向量相乘，说白了就是两个箭头在脑子里打架，最终算出个“分量”要么“面积”，这事儿在数学里实际上挺有意思，但别被课本上那套死板的公式吓跑。 大多数时候，我们搞搞二维向量，也就是在平面二维坐标系里，两个箭头平行要么垂直的时候，如何算都差不多。
要是是垂直的，那就是叉积（标量），结局是个数；要是平行的要么共面的，那就是点积（标量），结局也是个数，并且这个数代表了它们夹了个角度。
一般/平平的一元直角坐标系里，点积公式那个玩意儿，记着吧：$a cdot b = |a||b| cos 0 = |a||b|$，这意味着只要两个向量方向一样，点积就是它们的模的乘积。
那反过来，要是垂直呢？点积自然就是零，出于 $cos 90^circ = 0$。 不过要是让这两个箭头在三维世界里打架，要么你不用直角坐标系想别的表达方式，那就费事了。
这时候得用向量积——也就是叉积。它的结局一辈子是个向量，并且方向跟你右手定则判定的法线方向一致。$a times b$ 的结局，模长等于 $|a||b|sin theta$，方向垂直于 $a$ 和 $b$ 构成的那个平面。 再想想二维里的叉积，别看结局是个数，但它实际上是向量积的一个分量。
比如 $a_1 b_2 - a_2 b_1$，这玩意儿实际上就是向量积在垂直于纸面方向上的投影。
这就解释了为啥二维叉积的结局一直个整数，而三维向量积结局是个向量，两者的模长都跟 $|a||b|$ 相关，只是系数不同/拉倒。 这两个东西到底啥关系？有时候好办搞混，出于公式看着像。向量积的模长是 $|a| |b| sin theta$，向量积的点积（内积）是 $|a| |b| cos theta$，反正你得知道这两个 $theta$ 是互补的，也就是和等于 $180^circ$ 要么 $pm 90^circ$。
故此当 $theta$ 是 $90$ 度的时候，正弦是 $1$，余弦是 $0$；那正弦是 $0$，余弦就是 $1$。
这就说得通了，你的右手定则和左手定则正好对应着这两种结局的不同表现。 实际上数学上的向量乘法分两种情况，就像看人看物一样，分清楚对象关键。
要是两个向量不在同一平面里，也就是不共面的，它们算出一个向量，这玩意儿叫向量积。
这个向量的模代表一个长度，它的方向跟第三个垂直向量相关。
要是两个向量在同一平面里，比如都在纸上，那算出来的就是一个标量，这个数值跟它们的夹角相关。 举个具体的例子吧。假设你在 3D 空间里有个向量 $vec{a} = (1, 0, 0)$，基准向量是 $vec{u} = (0, 1, 0)$，再有一个向量 $vec{v} = (0, 0, 1)$。
要是你算 $vec{a} times vec{v}$，根据右手定则，你会发现结局指向 $y$ 轴的反方向，具体数值是 $(0, 0, 1)$。再算 $vec{a} cdot vec{v}$，结局就是 $0$，出于这是垂直的，夹角 $90$ 度。还能反过来说，$vec{v}$ 和 $vec{a}$ 的叉积，方向指向 $z$ 轴负方向，模长是 1。 要是两个向量是平行的，比如 $vec{v} = (1, 0, 0)$，那 $vec{a} cdot vec{v}$ 就是 $|a| times 1$，也就是点积；而 $vec{a} times vec{v}$ 模长是 0，出于 $sin 0 = 0$。
这彻底符合逻辑，方向一样的东西，点积最大，叉积为 0。 有时候你会发现，点积和向量积的公式长得特别像。
比如 $|a times b|$ 和 $|a cdot b|$，一个跟 $sin$ 相关，一个跟 $cos$ 相关。在几何里，这两个模长实际上代表了同一个三角形要么四面体在特定方向上的投影长度。
比如你手里拿个盒子，算它的体积，体积 = 底面积 $times$ 高。底面积就是向量积的模长，高实际上就是向量积单位向量的长度。
故此体积公式本质上是 $(a times b)$ 的模乘以第三个向量的长度。而算面积的时候，面积公式里用的是向量点积的模，这跟体积公式里的逻辑有点反着来但理是一样的。 还有啊，有些场景下，这两个概念会直接等价。
比如要是两个向量正交，它们的叉积就是一个单位向量，长度是 1；而它们的点积是 0。
要是它们平行，点积是它们长度的乘积，叉积是 0。
这种对偶关系，有时候比死记硬背公式更管用。 想象一下你在做物理题，算两个力形成的力矩。力矩就是 $vec{r} times vec{F}$，这个结局是个向量，方向垂直于力臂和力的方向。
要是你只想要力矩的大小，那就是叉积的模长。但要是你想知道力对某个轴线的转动效果，可能需求用到点积相关的投影。而在计算机图形学里，渲染的时候算阴影，大量时候就是利用点积来投影，把二维画面映射到三维空间。 还有啊，要是两个向量共线，也就是平行的，那它们点积的结局就是 $|a||b|$，叉积的结局模长是 0。
这就像两个人同方向步行，你们握手的力度（点积）最大，但你们俩的叉乘（旋转动量）就是 0，出于根本没有转到一个新的方向去。 实际上甭管如何想，向量积的模长公式和点积的模长公式，本质上都在描述同一个几何事实：一个是垂直分量拍板的，一个是平行分量拍板的。
只要记住：垂直的向量相乘是叉积（模），平行的向量相乘是点积（模），这个逻辑链条就通了。 故此说，向量乘法实际上挺灵活的。二维里看似好办，二维叉积实际上藏着三维分量的秘密。三维里，两个向量一叉一个点，就能算出无数种几何量。点积算投影，叉积算法线。它们俩别看名字不同，但核心都是看两个向量夹角和方向。 别被那堆长长的公式绕晕了，脑子里有个大约的几何模型就行。向量积看的是“垂直那玩意儿有多高”，点积看的是“平行那玩意儿有多长”。
只要搞清楚这些，啥公式都能想起来。
特别是涉及到手性（左手系和右手系）的时候，好办翻车，故此牢牢记住那个右手定则，比背公式管用多了。 总而言之，向量相乘这事儿，好办来说就是两个箭头打架，要么算出力矩（叉积），要么算出投影（点积）。根据它们是不是共面，选择哪种算法，要么用哪种公式，结局都是那个“分量”要么“面积”。
要是两个向量垂直，点积是 0，叉积是模；要是两个向量平行，点积是模，叉积是 0。就是如此好办，只要你别被教科书上的那些正式术语吓住，理解背后的几何直觉，就能搞定。 最终再唠叨两句，向量乘法的这些特性在物理、工程、计算机图形学里天天都用。
比如计算电流在磁场里的受力，用的就是叉积；计算两个平面之间的夹角，用的也是向量点积。
有时候你会发现，同一个公式在不同环境下，应用场景彻底不同，但原理没变。
这就是数学的魅力，抽象的东西能解决那么多具体难题。 要是你还在纠结为啥有些向量算出来是整数，有些又是向量，有些却是个负数，要么模长是虚数，那是出于你在不同坐标系里算的。但在标准直角坐标系里，实数运算才是主流。
只要你不搞错坐标系的手性，点积一辈子非负，叉积的模长一辈子非负。 故此，记住这个口诀：垂直算叉积，平行算点积。垂直的看正弦，平行的看余弦。垂直时模最大，平行时模最大。剩下的就交给我去算了。向量相乘，就如此好办，对吧？
