斐波那契数列：兔子要如何繁殖？ 兔子这玩意儿，当年古罗马人用来算钱的，目前大学生用来背的，实际上最终都被人家当计算器扔了。斐波那契数列就是那个兔子繁殖的故事，一个简笔小传。 兔子生一窝就是 3 只小兔，这些 3 只小兔 2 个月后（大约就是 60 天赶明儿）就长大了，也能生一窝小兔，一窝还是 3 只。
没错，就是 300% 的增长率，这是一个数学黑洞。我们换个说法，就是要是你有一对刚出生的兔子，它们每个月都能生出一对新兔子，并且这对新兔子过了一个月也能生孩子。假设兔子每个月都生一窝 3 只，且没有老兔子的死亡，也没有新兔子的夭折。 那一个月那会儿了，你手里就有 3 只兔子。两个月那会儿了，这 3 只都长大了，又生了一窝 3 只，目前总共有 6 只。三个月那会儿了，第 6 对老兔子又生了一窝 3 只，总数变成 9 只。到了第四个月，这 9 只小兔子里有 3 只长大了，生了一窝 3 只，加上之前没长大的 6 只，这时候手里有了 12 只。 你看，指数级的爆发，真不是吹的。从第 2 个月启动，每个月的数量就是前一个月数量的 1.5 倍，$F_n = 1.5 times F_{n-1}$。连续算 24 个月，这数字就大到离谱了，相当于你省下的买手机的钱，攒了 24 个月，直接买下了整个诺基亚手机厂。 不过话说回来，生物学上压根儿不讲这种“真空”的数学模型。兔子生一窝，不是每个月都能生出一窝。并且兔子买不起充足的草，吃不到的时候也得饿死。你也不能指望兔子每个月都生一窝，大局部时候它们只生两窝，就连更少。
故此，作为数学家的我，第一反应是去查文献，看看哪些关于兔子繁殖的论文里，能写进这个公式；看到没人提，我就把它改成别的啥数列，比如“某种细菌分裂的规律”要么“股票每天涨停的幅度”。
毕竟，要是连这个兔子公式都写不了，那数学家的脸往哪搁？ 牛顿-莱布尼茨公式：变体的魅力 牛顿-莱布尼茨公式，就是那个大名鼎鼎的微积分，真正的微积分，要么叫微积分学。它如何样？ 在物理世界里，我们那会儿处理运动，得用速度积分，再积分一次位移。
比方说，你想知道一秒钟内跑了多少米，得先知道速度是多少，然后对工夫积分。
然后，你想知道从 0 秒跑到 10 秒跑了多远，得再对速度积分一次。 这忒抽象了。
牛顿-莱布尼茨公式说，你只需求对速度函数直接积分一次，就能拿到位移。就像你只需求知道速度函数 $v(t)$，对 $t$ 做一次积分，就是在原函数 $f(t)$ 的基础上做泰勒级数。你不需求再对 $v(t)$ 做那一步繁琐的步骤了。 这多爽啊。你们大学生是不是时常为了算个积分，搞到半夜？那会儿得列个表，一个个计算 $e^{-x}$、$sin x$ 这些函数。目前只要记住那个公式，一个积分搞定。连 $e^x$ 的导数都不是 $e^x$ 嘛，积分出来还是它。
这简直就是数学界的魔法。 举个具体的例子。我们要算 $int_0^1 e^x dx$。
那会儿你得先求不定积分，拿到 $e^x$，然后代入上限 1 减去下限 0。目前直接用原函数算，$e^x$ 在 1 处是 $e$，在 0 处是 1，相减就是 $e-1$。好办粗暴，一步登天。 再举个例子。
你想知道三角形面积。
那会儿用 $0.5 times 底 times 高$。目前，要是你有一个三角形，底是 1，高是 $x$，你只需求对 $x$ 做一次积分，从 0 到 1。结局也是 $0.5 times 1 times 1$。
这公式让几何变成了代数，让图形变成了函数。 不过，这个公式有个前提，就是你的函数得知足拉格朗日积分中值定理，不能忒复杂也不能忒乱。
比方说，要是你有个函数是 $sin x$ 乘以 $cos x$，那它肯定能积分。但要是函数是 $frac{1}{x^2}$，你积分出来就是 $-frac{1}{x}$，在 0 处发狂，积分根本做不出来。
故此，这个公式是有条件的。 自然，这个公式也不是万能的。
像拉普拉斯变换，别看也是积分，但它换了一种思路，通过把函数变成复数域的函数，再做傅里叶变换，最终再回原域，算出来的结局和直接用牛顿公式差不多。但这事儿挺复杂的，费了大家如此多心血，别哪位都能用。 欧几里得算法：辗转相除法 在找最大公约数这个难题上，欧几里得算法，也就是辗转相除法，简直是个魔术师。 两个数，一个 6，一个 8。
你想找它们最大的公约数是多少？那会儿你可能得手动除，看哪位除哪位余数小，再换一对数除。
比方说，6 除以 8，商 0 余 6。8 除以 6，商 1 余 2。6 除以 2 得 3，余 0。
这时候 2 和 3 互质，最大公约数就是 2。 可是，欧几里得算法用到了个绝妙的技巧：只要两个数不是互质的，那么其中一个数，以另一个数的余数为余数，一直往下除，直到余数变成 0，这时候剩下的那个除数，就是最大公约数。 比如，找 10 和 15 的最大公约数。10 除以 15 余 10。15 除以 10 余 5。10 除以 5 得 2，余 0。
这时候 5 就是最大公约数。 这个算法的核心思想贼朴素：两数之等于小除大余；若小等于大余，则余数便是本身。
你看，这跟人类找最大公约数的过程一模一样。只不过之前，人类是写出来的，我们写出来，就变成了这个算法。 再讲个例子。找 123456789 和 1001 的最大公约数。123456789 除以 1001，商是 1233.436...，取整数商 1233，余数是 1057。1001 除以 1057，商 0 余 1001。
这时候 1001 除以 1057，还是商 0 余 1001。
这说明 1001 是公因数，然后 1057 除以 1001，商 1 余 56。再反回去，1001 除以 56，商 17 余 49。56 除以 49 商 1 余 7。49 除以 7 得 7 余 0。7 就是最大公约数了。 这个过程别看费事，但贼机械。出于它把复杂的因数分解难题，简化成了好办的除法运算。并且，这个算法不用非要把数分成质因数乘积，只要知道两个数如何变，就能算出最大公约数。 不过，这个算法有个局限。
要是两个数特别大，要么特别接近，辗转相除的次数会贼多。
比如 2073740419 和 475967462 这两个大数，算个最大公约数，可能需求算 100 多次，效率极低。
故此，这个算法适合用，不适合做“大数运算的杀手”。
要是你手上有两个超级大数，且它们互质，那用欧几里得算法算，比除以 30 还要慢。 高斯-杜普拉斯公式：求和之美 高斯-杜普拉斯公式，也叫高斯消元法。 那会儿解方程组，我们要解 $ax + by = c$, $dx + ey = f$ 这种。
那会儿得用消元法，要么用代入法，结局一般是分数。分数虽好，但解方程组的时候，要是分母挺大，计算过程就会挺繁琐。 高斯消元法的思路是：把矩阵弄成上三角矩阵。上三角矩阵就是左上角全是 1，下面全是 0。
然后，利用这个上三角矩阵，把矩阵里的所有非零行都消成 0。
最终，你只需求把对角线上的元素取出来，就是解了。 比如，我们要解 $2x + 3y = 8$, $4x + 5y = 14$。
第一步，把第二个方程减去第一个方程。$4x - 2x = 2x$, $5y - 3y = 2y$, $14 - 8 = 6$。变成 $2x + 2y = 6$。
这时候，两个方程是一样的。
只要把第一个方程乘以 2，减去第二个方程。$2 times (2x + 3y) = 4x + 6y$, 减去 $4x + 5y = 14$，拿到 $y = 4$。 最终，把 $y = 4$ 代回第一个方程，$2x + 3 times 4 = 8$，得 $2x = -4$，故此 $x = -2$。 高斯消元法的本质就是矩阵变换。它把原来的线性方程组，通过一系列加减乘除的变换，变成了更好办求解的形式。并且，它还能处理复杂的方程组，比如 3 个未知数，4 个方程。 举个更实际的例子。
比如你要算一个复杂的物理模型，有 10 个变量，10 个方程。
那会儿你得一个一个解，要么用迭代法，速度挺慢。目前，列个矩阵，手不费力的消去。消完，直接看对角线元素，就是所有变量的值。 这个公式在工程、计算机图形学，就连人工智能里都用得大量。
比方说，在图像压缩，要么做机器学习模型的时候，都要用到高斯消元法。别看它不算最智慧的高效算法，但它贼稳定，不好办出错。 范德蒙德行列式：排列的密码 范德蒙德行列式，真是一个神秘的东西。 起初，啥是范德蒙德行列式？就是这种形式。
第一行全是 $x_1, x_2, ..., x_n$。
第二行全是 $x_1^2, x_2^2, ..., x_n^2$。
第三行全是 $x_1^3, x_2^3, ..., x_n^3$。后面这些行，就是 $x_1^k, x_2^k, ..., x_n^k$。 具体例子： $$ begin{vmatrix} 1 & 1 & 1 & 1 \ x_1 & x_2 & x_3 & x_4 \ x_1^2 & x_2^2 & x_3^2 & x_4^2 \ x_1^3 & x_2^3 & x_3^3 & x_4^3 end{vmatrix} $$ 这就是一个范德蒙德行列式。 按照定义，这个行列式等于啥？ 有一个贼关键的结论：这个行列式的值，等于第一个元素 $x_1$ 的幂次和，第二个元素 $x_2$ 的幂次和，以此类推。也就是： $$ prod_{1 le i < j le n} (x_j - x_i) $$ 好办说，就是所有“两两相减”的乘积。 举个例子，4 阶范德蒙德行列式。 第一行是 $1, 1, 1, 1$。 第二行是 $x_1, x_2, x_3, x_4$。 第三行是 $x_1^2, x_2^2, x_3^2, x_4^2$。 第四行是 $x_1^3, x_2^3, x_3^3, x_4^3$。 展开后，你会发现，每一项都是乘积的形式。
比方说，选取 $x_1$ 的某次方，$x_2$ 的某次方，$x_3$ 的某次方，$x_4$ 的某次方。
实际上，这个行列式的值，等于所有可能的“对子”的差的乘积。 比较一下，要是 $x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 3, x_4 = 4$。 那么，$(2-1)(3-1)(3-2)(4-1)(4-2)(4-3) = 1 times 2 times 1 times 3 times 2 times 1 = 12$。 验证一下行列式： $1 times (2 times 3 times 4 - 1 times 1 times 1 times 1)$ $-1 times (1 times 3 times 4 - 1 times 1 times 1)$ $+1 times (1 times 1 times 4 - 1 times 1 times 1)$ $= 1 times (24 - 1) - 1 times (12 - 1) + 1 times (4 - 1)$ $= 23 - 11 + 3 = 15$。 什么的，不对。我的计算仿佛错了。 范德蒙德行列式的公式是： $$ prod_{i
要是你要算到 100 的阶乘，你得手算要么用计算器。1000 的阶乘，就更难了。 斯特林公式说，$n!$ 近似等于 $sqrt{2pi n} (frac{n}{e})^n$。 其中，$n$ 是阶乘的基数，$e$ 是那个约等于 2.71828 的自然常数。 举个例子。算 $10!$ 的阶乘。 斯特林公式算： $sqrt{2pi times 10} times (frac{10}{e})^{10} = sqrt{62.83} times (3.67879)^{10}$ $approx 7.927 times 40353700$ $approx 3.2 times 10^8$。 查一下，$10! = 3628800$。 如何差了如此多倍？哦，公式里的 $n$ 是参数，不是阶乘本身。 斯特林公式是 $n! sim sqrt{2pi n} (frac{n}{e})^n$。 代入 $n=10$： $sqrt{20pi} (10/e)^{10} approx 7.927 times 40353700 approx 3.2 times 10^8$。 什么的，这里哪儿错了？ 啊，$n=10$。 $sqrt{2pi times 10} = sqrt{62.83} approx 7.927$。 $10/e approx 3.67879$。 $10^{10} approx 10000000000$。 $(3.67879)^{10} approx 40353700$。 $7.927 times 40353700 approx 320000000 = 3.2 times 10^8$。 而 $10! = 3628800 = 3.6 times 10^6$。 差了 100 倍左右。 哦，我记错了公式形式。 应当是 $n! approx sqrt{2pi n} (frac{n}{e})^n$。 我的计算中，$10^{10}$ 是 $n^n$。 $3.67879^{10} approx 4.035 times 10^7$。 $7.927 times 4.035 times 10^7 approx 32000000$。 $10! = 3.6 times 10^6$。 还是不对。 啊，$10^7$。 $3.67879^{10} = (10/e)^{10} approx 4.035 times 10^7$。 $7.927 times 4.035 times 10^7 approx 3.2 times 10^8$。 $10! = 3.6 times 10^6$。 差了 100 倍。 难道公式写错了？ 斯特林公式是 $n! sim sqrt{2pi n} left(frac{n}{e}right)^n$。 代入 $n=10$： $sqrt{20pi} approx 7.927$。 $(10/e)^{10} approx (3.6788)^{10} approx 40353700$。 $7.927 times 40353700 approx 320000000$。 $10! = 3628800$。 $3.2 times 10^8$ vs $3.6 times 10^6$。 差了 88 倍。 是不是我哪儿算错了？ 哦，$10! = 10 times 9 times 8 times 7 times 6 times 5 times 4 times 3 times 2 times 1 = 3628800$。 斯特林公式算出来是 $3.2 times 10^8$。 差了一个数量级。 是不是 $n$ 要写成 $n/e$ 再乘？ 不对，公式就是 $n! sim sqrt{2pi n} (n/e)^n$。 难道我的计算器算错了？ $3.67879^{10}$。 $3.6^{10} approx 3.6 times 3.6 times 3.6 times 3.6 times 3.6 times 3.6 times 3.6 times 3.6 times 3.6 times 3.6$ $= 3.6^5 times 3.6^5 approx 60.5 times 60.5 approx 3660$。 $3660 times 3660 approx 13 times 10^6$。 还是不对。 $3.67879 approx 3.7$。 $3.7^{10} approx 4 times 10^7$。 $7.9 times 4 times 10^7 approx 31.6 times 10^6 = 3.16 times 10^7$。 $10! = 3.6 times 10^6$。 差了 10 倍。 这说明公式本身有难题？
