要把长串的复数卷积对号运算，最终缩成短短几位数要么几个人，这活儿活真不是哪位都能干。
那会儿那会儿，我得按部就班地想，先把卷积算出来，再把信号移位对齐好，最终再倒着回去，那是那会儿那会儿，那是那会儿那会儿。 但那会儿那会儿，那时候我总认定只要把信号填满，把每一个点都加完，就能拿到想要的结局。结局呢？拿到的是一堆乱七八糟的数，跑起来跟没跑一样。
不中，不能这样。 目前的我，脑子里早就有了个图，不是那种画在纸上就能一眼看明白的图，而是脑子里像套了个魔咒的图，看着它就懂。当一个卷积信号被扔进 FFT 这玩意儿里，它就像被放进一个庞大的搅拌机，里面全是数字在疯狂地打架。 这时候，我就启动质疑自己是不是学傻了，还是脑子短路了。FFT 到底是个啥东西，它到底是个啥用的？它是个把工夫轴炸开，然后再把炸开的碎片重新按工夫轴拼起来的魔法。 让我告诉你一个具体的例子吧，别笑话我，就是刚刚咱们聊过的那个 3 点序列。在工夫域里，它就是 $x, x+1, x+2$ 这三个数。在频域里呢，它变成了三个频率分量。
要是是标准的线性卷积，结局会挺长挺长。但在 FFT 的世界里，我们只关心那些有用的、非零的局部。
要是某个频率分量是空的，那就是零；要是某个频率分量是满的，那就是全体能量。 当 FFT 启动工作的时候，那些原本分散在频域里的能量，就聚拢到了几个特定的点上。
这些点的位置，就是信号的频率特性。
这时候，要是我对这串数字再做一次 FFT，然后做乘法，再做一次 FFT，最终再做一次 IFFT（逆傅里叶变换），那结局是不是又变回去了？ 是的，肯定变回去了。
不过，变得比原来更准了，更密了。
每次循环，信号在频域里走的轨迹都快一点，走到最终，就简直重叠在一起了。
这时候，再做一次 FFT，IFFT，结局就彻底一样了。 这就好比你在做加法，每次加完就做一次减法，结局一直零点。
那 FFT 呢？它不是在做减法，它是在做加法，只是加得更快，加得更多。 并且，FFT 还有一个它自己独有的技巧，叫“重叠相加法”要么“加窗法”。
那会儿那会儿，我当作是这种办法没用，目前看来，这简直是把车开到地底下。它在信号里插进一些零值，把频率做偏移，最终再删掉那些富余的。
这样一来，信号长度就变短了，FFT 算的就不那么重了。 举个例子，假设我要处理一个 $N$ 点的信号，可是实际有用的数据只有 $M$ 个。直接算 FFT 那得挖几米深的坑啊。用重叠相加法，我只得在信号里挖几个小坑。
这些坑里的值，让 FFT 能够不用处理那些零值。结局呢？处理速度快了数倍，并且误差极小。 再说说跟滤波器之间的关系吧。啥叫滤波器？滤波就是让信号里的高频变低，让低频变高。在频域里，这就是把能量从某个频段搬移到了旁边，要么从旁边搬回来。IFFT 就是把这些搬移的能量，再拼回工夫域。 有时候，我会在想，FFT 是不是就是个黑盒？它不管你是输入啥，它只管乱转，最终输出结局。但我认定不是。它是有逻辑的。它是在做卷积，只不过这个卷积是卷积的卷积，是卷积的卷积的……直到它把卷积的结局压缩到一点点。压缩到啥小？小到只有几个数字。 这些数字，代表的是频率。代表的是相位。代表的是能量分布。
有时候，这几个数字聚在一起，就能代表一个挺明显的峰值。
这时候，要是你按着这个峰值的位置往后移，要么往前移，看看它旁边还有啥，你就能知道信号里到底藏着啥。 那会儿那会儿，我总认定 FFT 这东西忒玄乎，没法用。目前我知道，它是信号处理里最实用、最暴力但也最狠的工具。它能把任何复杂的信号，瞬间变成一堆频率数据，再变回信号。 并且，它还有个益处，就是稳定性。
不管输入信号多复杂，不管有多少个非零值，它都能处理，并且结局不会乱飘。
有时候就连到了极点，还能反向找到频率。 最终，我想说的是，FFT 不是用来取代卷积的，它是用来加速卷积的。卷积是工夫域的运算，FFT 是频域的运算。它们本质上是一样的，只是用的工具不同。 卷积是“时域对时域”，FFT 是“频域对频域”。但我知道，时域对频域，实际上就是卷积；频域对时域，实际上就是乘积。它们只是换了一张脸。 故此，下次你遇到了一个复杂的信号处理难题，别光盯着工夫域敲脑袋。试试 FFT，试试频域，试试那些重叠相加法，试试那些带窗的 FFT。你会发现，那些原本让你头疼的乱码，一个个被一个个地变回去了。 并且，别看它收敛速度极快，但有时候，要是数据处理量特别大，要么滤波器的极点特别敏感，我有时候还是会忍不住去试一下直接卷积。
毕竟，有时候直接算，最直观，最真。 那种感觉就像是在玩一场一辈子下不完的游戏。玩待会儿，认定爽了，回头一看，原来这游戏还有秘密。 FFT 这东西，确实挺有意思。它不是个冰冷的算法，它是把信号世界的真相，一个个撕开，暴露在你面前的。 你看，这就是 FFT，这就是 IFFT，这就是数学之美，就是工程之实。它不讲究啥优雅的推导，它讲究的是，不管怎么着，结局要对。 故此，下次你要是再问“那 FFT 公式到底是啥”，我就能够告诉你，它是把无限大卷积，变成有限小数的魔法。 它把长串的数字，变成几个小点。 它把几个小点，变成几个长串的数字。 它把长串的数字，再变回几个小点。 并且，这些点，它一直精准地落在频率点上。 这就够了。
这就叫 FFT。
