两角差余弦公式笔记 这玩意儿实际上就是把 $cos(A - B)$ 拆解成 $cos A cos B + sin A sin B$ 的组合拳，搞定了就行。别整那些“起初、其次”之类的废话，咱直接上干货。 核心逻辑：拆个包 咱们拿两角差公式 $cos(A - B)$ 看看，它实际上就是 $cos A cos B + sin A sin B$。
这就好比把一个大西瓜剥开了，里面分成了两大块。一块是 $cos A cos B$，另一块是 $sin A sin B$。
只要能把这两块拼起来，公式就立住了。 场景一：正数，正数 要是 $A$ 和 $B$ 都是锐角，那情况就好办了。$cos A$ 和 $sin A$ 自然都是正的，$A$ 和 $B$ 的差要是也是锐角，那 $cos(A-B)$ 更是正数。
这时候直接套公式，数值直接相乘加和，没毛病。 场景二：正负相乘，变正 有时候 $A$ 是锐角，$B$ 是钝角。$cos A$ 正，$cos B$ 负，$A-B$ 也就是个负角。
这时候 $cos(A-B)$ 肯定是负数。公式里 $cos A cos B$ 是负数，$sin A sin B$ 是正数。
这就有点像加减法，负数加正数，结局的正负得看哪边大。 场景三：大角小角 当 $A$ 挺大，$B$ 挺小的时候，$A-B$ 是个接近 $pi$ 的钝角。
这时候 $cos A$ 已经接近 $0$ 就连更冷了，$cos B$ 还是正的。$sin A$ 接近 $1$，$sin B$ 就是个小正数。你会发现公式左边那个 $cos A cos B$ 占主导，结局整体偏负，跟直觉差不多。 实例测试：$75^circ - 30^circ$ 算 $75^circ - 30^circ$ 等于 $45^circ$ 的正弦值来验证一下？ 先用公式算：$cos 75^circ cos 30^circ + sin 75^circ sin 30^circ$。 $cos 30^circ$ 是 $frac{sqrt{3}}{2}$，$sin 30^circ$ 是 $frac{1}{2}$。 $cos 75^circ$ 呢？它是 $cos(45+30) = cos 45 cos 30 - sin 45 sin 30 = frac{sqrt{2}}{2} cdot frac{sqrt{3}}{2} - frac{sqrt{2}}{2} cdot frac{1}{2} = frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4}$。 $sin 75^circ$ 是 $sin(45+30) = frac{sqrt{2}}{2} cdot frac{sqrt{3}}{2} + frac{sqrt{2}}{2} cdot frac{1}{2} = frac{sqrt{6}+sqrt{2}}{4}$。 代入公式：$frac{sqrt{6}-sqrt{2}}{4} cdot frac{sqrt{3}}{2} + frac{sqrt{6}+sqrt{2}}{4} cdot frac{1}{2}$。 第一项展开：$frac{sqrt{18}-sqrt{6}}{8} = frac{3sqrt{2}-sqrt{6}}{8}$。 第二项展开：$frac{sqrt{6}+sqrt{2}}{8}$。 加起来：$frac{3sqrt{2}-sqrt{6} + sqrt{6}+sqrt{2}}{8} = frac{4sqrt{2}}{8} = frac{sqrt{2}}{2}$。 对上了，就是 $sin 45^circ$。 再算 $30^circ - 60^circ$，结局显然不是正数，应当是负的。 $cos 30^circ cos 60^circ + sin 30^circ sin 60^circ = frac{sqrt{3}}{2} cdot frac{1}{2} + frac{1}{2} cdot frac{sqrt{3}}{2} = frac{2sqrt{3}}{4} = frac{sqrt{3}}{2}$。 什么的，这算出来是正数？不对啊，$30-60$ 是 $-30^circ$，余弦值肯定是正的，没错。但我记得 $cos(-x)=cos x$，故此符号是对的。
看来刚刚脑子漏了一句“结局符号视情况而定”，目前补上了。 特殊情况：直角 要是一个是 $90^circ$，$cos 90^circ = 0$，$sin 90^circ = 1$。公式里 $cos A cos B$ 就变成 $0$ 了。 比方说 $90^circ - 30^circ = 60^circ$。 公式算：$cos 90 cos 30 + sin 90 sin 30 = 0 cdot frac{sqrt{3}}{2} + 1 cdot frac{1}{2} = frac{1}{2}$。 彻底吻合，这时候公式就退化成直角三角形的邻边比斜边了。 应用场景 这公式在物理里特别好用。
比如冰块融化，温度变化，要么圆周运动里的相位差。
只要知道两个角的正弦和余弦值，套进去算，就能把复杂难题好办化。别死记硬背，理解成“把两个角拼起来求余弦”就行，数据代入一算就明白。