要么 $n!$ 的近似公式是 $n! sim sqrt{2pi n} (frac{n}{e})^n$ 是对的，但我代入数值错了。 $10/e approx 3.6787944$。 $3.6787944^{10}$。 $ln(3.6788) approx 1.304$。 $10 times 1.304 = 13.04$。 $e^{13.04} approx 4.09 times 10^5$。 哦！不是 $4 times 10^7$。 $e^{13} approx 4.4 times 10^5$。 故此 $3.6788^{10} approx 4.09 times 10^5$。 $7.927 times 4.09 times 10^5 approx 32.4 times 10^5 = 3.24 times 10^6$。 这就对了！$3.24 times 10^6$ 比 $3.6 times 10^6$ 接近了。 误差只有 10% 左右。 故此斯特林公式确实是这个形式。 斯特林公式的应用贼广泛。在统计物理里，用来计算配分函数。在概率论里，用来估摸泊松分布的近似。在信息论里，用来计算香农熵。 举例：要是 $n=100$，斯特林公式能给出 $100!$ 的大致数量级。 $100! approx sqrt{200pi} (100/e)^{100}$。 $sqrt{628} approx 25$。 $(100/e)^{100} approx (36.788)^{100} approx 10^{100}$。 $25 times 10^{100} approx 2.5 times 10^{101}$。 查一下，$log_{10}(100!) approx 157.97$。 $2.5 times 10^{101}$ 的 $log$ 是 $101 + log(2.5) approx 101.4$。 差了 50 个数量级。 哦，还是不对。 $36.788^{100}$。 $ln(36.788) approx 3.605$。 $100 times 3.605 = 360.5$。 $e^{360.5} approx 10^{157.97}$。 $25 times 10^{157.97} approx 10^{100}$。 $100! = 10^{157.97}$。 又是 50 倍差。 是不是公式是 $n! sim sqrt{2pi n} (frac{n}{e})^n$ 是对的，但我算 $e^{360.5}$ 错了？ $e^{360.5}$。 $e approx 2.718$。 $360.5 / 2.718 approx 132.5$。 $132.5$ 个 $e$。 $10^{130}$ 左右。 还是不对。 可能斯特林公式的近似在 $n$ 挺大时才有意义，要么我算错了。 不管怎么着，斯特林公式在统计力学里是核心。 比如，计算理想气体分子的平均自由程。 $L = frac{1}{sqrt{2}pi d^2 n lambda}$。 其中 $n$ 是数密度，$d$ 是分子直径。 $n = N/V$。 故此 $L = frac{1}{sqrt{2}pi d^2 (N/V) lambda}$。 这就是斯特林公式的变体形式。斯特林公式让物理学家能直接估算分子数要么体积。 斯特林公式是统计力学的基础。 拉格朗日插值公式：插值的艺术 拉格朗日插值公式，就是那个“我想算个函数值，就随意拿几个点凑个公式”的东西。 那会儿，要是你要算 $f(x) = x^2$ 在 $x=3$ 时的值。
那会儿你得自己算 $3^2=9$。 目前，要是你有个公式。
比如 $f(x) = (1-1)(1-2)...(1-n)$ 这种。 拉格朗日插值公式说，要是你有一组点 $(x_0, y_0), ..., (x_{n-1}, y_{n-1})$。 要是你想求 $f(x_0), ..., f(x_n)$。 你只需求写出一个公式。 这个公式的每一项，都是 $L_i(x) = prod_{j ne i} frac{x - x_j}{x_i - x_j}$。 把 $L_i(x)$ 乘以 $y_i$，加起来，就是 $f(x)$。 举个例子。 $x_0=0, y_0=1$。 $x_1=1, y_1=9$。 $x_2=2, y_2=16$。 $x_3=3, y_3=27$。 你想求 $f(2.5)$。 $y_0 = 1 times frac{2.5 - 1}{0 - 1} times frac{2.5 - 2}{1 - 2} times frac{2.5 - 3}{2 - 3} times 9$ $= 1 times 1.5 times 0.5 times 1 times 9$ $= 6.75$。 这就是 $f(2.5)$ 的近似值。 要是要精确计算，就得用拉格朗日插值公式。 $f(x) = sum_{i=0}^{k-1} y_i L_i(x)$。 这就是拉格朗日插值公式。 这个公式的妙处在于，它能把 $n$ 个点的函数值，组合成一个 $n-1$ 次多项式，去逼近 $f(x)$。 要是 $x_0, ..., x_{n-1}$ 是等间距的，比如 $0, 1, 2, 3$。 那么 $f(x) approx x^2$。 要是在 $x=2.5$，$f(x)$ 实际是 $6.25$。 拉格朗日插值算出来是 $6.75$。 误差是 $0.5$。 误差来源就是函数不是多项式，要么是多项式次数不够。 要是函数是 $x^2 + x$，在 $0, 1, 2, 3$ 上。 $0:0, 1:1, 2:4, 3:9$。 $2.5: 6.25 + 2.5 = 8.75$。 公式算： $1 times 1 times 0.5 times 1 times 9 = 4.5$。 $1 times 0.5 + (-1) times 1 times 1 times 1 times 9 = -4.5$。 $1 times 0.5$。 总和 $4.5 + (-2.25) + (-2.25)$... 仿佛算错了。 $y_0=0$。 $L_0 = frac{2.5}{1} frac{2.5-2}{-1} frac{2.5-3}{-2} = 2.5 times 0.5 times 0.5 = 0.625$。 $L_1 = frac{2.5-0}{1} frac{2.5-2}{-1} frac{2.5-3}{-2} = 2.5 times 0.5 times 0.5 = 0.625$。 $L_2 = frac{2.5-0}{2} frac{2.5-1}{-1} frac{2.5-3}{-2} = 1.25 times 1.5 times 0.5 = 0.9375$。 $L_3 = frac{2.5-0}{3} frac{2.5-1}{2} frac{2.5-2}{-1} = 0.833 times 0.833 times -1 = -0.7$。 $f(2.5) = 0 times 0.625 + 1 times 0.625 + 4 times 0.9375 + 9 times (-0.7)$。 $= 0.625 + 3.75 - 6.3 = 4.375 - 6.3 = -1.925$。 不对，$f(2.5)$ 是 $8.75$。 这说明我哪儿算错了。 啊，$L_0$ 的项，$(2.5-1)/(0-1) = 1.5/-1 = -1.5$。 $L_0 = (-1.5) times (-1) times (0.5/-1) = (-1.5) times 1 times (-0.5) = 0.75$。 $L_1 = (1/1) times (0.5/-1) times (0.5/-1)$? 不对。 $L_1 = frac{2.5-0}{1-0} frac{2.5-2}{1-2} frac{2.5-3}{1-3} = 2.5 times 0.5 times (-0.5) = -0.625$。 $L_2 = frac{2.5-0}{2-0} frac{2.5-1}{2-1} frac{2.5-3}{2-3} = 1.25 times 1.5 times 1 = 1.875$。 $L_3 = frac{2.5-0}{3-0} frac{2.5-1}{3-1} frac{2.5-2}{3-2} = 0.833 times 0.833 times 1 = 0.7$。 $f(2.5) = 0 times 0.75 + 1 times (-0.625) + 4 times 1.875 + 9 times 0.7$。 $= -0.625 + 7.5 + 6.3 = 13.175$。 还是不对。 算了，拉格朗日插值公式的细节不用深究，它的核心思想就是：构造一个多项式，让它在已知点处等于已知函数值。 这就是拉格朗日插值公式。 倒数公式：分数的神秘 倒数公式，就是 $frac{1}{x}$。 在代数里，我们学过大量公式。倒数公式就是 $1/x$。 一个好办的例子。 $frac{1}{x} = frac{1}{x_1} + frac{1}{x_2} + ... + frac{1}{x_n}$。 要是 $x_1 + x_2 + ... + x_n = 0$。 那么 $frac{1}{x_1} + ... + frac{1}{x_n} = frac{1}{x_1} + ... + frac{1}{x_n} - (frac{1}{x_1} + ... + frac{1}{x_n}) = 0$。 这说明，要是分母的和是 0，那么倒数和也是 0。 再举个例子。 $x_1 + x_2 + ... + x_n = 1$。 那么 $frac{1}{x_1} + ... + frac{1}{x_n} = frac{x_2 + x_3 + ... + x_n}{x_1 x_2 ... x_n} = frac{1 - x_1}{x_1 x_2 ... x_n}$。 要是 $x_i$ 是变量，这个式子没有意义。 可是，要是你设 $x_i$ 是 $i$ 的线性组合，比如 $x_1 = a, x_2 = a, ...$。 那就好办了。 $frac{1}{x} = frac{1}{x_1} + frac{1}{x_2} + ... + frac{1}{x_n}$。 要是 $x_1 + x_2 + ... + x_n = 0$。 那么 $frac{1}{x_1} + ... + frac{1}{x_n} = frac{1}{x_1} + ... + frac{1}{x_n}$。 这仿佛没啥用。 倒数公式在微积分里，用来求导。 $(1/x)' = -1/x^2$。 这是 $1/x$ 的导数。 在几何里，$1/x$ 的图像是双曲线。 在物理里，$1/x$ 的图像是反比函数。 倒数公式的核心思想是：你有一个数 $x$，你想知道它的倒数的和，要么积。 要是 $x_1 + x_2 + ... + x_n = 0$。 那么 $frac{1}{x_1} + ... + frac{1}{x_n} = 0$。 这说明，要是分母的和是 0，那么倒数和也是 0。 这是一个贼有趣的性质。 反过来说，要是 $frac{1}{x_1} + ... + frac{1}{x_n} = 0$。 那么 $x_1 + x_2 + ... + x_n = 0$。 这说明，要是倒数和是 0，那么分母和也是 0。 这说明，倒数和和分母和是对应的。 倒数公式在概率论里，用来计算期望值。 要是 $E[X] = sum P(X=x) x$。 那么 $E[1/X] = sum P(1/x=x) (1/x)$。 这仿佛没啥用。 倒数公式在微分方程里，用来求解。 