导数公式大全宋浩-宋浩导数公式大全

导数公式大全宋浩版：别背死书，脑子得动 大量人一看到“导数”，脑子里立马蹦出个啥“极限”“函数”“微分”，结局手一抖把公式都给写乱了。
实际上，要是能把这几个核心公式像搭积木一样在脑子里过一遍，那才叫真本事。宋浩老师早年讲过的这些，目前拎出来，咱们不整那些虚头巴脑的教科书翻译，直接上干货，咱们聊聊如何在脑子里快速过一遍，顺便看看能不能自己搭个模型。 起初得把这几个公式当成游戏里的几个必杀技，而不是考试里的选择题。 $ (f')'(x) = f''(x) $，这是二次求导，像滚雪球，第一次求导后，再求一次导数，实际上就是把原来的 $x$ 换成 $x$，系数再乘一次。 $ f(x) + g(x) $ 的导数是 $ f'(x) + g'(x) $，和 $kx$ 求导还是 $k$，常数直接变 0，这种组合拳得练熟。 $ (f cdot g)' = f'g + fg' $，这个略微有点意思，记成“乘积求导率括一个 + 率括一个乘”，感觉像两个人打架，一推一拉。 $ left(frac{f}{g}right)' = frac{f'g - fg'}{g^2} $，除法求导，分子上减号，分母平方，分母不可省略。 $ e^x $ 的导数等于它自己，$ sin x $ 的导数是 $ cos x $，这两个是特殊的常数函数，记住它们，后面大局部函数都绕不开。 拿初中那些常函数聊聊，起点就是 $k$ 个 $x$，求导还是 $k$。到高中，那个 $kx$ 求导变成 $k$，再迭代一次变成 0，这层关系得理顺。 再看指数函数，$e^x$ 求导还是它自己，这是个神奇的不变量。三角函数里，$ sin x $ 的导数是 $ cos x $，$ cos x $ 的导数是 $ -sin x $，这就构成了一个循环，像个时钟，转一圈回到原点。 $f(x)$ 的导数求出来是 $f'(x)$，再求一次就是 $f''(x)$。
要是 $f(x)$ 是三次三项函数，求两次导数后，常数项会消掉，最终只剩下最底层的那个一次项，求导之后剩下的就是常数。
这就是为啥高能级物理公式，往往是低能级的函数，经过两次求导，最终都变成常数要么更好办的形式了。 $ f(x) cdot x^k $，这个组合拳有点花样。$k$ 是常数，求一次导数是 $kx^{k-1}$，再求一次就是 $k(k-1)x^{k-2}$。典型的“降幂”效果，$x$ 的指数每次减 1。 $ x^k $ 求 $n$ 次导数，要是 $n > k$，结局全是 0；要是 $n le k$，那就是 $k(k-1)cdots(k-n+1)x^{k-n}$。 指数函数 $e^x$ 求 $n$ 次导数，不管 $n$ 是多少，结局还是 $e^x$。
这比单纯的幂函数 $x^n$ 有趣多了，$e^x$ 不管如何炸，还是怼着 $e^x$ 开。 三角函数里的 $ sin(ntheta) $，求导公式比 $ cos(ntheta) $ 复杂点。$ sin(ntheta) $ 的导数是 $ncos(ntheta)$，再求导是 $-n^2sin(ntheta)$，再求又是 $n^3cos(ntheta)$。有个规律：$ sin(ntheta) $ 的 $n$ 次导数，是 $n!$ 乘以 $pm sin$ 或 $cos$，都是 $n^k$ 倍。$ cos(ntheta) $ 同理，平方是 $ (-1)^k $ 倍。 $ sin^2 x $ 求 $n$ 次导数，公式是 $n! cdot 2^{n-1} cdot sinleft(frac{3pi}{4}n - frac{pi}{4}right)$。
这个公式看着吓人，实际上只要记住 $ sin^2 x = frac{1-cos 2x}{2} $，用刚刚那个 $ cos 2x $ 的公式一套用，瞬间就下来了。 $ cos^2 x $ 的 $n$ 次导数，公式是 $n! cdot 2^{n-1} cdot cosleft(frac{3pi}{4}n + frac{pi}{4}right)$。
这俩加起来，$ sin x $ 和 $ cos x $ 的 $n$ 次导数，正好能把 $n!$ 对应起来，是个漂亮的对称。 积分和导数是反的，但又有联系。$ int sin x , dx = -cos x + C $，求导回去还是 $sin x$。$ int e^x , dx = e^x + C $，积分回去还是 $e^x$。$ int x^n , dx = frac{x^{n+1}}{n+1} + C $，导回去还是 $x^n$。 $ int frac{1}{x^k} , dx = frac{x^{1-k}}{1-k} + C $ （$k ne 1$）。$ frac{1}{x} $ 求导是 $ -x^{-2} $，积分回去就是 $-x^{-1}$。 $ int cos x , dx = sin x + C $，求导回去是 $cos x$。$ int sin x , dx = -cos x + C $，求导回去是 $-sin x$。 $ int frac{1}{a^2+x^2} , dx = frac{1}{a}arctan(frac{x}{a}) + C $，那个反正切函数，$ int arctan x , dx = xarctan x - frac{1}{2}ln(1+x^2) + C $。 $ int e^{ax} , dx = frac{1}{a}e^{ax} + C $。$ int ln x , dx = xln x - x + C $。 $ int frac{1}{1-x^2} , dx = frac{1}{2}lnleft|frac{1+x}{1-x}right| + C $。 $ int x^a , dx = frac{x^{a+1}}{a+1} + C $，$ a ne -1 $。 $ int frac{1}{x^a} , dx = frac{x^{1-a}}{1-a} + C $，$ a ne 1 $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{x}} , dx = 2sqrt{x} + C $。 $ int frac{1}{x^3} , dx = -frac{1}{2}x^{-2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int frac{1}{1+x^2} , dx = arctan x + C $。 $ int frac{x^2}{1+x^2} , dx = x - ln(1+x^2) + C $。 $ int frac{x^2}{1-x^2} , dx = -x - frac{1}{2}ln(1-x^2) + C $。 $ int sqrt{1+x^2} , dx = frac{1}{2}xsqrt{1+x^2} + frac{1}{2}ln(x+sqrt{1+x^2}) + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1+x^2}} , dx = ln(x+sqrt{1+x^2}) + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ int frac{1}{x^2} , dx = -frac{1}{x} + C $。 $ int sqrt{x} , dx = frac{2}{3}x^{3/2} + C $。 $ int frac{1}{sqrt{1-x^2}} , dx = arcsin x + C $。 $ 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