老大哥，三角函数那点事儿，哪是啥严丝合缝的公式书？别整那些“起初、其次、最终”的废话，我这儿全是打补丁的实操。 小时候在学校里背的公式，看着像天书，实际上也就是把 $sin^2 alpha + cos^2 alpha = 1$ 硬凑出来的。但这玩意儿能干嘛？能干嘛？能告诉你 $sin 60^circ$ 是多少？自然能。但你要知道，三角函数本质上是坐标那点事儿。$x$ 轴上的点，纵坐标在 $y$ 轴正方向，那正弦就是那个正比系数，余弦就是横轴比例。一旦你换了坐标系，比如从直角坐标转到极坐标，要么从标准位置转到终边，这好办的勾股关系就得歪了。
故此，哪位也不敢说倍角公式是死死的真理，它更像是一套为了撇脱换坐标而拼凑的规则。 拿 $sin 2alpha$ 来说，别光盯着 $sin alpha cdot cos alpha$ 看。在极坐标里，要是 $alpha$ 就是角度，那 $sin 2alpha$ 实际上就对应着 $2r sin alpha cos alpha$。
这时候，$2r sin alpha$ 就是两点间距离的某种变形，而 $cos alpha$ 就是拉长的比例因子。
你看着别急，把这两个数乘起来，直接化简，你会发现它跟 $2r sin alpha cos alpha$ 没啥区别，对吧？这跟橡皮泥捏个球又仿佛，又仿佛不能变。 再说说 $cos 2alpha$，这得注意方向。直角坐标里，余弦是 $x/r$，笛卡尔坐标里那是 $cos theta$。但在复数理论要么某些特殊的极坐标变换下，$cos 2alpha$ 那个标志性的负号，实际上是跟 $i^2$ 要么某种对偶变换相关的“隐形彩蛋”。别被负号吓到，它就像是个故意设的陷阱，让你当作它跟角度相关，实际上它跟坐标系如何转相关。 举个例子，别跟我讲那些 $30^circ$ 还是 $45^circ$ 的凑整游戏，那忒水了。咱就拿 $60^circ$ 这个角来扒皮。$60^circ$ 在极坐标里， $r=1$，$cos 60^circ = 1/2$，$sin 60^circ = sqrt{3}/2$。
那 $2alpha$ 就是 $120^circ$。
这时候，$cos 120^circ$ 是多少？直接查表就是 $-sqrt{3}/2$。但要是你用倍角公式去算一步：$cos^2 60^circ - sin^2 60^circ = (1/2)^2 - (sqrt{3}/2)^2 = 1/4 - 3/4 = -2/4 = -1/2$。
哎，你发现没？结局对上了，连负号那个“隐形彩蛋”都藏进去了。
这说明啥？说明倍角公式不是凭空出来的，它是把旧坐标里的勾股数重新打包，塞进新坐标的框架里，强行让新旧两码事凑成一样的。 再看正切，$tan 2alpha$。
这是最明显的换系过程。$tan 2alpha = frac{2tan alpha}{1 - tan^2 alpha}$。
什么的，这不是 $x, y$ 的函数吗？$2x, 2y$ 啊。$tan alpha = y/x$。
那分子就是 $2y$ 了，分母里 $1 - (y/x)^2$ 通分化一下就是 $(x^2 - y^2)/x^2$。整个式子一除，就变成了 $(2y/x^2) / ((x^2 - y^2)/x^2)$，消掉 $x^2$，直接就是 $2y/(x^2 - y^2)$。 这时候，你可能要跳脚了。$y$ 和 $x^2 - y^2$？这跟 $tan 2alpha$ 到底啥鬼？原式是 $y/x$。
如何变成这个像分数的？这里面肯定有坐标系的作弊。 啊对对对，是极坐标的 $r sin alpha$。在极坐标里，$x = r cos alpha, y = r sin alpha$。
那 $x^2 - y^2 = r^2 cos^2 alpha - r^2 sin^2 alpha = r^2 cos 2alpha$。而 $2y = 2r sin alpha$。代入进去，就变成了 $(2r sin alpha) / (r^2 cos 2alpha)$。
哦靠，分母多打了个 $r$，消掉一个，剩 $1/r$。而 $tan 2alpha$ 在极坐标里就是 $frac{2 tan alpha}{1 - tan^2 alpha}$ 的变形形式。
你看，$2y / (x^2 - y^2)$ 实际上就是 $frac{2r sin alpha}{r^2 cos 2alpha}$，而 $frac{2 tan alpha}{1 - tan^2 alpha}$ 展开也是这个玩意儿。 故此你看，倍角公式本质就是个代换。你把 $sin, cos$ 换成了极坐标里的 $r, theta$，再把公式里的 $sin alpha$ 换成 $r sin alpha$，$cos alpha$ 换成 $r cos alpha$，你会发现所有的 $r$ 都消掉了，剩下的就是 $r$ 掉个平方，最终变成了 $2r sin alpha cos alpha$ 这种形式。
这不是巧合，这是几何上两点间距离平方差害得的必然结局。 所谓的“降”，实际上是把高深的概念下降到最基础的几何事实，再把这个事实强行套进数学家的嘴里。别认定这公式难背，难的是你脑子里没装过那个 $x^2 - y^2$ 的坐标变换。一旦你顺藤摸瓜，找到了那个 $r^2$ 的幽灵，就会发现，原来所有的 $sin 2alpha$ 都是 $2r sin alpha cos alpha$ 的投影。 最终再说句大实话。学数学的人，对付这种公式，最好的办法就是把它们当成工具，当成那个帮你从 $A$ 到 $B$ 的传送门。你不需求理解它是如何造出来的，你只需求知道如何用。别被负号骗，别被 $1/2$ 迷惑，只要记住，倍角就是坐标换码的副产品。就像你学会游泳，不需求研究水的分子结构，你只需求知道如何换气。三角函数那点事，说到底，就是让你去适应那个坐标系，顺便让你把复杂的坐标运算，简化成几个好办的数字再乘除。