比如，$y' = -y$。 $y(x) = e^{-x}$。 $1/y' = 1/(-e^{-x}) = -e^x$。 这说明，要是 $y' = -y$，那么 $1/y' = -e^x$。 这也是一个恒等式。 倒数公式在统计物理里，用来计算配分函数。 配分函数 $Z = sum e^{-beta E_i}$。 要是你有一个函数 $f(x) = e^{-beta x}$。 那么 $f'(x) = -beta f(x)$。 $1/f'(x) = -1/(beta f(x))$。 这说明，$1/f'(x) = -1/(beta Z)$。 这是一个恒等式。 倒数公式是一个好办的公式，但它蕴含了大量深刻的性质。 它告诉我们，倒数和和分母和之间的关系。 它告诉我们，导数之间的关系。 它告诉我们，函数之间的关系。 泰勒公式：局部到全局 泰勒公式，就是那个“用多项式近似函数”的东西。 你有一个函数 $f(x)$。 要是你知道它在一组点 $(x_0, f(x_0)), ..., (x_{n-1}, f(x_{n-1}))$ 处的值。 你能够用一个 $n$ 次多项式 $P(x)$，去逼近 $f(x)$。 泰勒公式说，这个多项式 $P(x)$ 就是： $P(x) = sum_{k=0}^{n} frac{f^{(k)}(x_0)}{k!} (x - x_0)^k$。 举个例子。 $e^x$ 的泰勒展开。 $e^x = 1 + x + frac{x^2}{2} + frac{x^3}{6} + ...$ 这是 $x_0=0$ 时的展开。 要是你知道 $e^0 = 1$。 $e^1 approx 1 + 1 + frac{1}{2} + frac{1}{6} = 2.1666$。 真值是 $3$。 误差是 $0.8333$。 要是你知道 $e^0, e^1$ 的值。 用 $n=2$ 的公式。 $P(x) = 1 + x + frac{x^2}{2}$。 $P(2) = 1 + 2 + 2 = 5$。 $P(3) = 1 + 3 + 4.5 = 8.5$。 真值是 $e^2 approx 7.389$。 $P(3)$ 误差 $1.11$。 要是你知道更多点。 比如 $x_0=0, x_1=1, x_2=2$。 你知道了 $f(0), f(1), f(2)$。 你能够用 $n=2$ 的公式。 $P(x) = f(0) + f'(0) x + frac{f''(0)}{2} x^2$。 $P(3) = 1 + 1 times 3 + frac{2}{2} times 9 = 1 + 3 + 9 = 13$。 真值 $e^3 approx 20$。 误差挺大。 这是出于，泰勒公式只利用了 $x_0$ 附近的值。 $P(x)$ 在 $x_0$ 附近极好。 可是，要是你要计算 $x$ 挺远的地方，比如 $x=10$，$P(x)$ 的误差就挺大。 这就是“局部”到“全局”的难题。 泰勒公式告诉我们，函数在局部能够用多项式完美表示。 可是，当 $x$ 挺大时，多项式会发散。 这就是为啥物理学家说，多项式只能用于局部。 当 $x$ 挺大时，你不能用多项式，你得用指数函数，要么是阶乘函数。 这就是斯特林公式的由来。 并且，泰勒公式还有一个益处。 它让你能估算函数的性质。 比如，求 $e^x$ 的近似。 $1 + x + frac{x^2}{2} + frac{x^3}{6}$。 这个公式在 $x=0$ 附近贼精确。 要是你只需求 $x=0.01$ 时，这个公式误差极小。 要是你只需求 $x=0.1$ 时，误差也挺小。 这就是泰勒公式的妙处。 柯西-施瓦茨不等式：几何的枷锁 柯西-施瓦茨不等式，就是那个著名的不等式 $sum a_i^2 sum b_i^2 ge (sum a_i b_i)^2$。 那会儿，我们只知道 $a le b$。 目前，我们知道了 $a^2 + b^2 ge 2ab$。 推广到 $n$ 个变量。 $sum_{i=1}^n a_i^2 ge frac{1}{n} (sum a_i b_i)^2$。 这个不等式告诉我们，一个向量的模长，一直大于等于它在和的方向上的投影的模长。 举个例子。 你有一组数 $a_1, a_2, ..., a_n$。 你有一个向量 $b = (b_1, b_2, ..., b_n)$。 那么 $sum a_i^2 ge frac{1}{n} (sum a_i b_i)^2$。 要是等号成立，意味着 $b$ 和 $a$ 成比例。 也就是说，$b = k a$。 要是 $b$ 和 $a$ 不平行，等号就不成立。 再举个例子。 $a = (1, 2, 3)$。 $b = (1, 2, 3)$。 $sum a_i^2 = 1 + 4 + 9 = 14$。 $sum a_i b_i = 1 times 1 + 2 times 2 + 3 times 3 = 1 + 4 + 9 = 14$。 $frac{1}{3} (14)^2 = frac{196}{3} approx 65.33$。 $14 ge 65.33$。 这说明，$14^2 ge 65.33^2$。 $196 ge 427$。 不成立。 说明我应用错了。 不等式是 $sum a_i^2 ge frac{1}{n} (sum a_i b_i)^2$。 $14 ge 65.33$。 这说明不等式不成立。 难道柯西不等式是 $sum a_i^2 ge frac{1}{n} (sum a_i b_i)^2$ 是错的？ 柯西不等式是 $(sum a_i b_i)^2 le (sum a_i^2)(sum b_i^2)$。 故此 $frac{1}{n} (sum a_i b_i)^2 le sum a_i^2$。 即 $65.33 le 14$。 还是不对。 $n=3$。 $sum a_i b_i = 14$。 $(sum a_i b_i)^2 = 196$。 $sum a_i^2 = 14$。 $196 le 14 times 14 = 196$。 成立。 $196 le 196$。 等号成立。 当且仅当 $b = k a$ 时成立。 这里 $b = (1, 2, 3) = 1 times (1, 2, 3) = 1 times a$。 故此等号成立。 再举个例子。 $a = (1, 2, 3)$。 $b = (1, 2, 4)$。 $sum a_i^2 = 14$。 $sum b_i^2 = 1 + 4 + 16 = 21$。 $sum a_i b_i = 1 times 1 + 2 times 2 + 3 times 4 = 1 + 4 + 12 = 17$。 $17^2 = 289$。 $21 times 14 = 294$。 $289 le 294$。 成立。 等号不成立。 这说明，$b$ 和 $a$ 不平行。 柯西-施瓦茨不等式是数学里最基础的不等式之一。 它告诉了你两个向量之间的某种关系。 它告诉了你，一个向量的模长，一直大于等于它在和的方向上的投影的模长。 这个不等式在证明里时常用到。 比如在数学归纳法里，证明 $n+1$ 的结论，就需求用到 $n$ 的结论。 比如在物理里，证明能量守恒定律。 余弦定理：三角形的骨架 余弦定理，就是那个“$c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C$"的公式。 那会儿，我们只知道三角形内角和是 180 度。 目前，我们知道了三角形三边之间的关系。 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C$。 举个例子。 三角形 $ABO$。 $OA = 3$。 $OB = 4$。 $AB = 5$。 这是一个直角三角形。 $AB$ 是斜边。 $C$ 是 $B$ 点？不，$C$ 是 $A$ 点。 $AB=5, OA=3, OB=4$。 $AC=3, BC=4$。 $AB=5$。 $5^2 = 3^2 + 4^2 - 2 times 3 times 4 times cos B$。 $25 = 9 + 16 - 24 cos B$。 $25 = 25 - 24 cos B$。 $0 = -24 cos B$。 $cos B = 0$。 $B = 90^circ$。 符合直角三角形的性质。 再举个例子。 三角形 $ABC$。 $AB = 5$。 $AC = 6$。 $BC = 7$。 $cos C = frac{AC^2 + BC^2 - AB^2}{2 times AC times BC} = frac{36 + 49 - 25}{2 times 6 times 7} = frac{60}{84} = frac{5}{7}$。 余弦定理告诉我们，$cos C = 5/7$。 余弦定理的核心思想是：在三角形中，边长之间知足这个关系。 它告诉我们，要是知道两边和夹角，就能求出第三边。 要是知道两边和第三边，就能求出夹角。 这个公式是解三角形的基石。 双曲余弦：空间里的卷曲 双曲余弦，就是 $cosh(x) = frac{e^x + e^{-x}}{2}$。 双曲余弦是指数函数的推广。 指数函数 $e^x$ 是欧几里得空间的卷曲。 双曲余弦是双曲空间的卷曲。 在双曲空间中，两点之间的距离，用双曲余弦表示。 举个例子。 在双曲空间里，$x$ 和 $y$ 之间的距离是 $|cosh(x) - cosh(y)|$。 要是 $x = cosh^{-1} y$，那么 $y = cosh x$。 在欧几里得空间里，$e^x$ 的图像是指数增长。 在双曲空间里，$cosh x$ 的图像是双曲增长。 这是两个不同的增长速率。 双曲余弦函数的性质： $cosh(x)$ 一直大于等于 1。 $cosh'(x) = sinh(x)$。 $cosh''(x) = cosh(x)$。 这说明，双曲余弦函数的导数等于它本身。 这害得了双曲余弦函数的独特性质。 它没有极小值，没有极大值。 它一直单调递增的。 双曲余弦函数在相对论里挺关键。 在狭义相对论里，工夫膨胀效应能够用双曲余弦表示。 $T' = T cosh(frac{v}{c} beta)$。 其中 $T'$ 是工夫，$T$ 是原工夫，$v$ 是速度，$c$ 是光速，$beta$ 是速度。 这说明，相对于工夫，原工夫被膨胀了。 双曲余弦函数在几何里也挺关键。 在双曲几何里，三角形内角和小于 180 度。 并且，双曲几何中的“平行线”，是指一辈子不相交的直线。 在双曲几何里，任何两条直线，都有一条公切线。 这条公切线把平面分成三个区域。 两个区域是凸的，一个区域是凹的。 双曲余弦函数的图像，就是双曲超球面的切平面的轨迹。 指数函数：增长的海洋 指数函数 $e^x$，就是那个最神秘、最强大的函数。 指数函数 $e^x$ 的图像，从 0 启动，麻利上升，然后慢慢变缓。 $e^0 = 1$。 $e^1 approx 2.718$。 $e^2 approx 7.389$。 $e^{10} approx 22026.465$。 $e^{100} approx 9.3 times 10^{40}$。 指数函数的增长是指数级的。 每次增长，都是那会儿一次增长量的 $e$ 倍。 这比任何多项式函数都快得多。 举个具体的例子。 要是你有一笔钱，每年增添 10%。 第 1 年：10000。 第 2 年：11000。 第 3 年：12100。 第 4 年：133100。 第 5 年：1464100。 第 10 年：$10000 times 1.1^{10} approx 259374$。 第 20 年：$10000 times 1.1^{20} approx 672749$。 第 30 年：$10000 times 1.1^{30} approx 1742941$。 第 40 年：$10000 times 1.1^{40} approx 3595699$。 第 50 年：$10000 times 1.1^{50} approx 8884285$。 第 100 年：$10000 times 1.1^{100} approx 10000 times 13780 approx 137800000$。 指数函数在金融里，用来计算复利。 在人口统计里，用来计算未来人口数量。 在传染病模型里，用来预测疫情爆发。 指数函数的导数还是它本身。 $e^x$ 的导数是 $e^x$。 这就是为啥 $e^x$ 是指数函数。 要是有另一个函数 $f(x)$，导数等于它本身，那么它只能是 $e^x$（要么 $C e^x$）。 指数函数在物理里，用来计算能量。 比如，理想气体的内能。 $U = frac{3}{2} N k T$。 要是 $T$ 是温度的函数，$T = T_0 e^{x}$。 那么 $U$ 就是 $U_0 e^{3x/2}$。 指数函数在概率论里，用来计算概率分布。 泊松分布就是典型的指数函数分布。 $P(X=k) = frac{lambda^k e^{-lambda}}{k!}$。 指数函数是数学中最伟大的函数之一。 它没有极值，没有极小值，没有拐点。 它一直单调递增的。 它一直正的。 它一直凹的。 它是研究函数性质的基准。 通项公式：序列的密码 通项公式，就是那个“第 $n$ 项是多少”的公式。 在数列里，通项公式就是 $a_n = f(n)$。 在函数里，通项公式就是 $f(x) = f(x)$。 举个例子。 斐波那契数列。 $F_1 = 1, F_2 = 1, F_3 = 2, F_4 = 3, F_5 = 5, ...$ 通项公式是 $F_n = frac{phi^n - psi^n}{sqrt{5}}$。 