向量公式速记 别整那些“起初”“其次”的废话，直接上干货。向量这东西，说白了就是个有方向的箭头，要么说是二维平面上带长度和角度的数字组合。你不用去纠结物理定义，数学里最核心的就是坐标运算。 根本操作就那三个：加法、减法、数乘。别被名词吓退，实际上就是线性的叠加。
比如你脑子里存着两个目标点 $A$ 和 $B$，你想找中间点 $P$ 让 $P$ 在 $AB$ 连线正中间，那 $P$ 就是 $(A+B)/2$。
要是是三等分点，那就是 $(2A+B)/3$ 要么 $(A+2B)/3$，原理和比例分配彻底一样。 二维向量更是家常便饭，$x$ 轴和 $y$ 轴把平面切开了，每个向量都有 $(x, y)$ 俩数。日常计算最头疼的实际上是乘法，特别是点积。点积（内积）实际上是两个向量做个“成分匹配”，算出来是个标量，代表它们方向一致的程度。公式是 $A cdot B = |A||B|costheta$。
这个物理意义挺好记：两个向量长得越像（夹角 $theta$ 越小），点积越大；要是一个垂直，点积直接归零。 举个栗子，向量 $A=(3, 4)$ 和 $B=(1, 2)$。点积等于 $3times1 + 4times2 = 11$。
要是你俩方向彻底反之，比如 $A=(3, 4)$，$B=(-1, -2)$，那点积就是 $-3 - 8 = -11$。
要是垂直，$A=(3, 4)$，$B=(-4, 3)$，点积是 $-12 + 12 = 0$，这就意味着它们成直角，千万别忘了这个标志。 叉积（外积）是三维世界的秘密武器，别看二维没它，但三维向量多了它。结局是个标量，代表两个向量挤在一起的“面积”大小，还有个方向，垂直于那两个向量。二维的叉积结局就是个数，绝对值代表面积，符号代表手性（左旋还是右旋）。 三维向量里的标量三重积（点乘再乘）更有意思，它代表啥？代表由三个向量所构成的平行六面体的体积。公式是 $A cdot (B times C)$。
这玩意儿在物理里特别火，比如引力场、电磁场，时常要用到。 两个平面垂直，它们的法向量点积就是 0。
这实际上就是立体几何里定义：两个平面夹角为 $90$ 度时，它们的法向量夹角也是 $90$ 度（或 $270$ 度），余弦值为 0，点积自然为 0。 要是把它们拼起来，你就有了行列式。
这是三维向量的“万能公式”，用来求体积要么叉积。把向量写成行列式展开，就是行和式的乘积。 $$ begin{vmatrix} x_1 & y_1 & z_1 \ x_2 & y_2 & z_2 \ x_3 & y_3 & z_3 end{vmatrix} $$ 算出来就是三个数对应乘积的和。
比如第一列乘第二列，加第三列乘第一列，最终由第三行乘以剩下的行。 单位向量是特殊的向量，模长刚好是 1。
这东西在物理里时常挂名，方向却充满燃料。求单位向量就是除以模长，$hat{v} = frac{v}{|v|}$。 基底转换是另一个大赢家。
要是你手里只有一个向量，想把它变成 $i$ 和 $j$ 这两个单位向量的线性组合，那就是坐标表示；反过来，要是你只有 $a$ 和 $b$ 两个基底，想求向量 $c$ 落在平面上的坐标，就是解方程组。 退格符（Backslash）和正反斜杠搞混了吗？别慌，这两个符号在向量运算里一个负责“叉乘”（三维叉积），一个负责“点乘”（二维点积）。别跟编程里的变量名搞混了，中文语境下，叉乘记作 $times$（乘号），正交极坐标里的点积记作 $cdot$。 复数向量实际上也挺酷，它既是标量又是向量。复数乘法好办记混，但把它当作坐标运算最保险。复平面里，复数乘法就是笛卡尔坐标的旋转变换。$z = x + iy$，$w = u + iv$。$z cdot w$ 的模长变成 $|z||w|$，辐角变成相加。 高阶运算别怕，只要知道公式就行。分块矩阵乘法，就是把大矩阵切成小块独立运算再拼回去。哈达玛矩阵（Hadamard matrix）是另一个神，所有元素都是 1 要么 -1，算出来的是希尔伯特-布赖特曼级数，哈达玛矩阵的平方是负单位矩阵的变体，这是量子力学里的基础。 外积的几何意义就是叉积。向量叉积的结局向量垂直于原来的两个向量，并且长度等于原来的两个向量夹角的正弦值乘以它们的模长。
这就解释了为啥你要关心方向，出于叉积的方向就是夹角的正弦所在的方向，是“垂直于面”的那个向量。 高斯消元法实际上是解向量方程的利器。
要是方程组系数是矩阵，变量是向量，解出来就是个向量。 莫尔应力变换（Mohr's stress transformation）是材料力学里的，把平面上的应力状态转到新的角度去看。别当作这是纯理论，工程上天天用。 坡道公式（Road gradient formula）是个实用的统计工具。描述路面坡度，公式是 $G = tanalpha approx frac{Delta h}{Delta s}$。 最终提几个常见陷阱。向量减法 $A-B$ 就是 $A + (-B)$，别写成 $A times B$。点积是数，别搞成向量向量相乘。叉积有迹的陷阱，二维没叉积，三维里要是把你三维向量当成二维处理，叉积结局就是 0，别犯这种低级毛病。 好了，这些就是向量里的核心公式。
不用背死，搞懂原理，随时能推演。坐标算两下就完了，方向懂了就够了。
这一套下来，向量也就不是哪个定理的名字了，它就是数学里描述方向和 magnitude 最通用的语言。
