高中椭圆公式大全-高中椭圆公式全解

高中椭圆公式大百科 脑子里蹦出来的第一个词，应当就是椭圆。别整那些虚头巴脑的理论铺垫，直接上干货，哪怕有个别的口误，把最核心的公式拉出来。高中里椭圆这一套，核心就那几条：长轴、短轴、焦点，还有离心率。 先把坐标系建好。椭圆的标准方程不管在 x 轴还是 y 轴上，根本模样长都是一样的。写成 $x^2/a^2 + y^2/b^2 = 1$ 要么 $y^2/a^2 + x^2/b^2 = 1$ 这种格式，不管 x 轴还 y 轴，分母那个数字代表半长轴要么半短轴。
要是两个分母不一样，哪位大哪位就在长轴那边，也就是分母大，那个对应的轴长度就是 $2a$。好办说，分母大的轴就是长轴，短轴就是分母小的那个。 接下来是焦距。
这个 $2c$ 千万别漏了，它是连接两个焦点的距离。根据勾股定理，$a, b, c$ 这三者有个铁律关系，记作 $a^2 = b^2 + c^2$。
你看，这是一个等式，不是不等式。出于椭圆是椭圆的哦，不是圆也不是线段，故此 $b$ 一辈子小于 $c$，这个长度关系是硬道理。 离心率 $e$ 是这个椭圆的面子，拍板了它是个扁的还是圆的。公式挺好办，$e = c/a$。
这个值一辈子跑不到 0，最小就是 0（这时候就是圆），最大接近 1（这时候就是个超级扁的），绝不可能大于 1。
要是是圆，那 $a=b$，$c$ 也得是 0，离心率才为 0。 接下来得说说准线。椭圆有两条，分别叫左准线和右准线。它们的方程挺对称，假设焦点在 x 轴上，那分母那个数越小，对应的准线就越靠近中心，也就是靠近原点。方程形式是 $x = pm a^2/c$。好比你开车，离中心越近，对应的准线数值就越小。 下面介绍一下极坐标方程。
这个形式在考试中间或会出现，写出来不认定累。方程是 $r = frac{ep}{1 - e cos theta}$。
这里的 $e$ 就是离心率，$p$ 是半通径。
要是极坐标轴沿着 x 轴，那么当 $theta = pi$ 时，$r$ 取得最大值，这就是长轴的一半，也就是 $a$。当 $theta = 0$ 时，$r$ 取得最小值，就是 $b$。
这个极坐标方程里的 $p$，有时候也直接叫 $b^2/a$，叫法不一样，但物理意义是固定的，就是半通径。 再聊聊离心率的大小和形状的关系。$e$ 越小，椭圆越“胖”，接近圆。$e$ 越大，椭圆越“瘦”，扁得越了得。
要是 $e = 0$，那就是完美的圆。
要是 $0 < e < 1$，那就是标准的椭圆。
要是 $e > 1$，这就变成双曲线了，高中椭圆只聊聊 $e < 1$ 的情况。 黄金分割点也是个有趣的考点。在椭圆里，长轴上存有两个特殊的点，叫左黄金分割点和右黄金分割点。
这两个点把长轴分成了三段，分别是 $z$（短半轴）、$x_1$（靠近中心的左半局部）、$x_2$（靠近中心的右半局部）、$y$（长半轴）。它们的关系贼奇妙，就是 $y^2 - z^2 = x_1 x_2$。并且这三个量成等比数列，$z, x_1, x_2, y$ 这四个数要是从小到大排，那 $x_1, x_2$ 就是黄金分割点。
这个比例关系时常出目前大题里。 最终提一下那个还没被推导过的公式。别看高中课本未必天天让你背，但竞赛题里还是能见到的。椭圆里任意一点到两焦点的距离之和等于长轴长 $2a$，这是定义。欧拉恒等式 $sin A sin B + cos A cos B = cos(A-B)$ 在椭圆里也能找到简化形式，就是 $e^2 = 1 - (b/a)^2$，这个实际上在推导过程中无数次用到。 总而言之，椭圆公式好办粗暴，分母大轴长，分子小轴短，焦点距离 $2c$ 得记住，离心率 $<1$ 才是正解。
这些公式就是两根救命稻草，老老实实用，别想忒多花里胡哨的，搞懂了公式，做题目就是纯数学逻辑。