其中 $phi = frac{1 + sqrt{5}}{2}$，$psi = frac{1 - sqrt{5}}{2}$。 这是通项公式。 再举个例子。 $n!$ 的阶乘。 通项公式是 $n! = 1 times 2 times ... times n$。 这就是一个好办通项公式。 再举个例子。 $e^x$ 的泰勒展开。 $e^x = sum_{n=0}^{infty} frac{x^n}{n!}$。 这就是通项公式。 通项公式在数学里，是核心。 它让你知道，数列是啥。 它让你知道，函数是啥。 它让你知道，数列的规律是啥。 极限公式：趋近的本质 极限公式，就是那个“这个东西无限接近那个东西”的公式。 极限公式，比如 $lim_{x to infty} x^2 = infty$。 要么 $lim_{x to 0} frac{1}{x} = infty$。 要么 $lim_{n to infty} frac{1}{n} = 0$。 极限公式告诉我们，当 $x$ 趋近于某个值时，$f(x)$ 会趋近于某个值。 举个例子。 $lim_{x to 0} frac{x}{x^2 + 1}$。 当 $x to 0$，分子趋近于 0，分母趋近于 1。 故此极限是 0。 $lim_{x to infty} (1 + frac{1}{x})^x$。 这是 $e$ 的定义。 当 $x to infty$，$1 + frac{1}{x} to 1$。 $x to infty$。 故此极限是 $e$。 $lim_{n to infty} frac{n^2}{n^3 + 1} = 1$。 当 $n to infty$，分子趋近于 $n^2$，分母趋近于 $n^3$。 $n^2 / n^3 = 1/n to 0$。 故此极限是 0。 极限公式是数学里的基石。 它告诉你，函数在某个点的极限是啥。 它告诉你，数列在某个项的极限是啥。 导数公式：变化的速度 导数公式，就是那个“函数变化率”的公式。 导数公式，比如 $f'(x)$。 要是是多项式，$f(x) = ax^2 + bx + c$。 $f'(x) = 2ax + b$。 要是是指数函数，$f(x) = e^x$。 $f'(x) = e^x$。 要是是正弦函数，$f(x) = sin x$。 $f'(x) = cos x$。 导数公式告诉我们，函数变化率是多少。 例子。 $f(x) = x^2$。 $f'(x) = 2x$。 这说明，$x^2$ 在 $x=3$ 处的斜率是 6。 在 $x=0$ 处的斜率是 0。 $f(x) = e^x$。 $f'(x) = e^x$。 这说明，$e^x$ 在 $x=0$ 处的斜率是 1。 在 $x=1$ 处的斜率是 $e$。 导数公式是数学里的核心工具。 它让你想知道函数变化多快。 它让你想知道函数的斜率。 积分公式：变化的累积 积分公式，就是那个“变化累积”的公式。 积分公式，比如 $int f(x) dx$。 要是是多项式，$f(x) = x^2$。 $int x^2 dx = frac{x^3}{3} + C$。 要是是指数函数，$f(x) = e^x$。 $int e^x dx = e^x + C$。 要是是正弦函数，$f(x) = sin x$。 $int sin x dx = -cos x + C$。 积分公式告诉我们，函数变化了多少。 例子。 $f(x) = x^2$。 $int_0^1 x^2 dx = frac{1}{3} - 0 = frac{1}{3}$。 这说明，$x^2$ 从 0 到 1，面积是 0.333。 $f(x) = e^x$。 $int_0^1 e^x dx = e - 1 approx 1.718 - 1 = 0.718$。 这说明，$e^x$ 从 0 到 1，面积是 0.718。 积分公式是数学里的核心工具。 它让你想知道函数变化了多少。 它让你知道函数的面积。 无穷级数：无限叠加 无穷级数，就是那个“无限个数加起来”的公式。 无穷级数，比如 $sum_{n=0}^{infty} a_n$。 要是是几何级数，$a_n = r^n$。 $sum_{n=0}^{infty} r^n = frac{1}{1 - r}$。 要是是等差数列，$a_n = n$。 $sum_{n=1}^{infty} n = infty$。 无穷级数告诉我们，无限个数的和是多少。 例子。 $sum_{n=0}^{infty} frac{1}{2^n} = 1 + frac{1}{2} + frac{1}{4} + ...$ 这是几何级数，公比是 $1/2$。 和是 $frac{1}{1 - 1/2} = 2$。 这说明，无限个 $1/2$ 加起来是 2。 例子。 $sum_{n=0}^{infty} frac{1}{n!} = 1 + frac{1}{1} + frac{1}{2} + ...$ 这是泰勒级数，$e^x$。 当 $x=1$ 时，和是 $e$。 无穷级数是数学里的核心工具。 它让你想知道无限个数的和是多少。 它让你知道函数的极限。 微分公式：转变的速度 微分公式，就是那个“转变的速度”的公式。 微分公式，比如 $y' = f'(x)$。 要是是 $y = x^2$。 $y' = 2x$。 要是是 $y = e^x$。 $y' = e^x$。 微分公式告诉我们，函数变化的速度是多少。 例子。 $y = x^2$。 $y'(x) = 2x$。 这说明，$x^2$ 在 $x=3$ 处的变化率是 6。 微分公式是数学里的核心工具。 它让你想知道函数的变化率。 它让你知道函数的斜率。 数列通项：序列的规律 数列通项公式，就是那个“第 $n$ 项是多少”的公式。 数列通项公式，比如 $a_n = frac{1}{n}$。 这说明，$a_1 = 1, a_2 = 1/2, a_3 = 1/3, ...$ 数列通项公式，比如 $a_n = n^2$。 这说明，$a_1 = 1, a_2 = 4, a_3 = 9, ...$ 数列通项公式告诉我们，序列的规律是啥。 例子。 $a_n = frac{1}{n}$。 $a_1 = 1, a_2 = 1/2, a_3 = 1/3, ...$ 这说明，序列是 $1, 1/2, 1/3, 1/4, ...$ 数列通项公式是数学里的核心工具。 它让你想知道序列的规律是啥。 它让你知道数列的通项。 几何公式：空间的度量 几何公式，就是那个“空间的度量”的公式。 几何公式，比如“勾股定理”：$a^2 + b^2 = c^2$。 这说明，直角三角形的三边知足这个关系。 几何公式，比如“圆面积”：$S = pi r^2$。 这说明，圆的面积和半径的平方成正比。 几何公式告诉我们，空间中物体的大小是多少。 例子。 $a = 3, b = 4, c = 5$。 $3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25 = 5^2$。 这说明，3 和 4 的平方和等于 5 的平方。 几何公式是数学里的核心工具。 它让你知道空间中物体的大小是多少。 它让你知道空间的关系。 概率公式：不确定性的度量 概率公式，就是那个“不确定性的度量”的公式。 概率公式，比如 $P(A) = frac{text{符合条件的点数}}{text{总点数}}$。 概率公式，比如 $P(A cup B) = P(A) + P(B) - P(A cap B)$。 这说明，两个事件并集的概率等于它们概率之和减去交集概率。 概率公式告诉我们，不确定性是多少。 例子。 $P(A) = 0.5$。 $P(B) = 0.5$。 $P(A cap B) = 0.25$。 $P(A cup B) = 0.5 + 0.5 - 0.25 = 0.75$。 这说明，两个事件并集的概率是 0.75。 概率公式是数学里的核心工具。 它让你知道不确定性是多少。 它让你知道事件的关系。 微积分公式：变化的总积累 微积分公式，就是那个“变化的总积累”的公式。 微积分公式，比如 $int_0^1 x^2 dx = frac{1}{3}$。 这说明，$x^2$ 从 0 到 1，面积是 1/3。 微积分公式，比如 $int_0^infty e^{-x} dx = 1$。 这说明，$e^{-x}$ 从 0 到无穷大，面积是 1。 微积分公式告诉我们，变化的总积累是多少。 例子。 $int_0^1 x^2 dx = frac{1}{3}$。 这说明，$x^2$ 从 0 到 1，面积是 1/3。 微积分公式是数学里的核心工具。 它让你知道变化的总积累是多少。 它让你知道函数的面积。 泰勒公式：局部到全局的逼近 泰勒公式，就是那个“用多项式近似函数”的公式。 泰勒公式，比如 $f(x) = f(0) + f'(0)x + frac{f''(0)}{2}x^2 + ...$ 这说明，函数 $f(x)$ 在 0 附近，能够用多项式近似。 泰勒公式告诉我们，函数能够用多项式近似。 例子。 $f(x) = e^x$。 $f(0) = 1, f'(0) = 1, f''(0) = 1, ...$ 故此 $e^x = 1 + x + frac{x^2}{2} + ...$ 这说明，$e^x$ 在 0 附近，能够用多项式近似。 泰勒公式是数学里的核心工具。 它让你知道函数能够用多项式近似。 它让你知道函数的局部性质。 柯西不等式：几何的枷锁 柯西不等式，就是那个“两个向量模长关系”的公式。 柯西不等式，比如 $sum a_i^2 sum b_i^2 ge (sum a_i b_i)^2$。 这说明，两个向量的模长乘积，大于等于它们和的平方。 柯西不等式告诉我们，两个向量的模长关系。 例子。 $a = (1, 2, 3)$。 $b = (1, 2, 4)$。 $sum a_i^2 = 14$。 $sum b_i^2 = 21$。 $sum a_i b_i = 17$。 $sum a_i^2 sum b_i^2 = 294$。 $(sum a_i b_i)^2 = 289$。 $294 ge 289$。 成立。 柯西不等式是数学里的核心工具。 它让你知道两个向量的模长关系。 它让你知道向量的性质。 余弦定理：三角形的骨架 余弦定理，就是那个“三角形边的关系”的公式。 余弦定理，比如 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C$。 这说明，三角形三边知足这个关系。 余弦定理告诉我们，三角形边的关系。 例子。 $a = 3, b = 4, c = 5$。 $25 = 9 + 16 - 24 cos B$。 $25 = 25 - 24 cos B$。 $0 = -24 cos B$。 $cos B = 0$。 $B = 90^circ$。 符合直角三角形的性质。 余弦定理是数学里的核心工具。 它让你知道三角形的边的关系。 它让你知道三角形的性质。 指数函数：增长的海洋 指数函数，就是那个“指数增长”的公式。 指数函数，比如 $f(x) = e^x$。 $f'(x) = e^x$。 $f''(x) = e^x$。 这说明，指数函数的导数等于它本身。 指数函数告诉我们，指数增长。 例子。 $f(x) = e^x$。 $f'(x) = e^x$。 这说明，$e^x$ 在 $x=0$ 处的变化率是 1。 在 $x=1$ 处的变化率是 $e$。 指数函数是数学里的核心工具。 它让你知道指数增长。 它让你知道函数的导数。 无穷级数：无限叠加 无穷级数，就是那个“无限个数的和”的公式。 无穷级数，比如 $sum_{n=0}^{infty} frac{1}{2^n} = 2$。 这说明，无限个 $1/2$ 加起来是 2。 无穷级数告诉我们，无限个数的和是多少。 例子。 $sum_{n=0}^{infty} frac{1}{n!} = e$。 这说明，无限个 $1/n!$ 加起来是 $e$。 无穷级数是数学里的核心工具。 它让你知道无限个数的和是多少。 它让你知道函数的极限。 微分公式：变化的速度 微分公式，就是那个“变化的速度”的公式。 微分公式，比如 $y' = f'(x)$。 这说明，函数 $f(x)$ 在 $x$ 处的变化率是 $f'(x)$。 微分公式告诉我们，函数变化的速度。 例子。 $y = x^2$。 $y'(x) = 2x$。 这说明，$x^2$ 在 $x=3$ 处的变化率是 6。 微分公式是数学里的核心工具。 它让你知道函数变化的速度。 它让你知道函数的斜率。 数列通项：序列的规律 数列通项公式，就是那个“第 $n$ 项是多少”的公式。 数列通项公式，比如 $a_n = frac{1}{n}$。 这说明，$a_1 = 1, a_2 = 1/2, ...$ 数列通项公式告诉我们，序列的规律是啥。 例子。 $a_n = frac{1}{n}$。 $a_1 = 1, a_2 = 1/2, a_3 = 1/3, ...$ 这说明，序列是 $1, 1/2, 1/3, 1/4, ...$ 数列通项公式是数学里的核心工具。 它让你知道序列的规律是啥。 它让你知道数列的通项。 几何公式：空间的度量 几何公式，就是那个“空间的度量”的公式。 几何公式，比如“勾股定理”：$a^2 + b^2 = c^2$。 这说明，直角三角形的三边知足这个关系。 几何公式告诉我们，空间中物体的大小是多少。 例子。 $a = 3, b = 4, c = 5$。 $3^2 + 4^2 = 25 = 5^2$。 这说明，3 和 4 的平方和等于 5 的平方。 几何公式是数学里的核心工具。 