翻书翻到第三章，突然认定那堆枯燥的定理像是一场没打完的球赛。坐标系法、向量法、几何法，看着目录全是像"15 分，10 分，8 分”的问号。
那会儿做题，脑子里蹦出的是公式，是前缀后缀，是那个死记硬背的“勾股定理”。可真正动手写的时候，脑子总真っ向。最头疼的还得是空间中线线、线面、面面平行的判定，还有二面角的计算。
特别是求平面方程那一关，挺好办把法向量求偏了，要么点乘弄错了符号，盯着草稿纸发呆半天，就发现“这题不对”四个字却说不出来个故此然。 实际上大量时候，我们卡住的不是公式，是“如何想”。 比如求线面角，大量人第一反应就是套公式 $|cos theta| = frac{| vec{a} cdot vec{n} |}{|vec{a}| |vec{n}|}$. 这是对的，但实在想不通为啥线线角要转个 90 度，如何就成了线面角的余弦值了。做题时，你得先搞清楚线线角和线面角的区别。线线角就是两条线之间最“短”的距离，那线面角呢？是线跟它所在平面之间最“短”的距离。
这就好比你要算你拿的球拍和地板的夹角，你就得先把球拍拉直，再找它离地板最近的那个点。对于平行线，你是用它们之间的距离除以它们长度；对于线面角，你是用线在平面上的投影长度除以斜线长度。
这就好比爬山，你想知道你爬陡不陡，不能只看你走的总路程，还得看你在斜坡上实际躺着的距离。
要是直接硬套公式，往往就是懒得算投影，结局全是 0.5，要么乱七八糟的余弦值。 说到这个，再说说求点到平面的距离。大量人会直接扔进点到面距离公式 $d = frac{|Ax_0 + By_0 + Cz_0 + D|}{sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}$。
这挺常见，也挺万能。但有时候公式写出来，发现代入数字时，那个 $D$ 是啥？常数是固定的，参数是变化的。
要是是定点，那 $D$ 就得算出来代入；要是是动点，那 $D$ 就自带变量。
这时候，最省事的方式实际上是先给平面上找一个特殊点，比如原点，要么找一条垂直于该平面的直线，先算出它的长度，再结合底边长度一起用勾股定理。 要是非要硬派，那就是把点转化成平面的“坐标”。点无所谓，只要跟平面没关系就行。你往平面外引一条垂线，这条垂线的长度就是距离。
这时候，你只需求算出垂足到底边的距离，然后乘以那个垂线的总长度，用勾股定理勾起来就挺稳。
这个逻辑跟算边距是原理一样的，只是视角不同。 再讲一下二面角，这个确实挺烧脑，特别是求法向量夹角的时候。法向量的夹角 $theta$ 和实际的二面角 $alpha$ 往往不一样，有时候反了，有时候互补。
如何搞？你得先拿三个点定个面，算出法向量 $vec{n_1}$ 和 $vec{n_2}$。算出来的角度直接用 `acos(公式)` 就行。
可是，要是你发现算出来的二面角是个钝角，要么那个角度看起来实在不忒对劲，那就要警惕了。
这时候就把几何法拿出来救场，要么换一种设法向量，比如把两个面的法向量都取正方向，要么取反方向，看哪种算出来的角最符合直觉。 说到求二面角，最经典的就是棱柱、棱锥、棱台。
这时候就有个特别快的套路：找高。
要是棱柱，找相对棱的公垂线；要是是棱锥，找顶点到底面的垂线。有了高，再结合底面那个三角形的边长，直接勾股定理就能算出两个侧面的夹角了。
特别是求三棱锥的三条侧棱两两垂直的时候，简直就是天堂。
这时候建系特别撇脱，坐标直接是 $(a,0,0), (0,b,0), (0,0,c)$。算出两个面法向量后，再套公式，整个过程行云流水，根本不用动脑子去推导每一个步骤。 还有那个截面难题，有时候看着复杂，实际上就是个几何拼接。
比如求一个不规则四棱锥侧面的面积，要么一个截面把棱切出来的三角形面积。
这时候，要是你能先在脑子里把立体图形“压扁”成平面图，画个草图，标出高、底、边长，再加上三角函数，往往难题就迎刃而解了。 最终说点别的，投影面积也是个隐形高手。
比如求三棱锥体积，要么求某个几何体在某个方向上的投影面积。
这时候，体积公式里的 $S$（底面积）实际上就是你求出来的投影面积。解立体几何题，有时候确实不是公式多，而是你能不能把立体想象成一堆积木，能不能把它们“推”平，能不能把它们“压”扁。 总而言之，做题时，别死磕那些拗口的名词。当你遇到难题，先别急着列向量，先问自己：哪条线最顺手？哪一面最平？
有没有啥特殊的几何关系？把图形放平，把难题简化，有时候一个巧妙的视角，就能让你从死记硬背的迷宫里走出来。
