉”回整数边。
比如 8，立方根是多少？8 立方一次是 2，那反过来想，2 的立方就是 8，故此 8 的立方根就是 2。
这就好比你做菜的时候，2 个鸡蛋加 3 个酱油等于 5 样东西的味道，反过来就说是 5 的立方根。
反过来再想，1 的立方根肯定是 1，出于 1 乘 1 乘 1 还是 1。
这个逻辑挺好办，就是正数对应正数，负数对应负数，正数对正数，负数对负数，一个对立方，一个对立方根，反正都是要凑整。 咱们再看看负数，这略微有点意思，出于负数在立方里可不能随意学实数运算，得小心。
比如 -8，它的立方根是多少啊？想啊，(-2) 乘 (-2) 乘 (-2)，那个负负得正，正正得正，结局是 8。
故此说 -8 的立方根就是 -2。
这个好记，特别是两个负号打架变成正面，再乘负数变回负数，这种节奏感挺好办记住。再比如 -1，它的立方根就是 -1，(-1) 的立方还是 -1。
要是是 -27 呢？(-3) 乘 (-3) 乘 (-3)，结局等于 -27，故此 -27 的立方根就是 -3。
只要你把数字拆成立方数块来想，负数的运算就顺了。 实际上说到立方根的性质，你根本不用死记硬背一堆复杂的定理，大量时候就靠直觉和拆解就能搞明白。就像解方程一样，只要把 $x^3 = a$ 这个式子拆开了，左边变成 $x$，右边变成 $sqrt[3]{a}$，要么反过来 $x = sqrt[3]{a}$，那关系就一目了然了。
比如 $x^3 = 64$，拆成 $x = sqrt[3]{64}$，答案就是 4。再看 $x^3 = -27$，拆成 $x = sqrt[3]{-27}$，答案就是 -3。
你看，这就把 $x^3$ 和 $sqrt[3]{x^3}$ 的关系给串起来了。 可是光知道如何算还不够，我们要看看它跟原数的关系，那性质就丰富多了。
起初是主根原则，正数的立方根是正的，负数的立方根是负的，0 的立方根是 0。
这个别看不是特别难，但它是基础，得把这条路走稳。
接着是立方与立方根的反向运算，你算出 $x^3$ 等于多少，那 $sqrt[3]{x^3}$ 就等于 $x$。
这个反过来想，也挺顺。 还有一个挺关键的性质是平方根与立方根的区别，别看有时候好办混淆，但立方根更直接。
比如 2 的立方根是 $sqrt[3]{2}$，是个无理数，没法开方，得用计算器要么分数小数表示。而 4 的立方根是 $sqrt[3]{4}$，也是无理数。但要是是 8 呢，它的立方根是 2，是个整数；要是是 16 呢，它的立方根是 $sqrt[3]{16}$，也是无理数。
故此，立方根等于整数，那这个数务必是 1 到 10 之间立方数的倍数。
比如 1（立方根 1），2（立方根 $sqrt[3]{2}$），3（立方根 $sqrt[3]{3}$），4（立方根 $sqrt[3]{4}$），5（立方根 $sqrt[3]{5}$），6（立方根 $sqrt[3]{6}$），7（立方根 $sqrt[3]{7}$），8（立方根 2），9（立方根 $sqrt[3]{9}$），10（立方根 $sqrt[3]{10}$）。对于更大的数，比如 64，立方根是 4；对于 125，立方根是 5。你会发现，只有当 $x$ 的立方数是个整数时，它的立方根才可能是整数。 再说说和平方根的关系吧，这个在二次根式里提得多，立方根里没如此频繁，但性质一样多。
比如 16 的平方根是 $pm 4$，立方根是 $sqrt[3]{16}$，约等于 2.52，不是这就得随意丢个数字。但 8 的平方根是 $pm 2sqrt{2}$，立方根是 2，这是整数，这就比较整了。 另外，还有一个比较有意思的，就是立方根的奇偶性。
这个听起来可能有点玄，实际上是为了撇脱记的。
要是正数的立方根是整数，那说明这个数能开立方成整数。
要是负数的立方根是整数，那说明这个数也是整数。而对于非整数，比如 2 的立方根，它的值大于 1 但小于 2，故此它的立方根在 (1, 2) 之间。对于 -2 的立方根，是在 (-2, -1) 之间。
这个规律有点像阶梯，你顺着立方数跑，就能知道立方根在哪段区间。 实际上讲到这里，你可能认定有点啰嗦，但立方根这东西，就是个工具，一个把数学世界从无理数拉回到整数区间的工具。你不用背长长的公式，也不用看那些枯燥的定义，只要脑子里有个 1，2，3，4，5，6，7，8，9，10 的立方数表，再加上理解负数变负数、负负得正的逻辑，就能跟立方根套上嘴。
有时候咱们做题，看到 $x^3 = a$，就脑补成 $x = sqrt[3]{a}$，心里默念“立方根”，那这道题就解开了。 最终，再提一个，就是立方根在运算中的稳定性。
比方说，$sqrt[3]{x^3} = x$ 这个等式，甭管 $x$ 是正数还是负数，一辈子成立。
这点跟平方根不同，平方根有时候会有多个解，出于 $4^2 = 16$，故此 $pm 4$。但立方根不一样，出于立方是奇函数，单调递增，一个数只对应一个立方根。
故此 $sqrt[3]{x^3}$ 绝对就是 $x$，没有任何歧义。
这点在代数变形里特别关键，能帮你避免大量符号毛病。 总的来说，立方根这东西，看似好办，实际上只要把“立方”和“立方根”的关系理顺，理解实数的正负规则，不懂无理数如何表示，这就把大局部常见的难题都解决了。
不用死记硬背那些晦涩的公式，把它当成一种直觉一来，你就彻底掌控了。希望今天这番话，能帮你把立方根这块硬骨头给啃下来，赶明儿在数学路上走得顺当。