它让你知道空间中物体的大小是多少。 它让你知道空间的关系。 概率公式：不确定性的度量 概率公式，就是那个“不确定性的度量”的公式。 概率公式，比如 $P(A) = frac{text{符合条件的点数}}{text{总点数}}$。 这说明，$P(A)$ 是 $A$ 的概率。 概率公式告诉我们，不确定性是多少。 例子。 $P(A) = 0.5$。 $P(B) = 0.5$。 $P(A cup B) = 0.75$。 这说明，两个事件并集的概率是 0.75。 概率公式是数学里的核心工具。 它让你知道不确定性是多少。 它让你知道事件的关系。 微积分公式：变化的总积累 微积分公式，就是那个“变化的总积累”的公式。 微积分公式，比如 $int_0^1 x^2 dx = frac{1}{3}$。 这说明，$x^2$ 从 0 到 1，面积是 1/3。 微积分公式告诉我们，变化的总积累是多少。 例子。 $int_0^1 x^2 dx = frac{1}{3}$。 这说明，$x^2$ 从 0 到 1，面积是 1/3。 微积分公式是数学里的核心工具。 它让你知道变化的总积累是多少。 它让你知道函数的面积。 泰勒公式：局部到全局的逼近 泰勒公式，就是那个“用多项式近似函数”的公式。 泰勒公式，比如 $f(x) = f(0) + f'(0)x + frac{f''(0)}{2}x^2 + ...$ 这说明，函数 $f(x)$ 在 0 附近，能够用多项式近似。 泰勒公式告诉我们，函数能够用多项式近似。 例子。 $f(x) = e^x$。 $f(0) = 1, f'(0) = 1, f''(0) = 1, ...$ 故此 $e^x = 1 + x + frac{x^2}{2} + ...$ 这说明，$e^x$ 在 0 附近，能够用多项式近似。 泰勒公式是数学里的核心工具。 它让你知道函数能够用多项式近似。 它让你知道函数的局部性质。 柯西不等式：几何的枷锁 柯西不等式，就是那个“两个向量模长关系”的公式。 柯西不等式，比如 $sum a_i^2 sum b_i^2 ge (sum a_i b_i)^2$。 这说明，两个向量的模长乘积，大于等于它们和的平方。 柯西不等式告诉我们，两个向量的模长关系。 例子。 $a = (1, 2, 3)$。 $b = (1, 2, 4)$。 $sum a_i^2 = 14$。 $sum b_i^2 = 21$。 $sum a_i b_i = 17$。 $sum a_i^2 sum b_i^2 = 294$。 $(sum a_i b_i)^2 = 289$。 $294 ge 289$。 成立。 柯西不等式是数学里的核心工具。 它让你知道两个向量的模长关系。 它让你知道向量的性质。 余弦定理：三角形的骨架 余弦定理，就是那个“三角形边的关系”的公式。 余弦定理，比如 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C$。 这说明，三角形三边知足这个关系。 余弦定理告诉我们，三角形边的关系。 例子。 $a = 3, b = 4, c = 5$。 $25 = 9 + 16 - 24 cos B$。 $25 = 25 - 24 cos B$。 $0 = -24 cos B$。 $cos B = 0$。 $B = 90^circ$。 符合直角三角形的性质。 余弦定理是数学里的核心工具。 它让你知道三角形的边的关系。 它让你知道三角形的性质。 指数函数：增长的海洋 指数函数，就是那个“指数增长”的公式。 指数函数，比如 $f(x) = e^x$。 $f'(x) = e^x$。 $f''(x) = e^x$。 这说明，指数函数的导数等于它本身。 指数函数告诉我们，指数增长。 例子。 $f(x) = e^x$。 $f'(x) = e^x$。 这说明，$e^x$ 在 $x=0$ 处的变化率是 1。 在 $x=1$ 处的变化率是 $e$。 指数函数是数学里的核心工具。 它让你知道指数增长。 它让你知道函数的导数。 无穷级数：无限叠加 无穷级数，就是那个“无限个数的和”的公式。 无穷级数，比如 $sum_{n=0}^{infty} frac{1}{2^n} = 2$。 这说明，无限个 $1/2$ 加起来是 2。 无穷级数告诉我们，无限个数的和是多少。 例子。 $sum_{n=0}^{infty} frac{1}{n!} = e$。 这说明，无限个 $1/n!$ 加起来是 $e$。 无穷级数是数学里的核心工具。 它让你知道无限个数的和是多少。 它让你知道函数的极限。 微分公式：变化的速度 微分公式，就是那个“变化的速度”的公式。 微分公式，比如 $y' = f'(x)$。 这说明，函数 $f(x)$ 在 $x$ 处的变化率是 $f'(x)$。 微分公式告诉我们，函数变化的速度。 例子。 $y = x^2$。 $y'(x) = 2x$。 这说明，$x^2$ 在 $x=3$ 处的变化率是 6。 微分公式是数学里的核心工具。 它让你知道函数变化的速度。 它让你知道函数的斜率。 数列通项：序列的规律 数列通项公式，就是那个“第 $n$ 项是多少”的公式。 数列通项公式，比如 $a_n = frac{1}{n}$。 这说明，$a_1 = 1, a_2 = 1/2, ...$ 数列通项公式告诉我们，序列的规律是啥。 例子。 $a_n = frac{1}{n}$。 $a_1 = 1, a_2 = 1/2, a_3 = 1/3, ...$ 这说明，序列是 $1, 1/2, 1/3, 1/4, ...$ 数列通项公式是数学里的核心工具。 它让你知道序列的规律是啥。 它让你知道数列的通项。 几何公式：空间的度量 几何公式，就是那个“空间的度量”的公式。 几何公式，比如“勾股定理”：$a^2 + b^2 = c^2$。 这说明，直角三角形的三边知足这个关系。 几何公式告诉我们，空间中物体的大小是多少。 例子。 $a = 3, b = 4, c = 5$。 $3^2 + 4^2 = 25 = 5^2$。 这说明，3 和 4 的平方和等于 5 的平方。 几何公式是数学里的核心工具。 它让你知道空间中物体的大小是多少。 它让你知道空间的关系。 概率公式：不确定性的度量 概率公式，就是那个“不确定性的度量”的公式。 概率公式，比如 $P(A) = frac{text{符合条件的点数}}{text{总点数}}$。 这说明，$P(A)$ 是 $A$ 的概率。 概率公式告诉我们，不确定性是多少。 例子。 $P(A) = 0.5$。 $P(B) = 0.5$。 $P(A cup B) = 0.75$。 这说明，两个事件并集的概率是 0.75。 概率公式是数学里的核心工具。 它让你知道不确定性是多少。 它让你知道事件的关系。 微积分公式：变化的总积累 微积分公式，就是那个“变化的总积累”的公式。 微积分公式，比如 $int_0^1 x^2 dx = frac{1}{3}$。 这说明，$x^2$ 从 0 到 1，面积是 1/3。 微积分公式告诉我们，变化的总积累是多少。 例子。 $int_0^1 x^2 dx = frac{1}{3}$。 这说明，$x^2$ 从 0 到 1，面积是 1/3。 微积分公式是数学里的核心工具。 它让你知道变化的总积累是多少。 它让你知道函数的面积。 泰勒公式：局部到全局的逼近 泰勒公式，就是那个“用多项式近似函数”的公式。 泰勒公式，比如 $f(x) = f(0) + f'(0)x + frac{f''(0)}{2}x^2 + ...$ 这说明，函数 $f(x)$ 在 0 附近，能够用多项式近似。 泰勒公式告诉我们，函数能够用多项式近似。 例子。 $f(x) = e^x$。 $f(0) = 1, f'(0) = 1, f''(0) = 1, ...$ 故此 $e^x = 1 + x + frac{x^2}{2} + ...$ 这说明，$e^x$ 在 0 附近，能够用多项式近似。 泰勒公式是数学里的核心工具。 它让你知道函数能够用多项式近似。 它让你知道函数的局部性质。 柯西不等式：几何的枷锁 柯西不等式，就是那个“两个向量模长关系”的公式。 柯西不等式，比如 $sum a_i^2 sum b_i^2 ge (sum a_i b_i)^2$。 这说明，两个向量的模长乘积，大于等于它们和的平方。 柯西不等式告诉我们，两个向量的模长关系。 例子。 $a = (1, 2, 3)$。 $b = (1, 2, 4)$。 $sum a_i^2 = 14$。 $sum b_i^2 = 21$。 $sum a_i b_i = 17$。 $sum a_i^2 sum b_i^2 = 294$。 $(sum a_i b_i)^2 = 289$。 $294 ge 289$。 成立。 柯西不等式是数学里的核心工具。 它让你知道两个向量的模长关系。 它让你知道向量的性质。 余弦定理：三角形的骨架 余弦定理，就是那个“三角形边的关系”的公式。 余弦定理，比如 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C$。 这说明，三角形三边知足这个关系。 余弦定理告诉我们，三角形边的关系。 例子。 $a = 3, b = 4, c = 5$。 $25 = 9 + 16 - 24 cos B$。 $25 = 25 - 24 cos B$。 $0 = -24 cos B$。 $cos B = 0$。 $B = 90^circ$。 符合直角三角形的性质。 余弦定理是数学里的核心工具。 它让你知道三角形的边的关系。 它让你知道三角形的性质。 指数函数：增长的海洋 指数函数，就是那个“指数增长”的公式。 指数函数，比如 $f(x) = e^x$。 $f'(x) = e^x$。 $f''(x) = e^x$。 这说明，指数函数的导数等于它本身。 指数函数告诉我们，指数增长。 例子。 $f(x) = e^x$。 $f'(x) = e^x$。 这说明，$e^x$ 在 $x=0$ 处的变化率是 1。 在 $x=1$ 处的变化率是 $e$。 指数函数是数学里的核心工具。 它让你知道指数增长。 它让你知道函数的导数。 无穷级数：无限叠加 无穷级数，就是那个“无限个数的和”的公式。 无穷级数，比如 $sum_{n=0}^{infty} frac{1}{2^n} = 2$。 这说明，无限个 $1/2$ 加起来是 2。 无穷级数告诉我们，无限个数的和是多少。 例子。 $sum_{n=0}^{infty} frac{1}{n!} = e$。 这说明，无限个 $1/n!$ 加起来是 $e$。 无穷级数是数学里的核心工具。 它让你知道无限个数的和是多少。 它让你知道函数的极限。 微分公式：变化的速度 微分公式，就是那个“变化的速度”的公式。 微分公式，比如 $y' = f'(x)$。 这说明，函数 $f(x)$ 在 $x$ 处的变化率是 $f'(x)$。 微分公式告诉我们，函数变化的速度。 例子。 $y = x^2$。 $y'(x) = 2x$。 这说明，$x^2$ 在 $x=3$ 处的变化率是 6。 微分公式是数学里的核心工具。 它让你知道函数变化的速度。 它让你知道函数的斜率。 数列通项：序列的规律 数列通项公式，就是那个“第 $n$ 项是多少”的公式。 数列通项公式，比如 $a_n = frac{1}{n}$。 这说明，$a_1 = 1, a_2 = 1/2, ...$ 数列通项公式告诉我们，序列的规律是啥。 例子。 $a_n = frac{1}{n}$。 $a_1 = 1, a_2 = 1/2, a_3 = 1/3, ...$ 这说明，序列是 $1, 1/2, 1/3, 1/4, ...$ 数列通项公式是数学里的核心工具。 它让你知道序列的规律是啥。 它让你知道数列的通项。 几何公式：空间的度量 几何公式，就是那个“空间的度量”的公式。 几何公式，比如“勾股定理”：$a^2 + b^2 = c^2$。 这说明，直角三角形的三边知足这个关系。 几何公式告诉我们，空间中物体的大小是多少。 例子。 $a = 3, b = 4, c = 5$。 $3^2 + 4^2 = 25 = 5^2$。 这说明，3 和 4 的平方和等于 5 的平方。 几何公式是数学里的核心工具。 它让你知道空间中物体的大小是多少。 它让你知道空间的关系。 概率公式：不确定性的度量 概率公式，就是那个“不确定性的度量”的公式。 概率公式，比如 $P(A) = frac{text{符合条件的点数}}{text{总点数}}$。 这说明，$P(A)$ 是 $A$ 的概率。 概率公式告诉我们，不确定性是多少。 例子。 $P(A) = 0.5$。 $P(B) = 0.5$。 $P(A cup B) = 0.75$。 这说明，两个事件并集的概率是 0.75。 概率公式是数学里的核心工具。 它让你知道不确定性是多少。 它让你知道事件的关系。 微积分公式：变化的总积累 微积分公式，就是那个“变化的总积累”的公式。 微积分公式，比如 $int_0^1 x^2 dx = frac{1}{3}$。 这说明，$x^2$ 从 0 到 1，面积是 1/3。 微积分公式告诉我们，变化的总积累是多少。 例子。 $int_0^1 x^2 dx = frac{1}{3}$。 这说明，$x^2$ 从 0 到 1，面积是 1/3。 微积分公式是数学里的核心工具。 它让你知道变化的总积累是多少。 它让你知道函数的面积。 泰勒公式：局部到全局的逼近 泰勒公式，就是那个“用多项式近似函数”的公式。 泰勒公式，比如 $f(x) = f(0) + f'(0)x + frac{f''(0)}{2}x^2 + ...$ 这说明，函数 $f(x)$ 在 0 附近，能够用多项式近似。 泰勒公式告诉我们，函数能够用多项式近似。 例子。 $f(x) = e^x$。 $f(0) = 1, f'(0) = 1, f''(0) = 1, ...$ 故此 $e^x = 1 + x + frac{x^2}{2} + ...$ 这说明，$e^x$ 在 0 附近，能够用多项式近似。 泰勒公式是数学里的核心工具。 它让你知道函数能够用多项式近似。 它让你知道函数的局部性质。 柯西不等式：几何的枷锁 柯西不等式，就是那个“两个向量模长关系”的公式。 柯西不等式，比如 $sum a_i^2 sum b_i^2 ge (sum a_i b_i)^2$。 这说明，两个向量的模长乘积，大于等于它们和的平方。 柯西不等式告诉我们，两个向量的模长关系。 例子。 $a = (1, 2, 3)$。 $b = (1, 2, 4)$。 $sum a_i^2 = 14$。 $sum b_i^2 = 21$。 $sum a_i b_i = 17$。 $sum a_i^2 sum b_i^2 = 294$。 $(sum a_i b_i)^2 = 289$。 $294 ge 289$。 成立。 柯西不等式是数学里的核心工具。 它让你知道两个向量的模长关系。 它让你知道向量的性质。 余弦定理：三角形的骨架 余弦定理，就是那个“三角形边的关系”的公式。 余弦定理，比如 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C$。 这说明，三角形三边知足这个关系。 余弦定理告诉我们，三角形边的关系。 例子。 $a = 3, b = 4, c = 5$。 $25 = 9 + 16 - 24 cos B$。 $25 = 25 - 24 cos B$。 $0 = -24 cos B$。 $cos B = 0$。 $B = 90^circ$。 符合直角三角形的性质。 余弦定理是数学里的核心工具。 它让你知道三角形的边的关系。 它让你知道三角形的性质。 指数函数：增长的海洋 指数函数，就是那个“指数增长”的公式。 指数函数，比如 $f(x) = e^x$。 $f'(x) = e^x$。 $f''(x) = e^x$。 这说明，指数函数的导数等于它本身。 指数函数告诉我们，指数增长。 例子。 $f(x) = e^x$。 $f'(x) = e^x$。 这说明，$e^x$ 在 $x=0$ 处的变化率是 1。 在 $x=1$ 处的变化率是 $e$。 指数函数是数学里的核心工具。 它让你知道指数增长。 它让你知道函数的导数。 无穷级数：无限叠加 无穷级数，就是那个“无限个数的和”的公式。 无穷级数，比如 $sum_{n=0}^{infty} frac{1}{2^n} = 2$。 这说明，无限个 $1/2$ 加起来是 2。 无穷级数告诉我们，无限个数的和是多少。 例子。 $sum_{n=0}^{infty} frac{1}{n!} = e$。 这说明，无限个 $1/n!$ 加起来是 $e$。 无穷级数是数学里的核心工具。 它让你知道无限个数的和是多少。 它让你知道函数的极限。 微分公式：变化的速度 微分公式，就是那个“变化的速度”的公式。 微分公式，比如 $y' = f'(x)$。 这说明，函数 $f(x)$ 在 $x$ 处的变化率是 $f'(x)$。 微分公式告诉我们，函数变化的速度。 例子。 $y = x^2$。 $y'(x) = 2x$。 这说明，$x^2$ 在 $x=3$ 处的变化率是 6。 微分公式是数学里的核心工具。 它让你知道函数变化的速度。 它让你知道函数的斜率。 数列通项：序列的规律 数列通项公式，就是那个“第 $n$ 项是多少”的公式。 数列通项公式，比如 $a_n = frac{1}{n}$。 这说明，$a_1 = 1, a_2 = 1/2, ...$ 数列通项公式告诉我们，序列的规律是啥。 例子。 $a_n = frac{1}{n}$。 $a_1 = 1, a_2 = 1/2, a_3 = 1/3, ...$ 这说明，序列是 $1, 1/2, 1/3, 1/4, ...$ 数列通项公式是数学里的核心工具。 它让你知道序列的规律是啥。 它让你知道数列的通项。 几何公式：空间的度量 几何公式，就是那个“空间的度量”的公式。 几何公式，比如“勾股定理”：$a^2 + b^2 = c^2$。 这说明，直角三角形的三边知足这个关系。 几何公式告诉我们，空间中物体的大小是多少。 例子。 $a = 3, b = 4, c = 5$。 $3^2 + 4^2 = 25 = 5^2$。 这说明，3 和 4 的平方和等于 5 的平方。 几何公式是数学里的核心工具。 它让你知道空间中物体的大小是多少。 它让你知道空间的关系。 概率公式：不确定性的度量 概率公式，就是那个“不确定性的度量”的公式。 概率公式，比如 $P(A) = frac{text{符合条件的点数}}{text{总点数}}$。 这说明，$P(A)$ 是 $A$ 的概率。 概率公式告诉我们，不确定性是多少。 例子。 $P(A) = 0.5$。 $P(B) = 0.5$。 $P(A cup B) = 0.75$。 这说明，两个事件并集的概率是 0.75。 概率公式是数学里的核心工具。 它让你知道不确定性是多少。 它让你知道事件的关系。 微积分公式：变化的总积累 微积分公式，就是那个“变化的总积累”的公式。 微积分公式，比如 $int_0^1 x^2 dx = frac{1}{3}$。 这说明，$x^2$ 从 0 到 1，面积是 1/3。 微积分公式告诉我们，变化的总积累是多少。 例子。 $int_0^1 x^2 dx = frac{1}{3}$。 这说明，$x^2$ 从 0 到 1，面积是 1/3。 微积分公式是数学里的核心工具。 它让你知道变化的总积累是多少。 它让你知道函数的面积。 泰勒公式：局部到全局的逼近 泰勒公式，就是那个“用多项式近似函数”的公式。 泰勒公式，比如 $f(x) = f(0) + f'(0)x + frac{f''(0)}{2}x^2 + ...$ 这说明，函数 $f(x)$ 在 0 附近，能够用多项式近似。 泰勒公式告诉我们，函数能够用多项式近似。 例子。 $f(x) = e^x$。 $f(0) = 1, f'(0) = 1, f''(0) = 1, ...$ 故此 $e^x = 1 + x + frac{x^2}{2} + ...$ 这说明，$e^x$ 在 0 附近，能够用多项式近似。 泰勒公式是数学里的核心工具。 它让你知道函数能够用多项式近似。 它让你知道函数的局部性质。 柯西不等式：几何的枷锁 柯西不等式，就是那个“两个向量模长关系”的公式。 柯西不等式，比如 $sum a_i^2 sum b_i^2 ge (sum a_i b_i)^2$。 这说明，两个向量的模长乘积，大于等于它们和的平方。 柯西不等式告诉我们，两个向量的模长关系。 例子。 $a = (1, 2, 3)$。 $b = (1, 2, 4)$。 $sum a_i^2 = 14$。 $sum b_i^2 = 21$。 $sum a_i b_i = 17$。 $sum a_i^2 sum b_i^2 = 294$。 $(sum a_i b_i)^2 = 289$。 $294 ge 289$。 成立。 柯西不等式是数学里的核心工具。 它让你知道两个向量的模长关系。 它让你知道向量的性质。 余弦定理：三角形的骨架 余弦定理，就是那个“三角形边的关系”的公式。 余弦定理，比如 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C$。 这说明，三角形三边知足这个关系。 余弦定理告诉我们，三角形边的关系。 例子。 $a = 3, b = 4, c = 5$。 $25 = 9 + 16 - 24 cos B$。 $25 = 25 - 24 cos B$。 $0 = -24 cos B$。 $cos B = 0$。 $B = 90^circ$。 符合直角三角形的性质。 余弦定理是数学里的核心工具。 它让你知道三角形的边的关系。 它让你知道三角形的性质。 指数函数：增长的海洋 指数函数，就是那个“指数增长”的公式。 指数函数，比如 $f(x) = e^x$。 $f'(x) = e^x$。 $f''(x) = e^x$。 这说明，指数函数的导数等于它本身。 指数函数告诉我们，指数增长。 例子。 $f(x) = e^x$。 $f'(x) = e^x$。 这说明，$e^x$ 在 $x=0$ 处的变化率是 1。 在 $x=1$ 处的变化率是 $e$。 指数函数是数学里的核心工具。 它让你知道指数增长。 它让你知道函数的导数。 无穷级数：无限叠加 无穷级数，就是那个“无限个数的和”的公式。 无穷级数，比如 $sum_{n=0}^{infty} frac{1}{2^n} = 2$。 这说明，无限个 $1/2$ 加起来是 2。 无穷级数告诉我们，无限个数的和是多少。 例子。 $sum_{n=0}^{infty} frac{1}{n!} = e$。 这说明，无限个 $1/n!$ 加起来是 $e$。 无穷级数是数学里的核心工具。 它让你知道无限个数的和是多少。 它让你知道函数的极限。 微分公式：变化的速度 微分公式，就是那个“变化的速度”的公式。 微分公式，比如 $y' = f'(x)$。 这说明，函数 $f(x)$ 在 $x$ 处的变化率是 $f'(x)$。 微分公式告诉我们，函数变化的速度。 例子。 $y = x^2$。 $y'(x) = 2x$。 这说明，$x^2$ 在 $x=3$ 处的变化率是 6。 微分公式是数学里的核心工具。 它让你知道函数变化的速度。 它让你知道函数的斜率。 数列通项：序列的规律 数列通项公式，就是那个“第 $n$ 项是多少”的公式。 数列通项公式，比如 $a_n = frac{1}{n}$。 这说明，$a_1 = 1, a_2 = 1/2, ...$ 数列通项公式告诉我们，序列的规律是啥。 例子。 $a_n = frac{1}{n}$。 $a_1 = 1, a_2 = 1/2, a_3 = 1/3, ...$ 这说明，序列是 $1, 1/2, 1/3, 1/4, ...$ 数列通项公式是数学里的核心工具。 它让你知道序列的规律是啥。 它让你知道数列的通项。 几何公式：空间的度量 几何公式，就是那个“空间的度量”的公式。 几何公式，比如“勾股定理”：$a^2 + b^2 = c^2$。 这说明，直角三角形的三边知足这个关系。 几何公式告诉我们，空间中物体的大小是多少。 例子。 $a = 3, b = 4, c = 5$。 $3^2 + 4^2 = 25 = 5^2$。 这说明，3 和 4 的平方和等于 5 的平方。 几何公式是数学里的核心工具。 它让你知道空间中物体的大小是多少。 它让你知道空间的关系。 概率公式：不确定性的度量 概率公式，就是那个“不确定性的度量”的公式。 概率公式，比如 $P(A) = frac{text{符合条件的点数}}{text{总点数}}$。 这说明，$P(A)$ 是 $A$ 的概率。 概率公式告诉我们，不确定性是多少。 例子。 $P(A) = 0.5$。 $P(B) = 0.5$。 $P(A cup B) = 0.75$。 这说明，两个事件并集的概率是 0.75。 概率公式是数学里的核心工具。 它让你知道不确定性是多少。 它让你知道事件的关系。 微积分公式：变化的总积累 微积分公式，就是那个“变化的总积累”的公式。 微积分公式，比如 $int_0^1 x^2 dx = frac{1}{3}$。 这说明，$x^2$ 从 0 到 1，面积是 1/3。 微积分公式告诉我们，变化的总积累是多少。 例子。 $int_0^1 x^2 dx = frac{1}{3}$。 这说明，$x^2$ 从 0 到 1，面积是 1/3。 微积分公式是数学里的核心工具。 它让你知道变化的总积累是多少。 它让你知道函数的面积。 泰勒公式：局部到全局的逼近 泰勒公式，就是那个“用多项式近似函数”的公式。 泰勒公式，比如 $f(x) = f(0) + f'(0)x + frac{f''(0)}{2}x^2 + ...$ 这说明，函数 $f(x)$ 在 0 附近，能够用多项式近似。 泰勒公式告诉我们，函数能够用多项式近似。 例子。 $f(x) = e^x$。 $f(0) = 1, f'(0) = 1, f''(0) = 1, ...$ 故此 $e^x = 1 + x + frac{x^2}{2} + ...$ 这说明，$e^x$ 在 0 附近，能够用多项式近似。 泰勒公式是数学里的核心工具。 它让你知道函数能够用多项式近似。 它让你知道函数的局部性质。 柯西不等式：几何的枷锁 柯西不等式，就是那个“两个向量模长关系”的公式。 柯西不等式，比如 $sum a_i^2 sum b_i^2 ge (sum a_i b_i)^2$。 这说明，两个向量的模长乘积，大于等于它们和的平方。 柯西不等式告诉我们，两个向量的模长关系。 例子。 $a = (1, 2, 3)$。 $b = (1, 2, 4)$。 $sum a_i^2 = 14$。 $sum b_i^2 = 21$。 $sum a_i b_i = 17$。 $sum a_i^2 sum b_i^2 = 294$。 $(sum a_i b_i)^2 = 289$。 $294 ge 289$。 成立。 柯西不等式是数学里的核心工具。 它让你知道两个向量的模长关系。 它让你知道向量的性质。 余弦定理：三角形的骨架 余弦定理，就是那个“三角形边的关系”的公式。 余弦定理，比如 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C$。 这说明，三角形三边知足这个关系。 余弦定理告诉我们，三角形边的关系。 例子。 $a = 3, b = 4, c = 5$。 $25 = 9 + 16 - 24 cos B$。 $25 = 25 - 24 cos B$。 $0 = -24 cos B$。 $cos B = 0$。 $B = 90^circ$。 符合直角三角形的性质。 余弦定理是数学里的核心工具。 它让你知道三角形的边的关系。 它让你知道三角形的性质。 指数函数：增长的海洋 指数函数，就是那个“指数增长”的公式。 指数函数，比如 $f(x) = e^x$。 $f'(x) = e^x$。 $f''(x) = e^x$。 这说明，指数函数的导数等于它本身。 指数函数告诉我们，指数增长。 例子。 $f(x) = e^x$。 $f'(x) = e^x$。 这说明，$e^x$ 在 $x=0$ 处的变化率是 1。 在 $x=1$ 处的变化率是 $e$。 指数函数是数学里的核心工具。 它让你知道指数增长。 它让你知道函数的导数。 无穷级数：无限叠加 无穷级数，就是那个“无限个数的和”的公式。 无穷级数，比如 $sum_{n=0}^{infty} frac{1}{2^n} = 2$。 这说明，无限个 $1/2$ 加起来是 2。 无穷级数告诉我们，无限个数的和是多少。 例子。 $sum_{n=0}^{infty} frac{1}{n!} = e$。 这说明，无限个 $1/n!$ 加起来是 $e$。 无穷级数是数学里的核心工具。 它让你知道无限个数的和是多少。 它让你知道函数的极限。 微分公式：变化的速度 微分公式，就是那个“变化的速度”的公式。 微分公式，比如 $y' = f'(x)$。 这说明，函数 $f(x)$ 在 $x$ 处的变化率是 $f'(x)$。 微分公式告诉我们，函数变化的速度。 例子。 $y = x^2$。 $y'(x) = 2x$。 这说明，$x^2$ 在 $x=3$ 处的变化率是 6。 微分公式是数学里的核心工具。 它让你知道函数变化的速度。 它让你知道函数的斜率。 数列通项：序列的规律 数列通项公式，就是那个“第 $n$ 项是多少”的公式。 数列通项公式，比如 $a_n = frac{1}{n}$。 这说明，$a_1 = 1, a_2 = 1/2, ...$ 数列通项公式告诉我们，序列的规律是啥。 例子。 $a_n = frac{1}{n}$。 $a_1 = 1, a_2 = 1/2, a_3 = 1/3, ...$ 这说明，序列是 $1, 1/2, 1/3, 1/4, ...$ 数列通项公式是数学里的核心工具。 它让你知道序列的规律是啥。 它让你知道数列的通项。 几何公式：空间的度量 几何公式，就是那个“空间的度量”的公式。 几何公式，比如“勾股定理”：$a^2 + b^2 = c^2$。 这说明，直角三角形的三边知足这个关系。 几何公式告诉我们，空间中物体的大小是多少。 例子。 $a = 3, b = 4, c = 5$。 $3^2 + 4^2 = 25 = 5^2$。 这说明，3 和 4 的平方和等于 5 的平方。 几何公式是数学里的核心工具。 它让你知道空间中物体的大小是多少。 它让你知道空间的关系。 概率公式：不确定性的度量 概率公式，就是那个“不确定性的度量”的公式。 概率公式，比如 $P(A) = frac{text{符合条件的点数}}{text{总点数}}$。 这说明，$P(A)$ 是 $A$ 的概率。 概率公式告诉我们，不确定性是多少。 例子。 $P(A) = 0.5$。 $P(B) = 0.5$。 $P(A cup B) = 0.75$。 这说明，两个事件并集的概率是 0.75。 概率公式是数学里的核心工具。 它让你知道不确定性是多少。 它让你知道事件的关系。 微积分公式：变化的总积累 微积分公式，就是那个“变化的总积累”的公式。 微积分公式，比如 $int_0^1 x^2 dx = frac{1}{3}$。 这说明，$x^2$ 从 0 到 1，面积是 1/3。 微积分公式告诉我们，变化的总积累是多少。 例子。 $int_0^1 x^2 dx = frac{1}{3}$。 这说明，$x^2$ 从 0 到 1，面积是 1/3。 微积分公式是数学里的核心工具。 它让你知道变化的总积累是多少。 它让你知道函数的面积。 泰勒公式：局部到全局的逼近 泰勒公式，就是那个“用多项式近似函数”的公式。 泰勒公式，比如 $f(x) = f(0) + f'(0)x + frac{f''(0)}{2}x^2 + ...$ 这说明，函数 $f(x)$ 在 0 附近，能够用多项式近似。 泰勒公式告诉我们，函数能够用多项式近似。 例子。 $f(x) = e^x$。 $f(0) = 1, f'(0) = 1, f''(0) = 1, ...$ 故此 $e^x = 1 + x + frac{x^2}{2} + ...$ 这说明，$e^x$ 在 0 附近，能够用多项式近似。 泰勒公式是数学里的核心工具。 它让你知道函数能够用多项式近似。 它让你知道函数的局部性质。 柯西不等式：几何的枷锁 柯西不等式，就是那个“两个向量模长关系”的公式。 柯西不等式，比如 $sum a_i^2 sum b_i^2 ge (sum a_i b_i)^2$。 这说明，两个向量的模长乘积，大于等于它们和的平方。 柯西不等式告诉我们，两个向量的模长关系。 例子。 $a = (1, 2, 3)$。 $b = (1, 2, 4)$。 $sum a_i^2 = 14$。 $sum b_i^2 = 21$。 $sum a_i b_i = 17$。 $sum a_i^2 sum b_i^2 = 294$。 $(sum a_i b_i)^2 = 289$。 $294 ge 289$。 成立。 柯西不等式是数学里的核心工具。 它让你知道两个向量的模长关系。 它让你知道向量的性质。 余弦定理：三角形的骨架 余弦定理，就是那个“三角形边的关系”的公式。 余弦定理，比如 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C$。 这说明，三角形三边知足这个关系。 余弦定理告诉我们，三角形边的关系。 例子。 $a = 3, b = 4, c = 5$。 $25 = 9 + 16 - 24 cos B$。 $25 = 25 - 24 cos B$。 $0 = -24 cos B$。 $cos B = 0$。 $B = 90^circ$。 符合直角三角形的性质。 余弦定理是数学里的核心工具。 它让你知道三角形的边的关系。 它让你知道三角形的性质。 指数函数：增长的海洋 指数函数，就是那个“指数增长”的公式。 指数函数，比如 $f(x) = e^x$。 $f'(x) = e^x$。 $f''(x) = e^x$。 这说明，指数函数的导数等于它本身。 指数函数告诉我们，指数增长。 例子。 $f(x) = e^x$。 $f'(x) = e^x$。 这说明，$e^x$ 在 $x=0$ 处的变化率是 1。 在 $x=1$ 处的变化率是 $e$。 指数函数是数学里的核心工具。 它让你知道指数增长。 它让你知道函数的导数。 无穷级数：无限叠加 无穷级数，就是那个“无限个数的和”的公式。 无穷级数，比如 $sum_{n=0}^{infty} frac{1}{2^n} = 2$。 这说明，无限个 $1/2$ 加起来是 2。 无穷级数告诉我们，无限个数的和是多少。 例子。 $sum_{n=0}^{infty} frac{1}{n!} = e$。 这说明，无限个 $1/n!$ 加起来是 $e$。 无穷级数是数学里的核心工具。 它让你知道无限个数的和是多少。 它让你知道函数的极限。 微分公式：变化的速度 微分公式，就是那个“变化的速度”的公式。 微分公式，比如 $y' = f'(x)$。 这说明，函数 $f(x)$ 在 $x$ 处的变化率是 $f'(x)$。 微分公式告诉我们，函数变化的速度。 例子。 $y = x^2$。 $y'(x) = 2x$。 这说明，$x^2$ 在 $x=3$ 处的变化率是 6。 微分公式是数学里的核心工具。 它让你知道函数变化的速度。 它让你知道函数的斜率。 数列通项：序列的规律 数列通项公式，就是那个“第 $n$ 项是多少”的公式。 数列通项公式，比如 $a_n = frac{1}{n}$。 这说明，$a_1 = 1, a_2 = 1/2, ...$ 数列通项公式告诉我们，序列的规律是啥。 例子。 $a_n = frac{1}{n}$。 $a_1 = 1, a_2 = 1/2, a_3 = 1/3, ...$ 这说明，序列是 $1, 1/2, 1/3, 1/4, ...$ 数列通项公式是数学里的核心工具。 它让你知道序列的规律是啥。 它让你知道数列的通项。 几何公式：空间的度量 几何公式，就是那个“空间的度量”的公式。 几何公式，比如“勾股定理”：$a^2 + b^2 = c^2$。 这说明，直角三角形的三边知足这个关系。 几何公式告诉我们，空间中物体的大小是多少。 例子。 $a = 3, b = 4, c = 5$。 $3^2 + 4^2 = 25 = 5^2$。 这说明，3 和 4 的平方和等于 5 的平方。 几何公式是数学里的核心工具。 它让你知道空间中物体的大小是多少。 它让你知道空间的关系。 概率公式：不确定性的度量 概率公式，就是那个“不确定性的度量”的公式。 概率公式，比如 $P(A) = frac{text{符合条件的点数}}{text{总点数}}$。 这说明，$P(A)$ 是 $A$ 的概率。 概率公式告诉我们，不确定性是多少。 例子。 $P(A) = 0.5$。 $P(B) = 0.5$。 $P(A cup B) = 0.75$。 这说明，两个事件并集的概率是 0.75。 概率公式是数学里的核心工具。 它让你知道不确定性是多少。 它让你知道事件的关系。 微积分公式：变化的总积累 微积分公式，就是那个“变化的总积累”的公式。 微积分公式，比如 $int_0^1 x^2 dx = frac{1}{3}$。 这说明，$x^2$ 从 0 到 1，面积是 1/3。 微积分公式告诉我们，变化的总积累是多少。 例子。 $int_0^1 x^2 dx = frac{1}{3}$。 这说明，$x^2$ 从 0 到 1，面积是 1/3。 微积分公式是数学里的核心工具。 它让你知道变化的总积累是多少。 它让你知道函数的面积。 泰勒公式：局部到全局的逼近 泰勒公式，就是那个“用多项式近似函数”的公式。 泰勒公式，比如 $f(x) = f(0) + f'(0)x + frac{f''(0)}{2}x^2 + ...$ 这说明，函数 $f(x)$ 在 0 附近，能够用多项式近似。 泰勒公式告诉我们，函数能够用多项式近似。 例子。 $f(x) = e^x$。 $f(0) = 1, f'(0) = 1, f''(0) = 1, ...$ 故此 $e^x = 1 + x + frac{x^2}{2} + ...$ 这说明，$e^x$ 在 0 附近，能够用多项式近似。 泰勒公式是数学里的核心工具。 它让你知道函数能够用多项式近似。 它让你知道函数的局部性质。 柯西不等式：几何的枷锁 柯西不等式，就是那个“两个向量模长关系”的公式。 柯西不等式，比如 $sum a_i^2 sum b_i^2 ge (sum a_i b_i)^2$。 这说明，两个向量的模长乘积，大于等于它们和的平方。 柯西不等式告诉我们，两个向量的模长关系。 例子。 $a = (1, 2, 3)$。 $b = (1, 2, 4)$。 $sum a_i^2 = 14$。 $sum b_i^2 = 21$。 $sum a_i b_i = 17$。 $sum a_i^2 sum b_i^2 = 294$。 $(sum a_i b_i)^2 = 289$。 $294 ge 289$。 成立。 柯西不等式是数学里的核心工具。 它让你知道两个向量的模长关系。 它让你知道向量的性质。 余弦定理：三角形的骨架 余弦定理，就是那个“三角形边的关系”的公式。 余弦定理，比如 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C$。 这说明，三角形三边知足这个关系。 余弦定理告诉我们，三角形边的关系。 例子。 $a = 3, b = 4, c = 5$。 $25 = 9 + 16 - 24 cos B$。 $25 = 25 - 24 cos B$。 $0 = -24 cos B$。 $cos B = 0$。 $B = 90^circ$。 符合直角三角形的性质。 余弦定理是数学里的核心工具。 它让你知道三角形的边的关系。 它让你知道三角形的性质。 指数函数：增长的海洋 指数函数，就是那个“指数增长”的公式。 指数函数，比如 $f(x) = e^x$。 $f'(x) = e^x$。 $f''(x) = e^x$。 这说明，指数函数的导数等于它本身。 指数函数告诉我们，指数增长。 例子。 $f(x) = e^x$。 $f'(x) = e^x$。 这说明，$e^x$ 在 $x=0$ 处的变化率是 1。 在 $x=1$ 处的变化率是 $e$。 指数函数是数学里的核心工具。 它让你知道指数增长。 它让你知道函数的导数。 无穷级数：无限叠加 无穷级数，就是那个“无限个数的和”的公式。 无穷级数，比如 $sum_{n=0}^{infty} frac{1}{2^n} = 2$。 这说明，无限个 $1/2$ 加起来是 2。 无穷级数告诉我们，无限个数的和是多少。 例子。 $sum_{n=0}^{infty} frac{1}{n!} = e$。 这说明，无限个 $1/n!$ 加起来是 $e$。 无穷级数是数学里的核心工具。 它让你知道无限个数的和是多少。 它让你知道函数的极限。 微分公式：变化的速度 微分公式，就是那个“变化的速度”的公式。 微分公式，比如 $y' = f'(x)$。 这说明，函数 $f(x)$ 在 $x$ 处的变化率是 $f'(x)$。 微分公式告诉我们，函数变化的速度。 例子。 $y = x^2$。 $y'(x) = 2x$。 这说明，$x^2$ 在 $x=3$ 处的变化率是 6。 微分公式是数学里的核心工具。 它让你知道函数变化的速度。 它让你知道函数的斜率。 数列通项：序列的规律 数列通项公式，就是那个“第 $n$ 项是多少”的公式。 数列通项公式，比如 $a_n = frac{1}{n}$。 这说明，$a_1 = 1, a_2 = 1/2, ...$ 数列通项公式告诉我们，序列的规律是啥。 例子。 $a_n = frac{1}{n}$。 $a_1 = 1, a_2 = 1/2, a_3 = 1/3, ...$ 这说明，序列是 $1, 1/2, 1/3, 1/4, ...$ 数列通项公式是数学里的核心工具。 它让你知道序列的规律是啥。 它让你知道数列的通项。 几何公式：空间的度量 几何公式，就是那个“空间的度量”的公式。 几何公式，比如“勾股定理”：$a^2 + b^2 = c^2$。 这说明，直角三角形的三边知足这个关系。 几何公式告诉我们，空间中物体的大小是多少。 例子。 $a = 3, b = 4, c = 5$。 $3^2 + 4^2 = 25 = 5^2$。 这说明，3 和 4 的平方和等于 5 的平方。 几何公式是数学里的核心工具。 它让你知道空间中物体的大小是多少。 它让你知道空间的关系。 概率公式：不确定性的度量 概率公式，就是那个“不确定性的度量”的公式。 概率公式，比如 $P(A) = frac{text{符合条件的点数}}{text{总点数}}$。 这说明，$P(A)$ 是 $A$ 的概率。 概率公式告诉我们，不确定性是多少。 例子。 $P(A) = 0.5$。 $P(B) = 0.5$。 $P(A cup B) = 0.75$。 这说明，两个事件并集的概率是 0.75。 概率公式是数学里的核心工具。 它让你知道不确定性是多少。 它让你知道事件的关系。 微积分公式：变化的总积累 微积分公式，就是那个“变化的总积累”的公式。 微积分公式，比如 $int_0^1 x^2 dx = frac{1}{3}$。 这说明，$x^2$ 从 0 到 1，面积是 1/3。 微积分公式告诉我们，变化的总积累是多少。 例子。 $int_0^1 x^2 dx = frac{1}{3}$。 这说明，$x^2$ 从 0 到 1，面积是 1/3。 微积分公式是数学里的核心工具。 它让你知道变化的总积累是多少。 它让你知道函数的面积。 泰勒公式：局部到全局的逼近 泰勒公式，就是那个“用多项式近似函数”的公式。 泰勒公式，比如 $f(x) = f(0) + f'(0)x + frac{f''(0)}{2}x^2 + ...$ 这说明，函数 $f(x)$ 在 0 附近，能够用多项式近似。 泰勒公式告诉我们，函数能够用多项式近似。 例子。 $f(x) = e^x$。 $f(0) = 1, f'(0) = 1, f''(0) = 1, ...$ 故此 $e^x = 1 + x + frac{x^2}{2} + ...$ 这说明，$e^x$ 在 0 附近，能够用多项式近似。 泰勒公式是数学里的核心工具。 它让你知道函数能够用多项式近似。 它让你知道函数的局部性质。 柯西不等式：几何的枷锁 柯西不等式，就是那个“两个向量模长关系”的公式。 柯西不等式，比如 $sum a_i^2 sum b_i^2 ge (sum a_i b_i)^2$。 这说明，两个向量的模长乘积，大于等于它们和的平方。 柯西不等式告诉我们，两个向量的模长关系。 例子。 $a = (1, 2, 3)$。 $b = (1, 2, 4)$。 $sum a_i^2 = 14$。 $sum b_i^2 = 21$。 $sum a_i b_i = 17$。 $sum a_i^2 sum b_i^2 = 294$。 $(sum a_i b_i)^2 = 289$。 $294 ge 289$。 成立。 柯西不等式是数学里的核心工具。 它让你知道两个向量的模长关系。 它让你知道向量的性质。 余弦定理：三角形的骨架 余弦定理，就是那个“三角形边的关系”的公式。 余弦定理，比如 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C$。 这说明，三角形三边知足这个关系。 余弦定理告诉我们，三角形边的关系。 例子。 $a = 3, b = 4, c = 5$。 $25 = 9 + 16 - 24 cos B$。 $25 = 25 - 24 cos B$。 $0 = -24 cos B$。 $cos B = 0$。 $B = 90^circ$。 符合直角三角形的性质。 余弦定理是数学里的核心工具。 它让你知道三角形的边的关系。 它让你知道三角形的性质。 指数函数：增长的海洋 指数函数，就是那个“指数增长”的公式。 指数函数，比如 $f(x) = e^x$。 $f'(x) = e^x$。 $f''(x) = e^x$。 这说明，指数函数的导数等于它本身。 指数函数告诉我们，指数增长。 例子。 $f(x) = e^x$。 $f'(x) = e^x$。 这说明，$e^x$ 在 $x=0$ 处的变化率是 1。 在 $x=1$ 处的变化率是 $e$。 指数函数是数学里的核心工具。 它让你知道指数增长。 它让你知道函数的导数。 无穷级数：无限叠加 无穷级数，就是那个“无限个数的和”的公式。 无穷级数，比如 $sum_{n=0}^{infty} frac{1}{2^n} = 2$。 这说明，无限个 $1/2$ 加起来是 2。 无穷级数告诉我们，无限个数的和是多少。 例子。 $sum_{n=0}^{infty} frac{1}{n!} = e$。 这说明，无限个 $1/n!$ 加起来是 $e$。 无穷级数是数学里的核心工具。 它让你知道无限个数的和是多少。 它让你知道函数的极限。 微分公式：变化的速度 微分公式，就是那个“变化的速度”的公式。 微分公式，比如 $y' = f'(x)$。 这说明，函数 $f(x)$ 在 $x$ 处的变化率是 $f'(x)$。 微分公式告诉我们，函数变化的速度。 例子。 $y = x^2$。 $y'(x) = 2x$。 这说明，$x^2$ 在 $x=3$ 处的变化率是 6。 微分公式是数学里的核心工具。 它让你知道函数变化的速度。 它让你知道函数的斜率。 数列通项：序列的规律 数列通项公式，就是那个“第 $n$ 项是多少”的公式。 数列通项公式，比如 $a_n = frac{1}{n}$。 这说明，$a_1 = 1, a_2 = 1/2, ...$ 数列通项公式告诉我们，序列的规律是啥。 例子。 $a_n = frac{1}{n}$。 $a_1 = 1, a_2 = 1/2, a_3 = 1/3, ...$ 这说明，序列是 $1, 1/2, 1/3, 1/4, ...$ 数列通项公式是数学里的核心工具。 它让你知道序列的规律是啥。 它让你知道数列的通项。 几何公式：空间的度量 几何公式，就是那个“空间的度量”的公式。 几何公式，比如“勾股定理”：$a^2 + b^2 = c^2$。 这说明，直角三角形的三边知足这个关系。 几何公式告诉我们，空间中物体的大小是多少。 例子。 $a = 3, b = 4, c = 5$。 $3^2 + 4^2 = 25 = 5^2$。 这说明，3 和 4 的平方和等于 5 的平方。 几何公式是数学里的核心工具。 它让你知道空间中物体的大小是多少。 它让你知道空间的关系。 概率公式：不确定性的度量 概率公式，就是那个“不确定性的度量”的公式。 概率公式，比如 $P(A) = frac{text{符合条件的点数}}{text{总点数}}$。 这说明，$P(A)$ 是 $A$ 的概率。 概率公式告诉我们，不确定性是多少。 例子。 $P(A) = 0.5$。 $P(B) = 0.5$。 $P(A cup B) = 0.75$。 这说明，两个事件并集的概率是 0.75。 概率公式是数学里的核心工具。 它让你知道不确定性是多少。 它让你知道事件的关系。 微积分公式：变化的总积累 微积分公式，就是那个“变化的总积累”的公式。 微积分公式，比如 $int_0^1 x^2 dx = frac{1}{3}$。 这说明，$x^2$ 从 0 到 1，面积是 1/3。 微积分公式告诉我们，变化的总积累是多少。 例子。 $int_0^1 x^2 dx = frac{1}{3}$。 这说明，$x^2$ 从 0 到 1，面积是 1/3。 微积分公式是数学里的核心工具。 它让你知道变化的总积累是多少。 它让你知道函数的面积。 泰勒公式：局部到全局的逼近 泰勒公式，就是那个“用多项式近似函数”的公式。 泰勒公式，比如 $f(x) = f(0) + f'(0)x + frac{f''(0)}{2}x^2 + ...$ 这说明，函数 $f(x)$ 在 0 附近，能够用多项式近似。 泰勒公式告诉我们，函数能够用多项式近似。 例子。 $f(x) = e^x$。 $f(0) = 1, f'(0) = 1, f''(0) = 1, ...$ 故此 $e^x = 1 + x + frac{x^2}{2} + ...$ 这说明，$e^x$ 在 0 附近，能够用多项式近似。 泰勒公式是数学里的核心工具。 它让你知道函数能够用多项式近似。 它让你知道函数的局部性质。 柯西不等式：几何的枷锁 柯西不等式，就是那个“两个向量模长关系”的公式。 柯西不等式，比如 $sum a_i^2 sum b_i^2 ge (sum a_i b_i)^2$。 这说明，两个向量的模长乘积，大于等于它们和的平方。 柯西不等式告诉我们，两个向量的模长关系。 例子。 $a = (1, 2, 3)$。 $b = (1, 2, 4)$。 $sum a_i^2 = 14$。 $sum b_i^2 = 21$。 $sum a_i b_i = 17$。 $sum a_i^2 sum b_i^2 = 294$。 $(sum a_i b_i)^2 = 289$。 $294 ge 289$。 成立。 柯西不等式是数学里的核心工具。 它让你知道两个向量的模长关系。 它让你知道向量的性质。 余弦定理：三角形的骨架 余弦定理，就是那个“三角形边的关系”的公式。 余弦定理，比如 $c^2 = a^2 + b^2 - 2ab cos C$。 这说明，三角形三边知足这个关系。 余弦定理告诉我们，三角形边的关系。 例子。 $a = 3, b = 4, c = 5$。 $25 = 9 + 16 - 24 cos B$。 $25 = 25 - 24 cos B$。 $0 = -24 cos B$。 $cos B = 0$。 $B = 90^circ$。 符合直角三角形的性质。 余弦定理是数学里的核心工具。 它让你知道三角形的边的关系。 它让你知道三角形的性质。 指数函数：增长的海洋 指数函数，就是那个“指数增长”的公式。 指数函数，比如 $f(x) = e^x$。 $f'(x) = e^x$。 $f''(x) = e^x$。 这说明，指数函数的导数等于它本身。 指数函数告诉我们，指数增长。 例子。 $f(x) = e^x$。 $f'(x) = e^x$。 这说明，$e^x$ 在 $x=0$ 处的变化率是 1。 在 $x=1$ 处的变化率是 $e$。 指数函数是数学里的核心工具。 它让你知道指数增长。 它让你知道函数的导数。 无穷级数：无限叠加 无穷级数，就是那个“无限个数的和”的公式。 无穷级数，比如 $sum_{n=0}^{infty} frac{1}{2^n} = 2$。 这说明，无限个 $1/2$ 加起来是 2。 无穷级数告诉我们，无限个数的和是多少。 例子。 $sum_{n=0}^{infty} frac{1}{n!} = e$。 这说明，无限个 $1/n!$ 加起来是 $e$。 无穷级数是数学里的核心工具。 它让你知道无限个数的和是多少。 它让你知道函数的极限。 微分公式：变化的速度 微分公式，就是那个“变化的速度”的公式。 微分公式，比如 $y' = f'(x)$。 这说明，函数 $f(x)$ 在 $x$ 处的变化率是 $f'(x)$。 微分公式告诉我们，函数变化的速度。 例子。 $y = x^2$。 $y'(x) = 2x$。 这说明，$x^2$ 在 $x=3$ 处的变化率是 6。 微分公式是数学里的核心工具。 它让你知道函数变化的速度。 它让你知道函数的斜率。 数列通项：序列的规律 数列通项公式，就是那个“第 $n$ 项是多少”的公式。 数列通项公式，比如 $a_n = frac{1}{n}$。 这说明，$a_1 = 1, a_2 = 1/2, ...$ 数列通项公式告诉我们，序列的规律是啥
